Součet úhlů trojúhelníku. Věta o součtu úhlů trojúhelníku

Trojúhelník je polygon s třemi stranami (tři rohy). Nejčastěji jsou strany označeny malými písmeny, které odpovídají velkým písmům označujícím protilehlé vrcholy. V tomto článku se seznámíme s typy těchto geometrických tvarů, což je věta, která určuje součet úhlů trojúhelníku.

Druhy úhlů

Existují následující typy polygonů se třemi vrcholy:

• Úhlové, se všemi rohy ostré;
• pravoúhlý, s jedním pravým úhlem, s tato strana, jeho generátory, se nazývají katetami a strana, která je umístěna oproti pravému úhlu, se nazývá hypotenuse;
• tupý, když jeden hloupý roh;
• rovnoběžky, ve kterých jsou obě strany rovna, a jsou nazývány bočně a třetí je základem trojúhelníku;
• Rovnostranné, mají všechny tři stejné strany.

Vlastnosti

Přiřaďte základní vlastnosti, které jsou charakteristické pro každý typ trojúhelníku:

• oproti větší straně je vždy větší úhel a naopak;
• naproti rovným stranám jsou stejné úhly a naopak;
• každý trojúhelník má dva ostré úhly;
• vnější úhel je větší než jakýkoli vnitřní úhel, který není sousední;
• součet jakýchkoli dvou úhlů je vždy menší než 180 stupňů;
• vnější úhel se rovná součtu zbývajících dvou úhlů, které s ním neinterferují.

Věta o součtu úhlů trojúhelníku

Věta uvádí, že pokud přidáme všechny úhly dané geometrické postavy umístěné na euclidské rovině, pak jejich součet bude 180 stupňů. Pokusíme se prokázat tuto větu.

Pojďme mít libovolný trojúhelník s vrcholy CMN. Přes vrchol M kreslíme rovnoběžně s čárou CN (tato přímka se také nazývá euklidovská linie). Na něm označíme bod A tak, že body K a A jsou umístěny na opačných stranách přímky MN. Získáme stejné úhly AMN a CNM, které, stejně jako vnitřní, leží v kříži a tvoří sekundu MN společně s rovnými čarami KN a MA, které jsou paralelní. Z toho vyplývá, že součet úhlů trojúhelníku umístěných na vrcholech M a H je roven velikosti úhlu MRA. Všechny tři úhly jsou součet, který se rovná součtu úhlů MRA a MKN. Vzhledem k tomu, že tyto úhly jsou vnitřní jednostranné vzhledem k rovnoběžným čarám KN a MA se sekanou CM, jejich součet je 180 stupňů. Věta je prokázána.

Důsledky

Z výše uvedené věty vyplývá následující důsledek: každý trojúhelník má dva ostré úhly. Prokázat to, předpokládejme, že tato geometrická postava má pouze jeden ostrý úhel. Lze také předpokládat, že žádný z rohů není ostrý. V tomto případě musí existovat alespoň dva úhly, jejichž hodnota je rovna nebo větší než 90 stupňů. Ale pak součet úhlů bude větší než 180 stupňů. A to nemůže být, protože podle věty součet úhlů trojúhelníku je 180 ° - nic víc a ne méně. To je to, co bylo nutné prokázat.

Vlastnost vnějších úhlů

Jaký je součet úhlů trojúhelníku, které jsou vnější? Odpověď na tuto otázku lze získat použitím jedné ze dvou metod. Prvním je to, že je třeba najít součet úhlů, které jsou zachyceny jeden na každém vrcholu, to znamená tři rohy. Druhý znamená, že potřebujete najít součet všech šesti rohů u vrcholů. Nejprve se budeme zabývat první možností. Takže trojúhelník obsahuje šest vnějších rohů - dva na každém vrcholu. Každý pár má stejné úhly, protože jsou svislé:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Kromě toho je známo, že vnější roh trojúhelníku se rovná součtu dvou vnitřních, které se s ním netýkají. Proto,

∟1 = ∟А + ∟С, ∟2 = ∟А + ∟В, ∟3 = ∟В + ∟С.

Z toho se ukáže, že součet vnějších úhlů, které se berou na každém vrcholu, se bude rovnat:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Vzhledem k tomu, že součet úhlů je 180 stupňů, můžeme tvrdit, že ∟A + ∟B + ∟C = 180 °. A to znamená, že ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 × 180 ° = 360 °. Pokud se použije druhá možnost, součet šesti rohů bude dvakrát větší. To znamená, že součet vnějších rohů trojúhelníku bude:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

Obdélníkový trojúhelník

Jaký je součet úhlů pravého trojúhelníku, které jsou ostré? Odpověď na tuto otázku opět vyplývá z věty, která tvrdí, že úhly v trojúhelníku v součtu jsou 180 stupňů. A naše prohlášení (vlastnost) zní takto: v pravoúhlém trojúhelníku, ostré úhly v součtu dávají 90 stupňů. Prokážeme jeho pravdivost. Dejme trojúhelník CMN, pro který ∟H = 90 °. Je nutné prokázat, že ∟K + ∟M = 90 °.

Podle věty o součtu úhlů ∟K + ∟M + ∟H = 180 °. V našem stavu se říká, že ∟H = 90 °. Tak to dopadne, ∟K + ∟M + 90 ° = 180 °. To znamená, ∟K + ∟M = 180 ° - 90 ° = 90 °. To bychom měli dokázat.

Kromě výše popsaných vlastností pravoúhlého trojúhelníku můžete přidat následující:

• Úhly, které leží proti nohám, jsou ostré;
• Hypotenuse je trojúhelníková více než jakákoli noha;
• součet nohou je větší než hypotenuse;
• kazeta trojúhelníku, která leží proti úhlu 30 stupňů, je polovina velikosti hypotenuse, tj. rovná se její polovině.

Jako další vlastnost této geometrické postavy lze rozlišit Pythagorovu větu. Tvrdí, že v trojúhelníku s úhlem 90 stupňů (pravoúhlý) se součet čtverců nohou rovná čtverci hypotenze.

Součet úhlů rovnoramenného trojúhelníku

Dříve jsme říkali, že isosceles je polygon se třemi vrcholy obsahujícími dvě stejné strany. Je známa taková vlastnost dané geometrické postavy: rohy na jejím základě jsou stejné. Ukažme to.

Vezměte trojúhelník CMN, který je rovnoměrný, je jeho základem. Musíme prokázat, že ∟K = ∟H. Takže řekněme, že MA je bisector našeho trojúhelníku CMN. Trojúhelník MKA s prvním znaménkem rovnosti se rovná trojuholníku MNA. Konkrétně, podmínkou je, že CM = NM, MA je společná strana, ∟1 = ∟2, protože MA je bisector. Při použití rovnosti těchto dvou trojúhelníků můžeme tvrdit, že ∟K = ∟H. Proto je prokázána věta.

Máme však zájem o součet úhlů trojúhelníku (isosceles). Vzhledem k tomu, že v tomto ohledu nemá své vlastní singularity, začínáme z věty, která byla dříve zvažována. To znamená, že můžeme říci, že ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, nebo 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (jako ∟K = ∟N). To nebude dokázat vlastnost, protože věta o součtu úhlů trojúhelníku byla prokázána dříve.

Kromě vlastností, které jsou zvažovány o úhlech trojúhelníku, jsou důležité důkazy také:

• v výšku rovinného trojúhelníku, který byl vynechán na základně, je jak středový, tak průsečík úhlu, který je mezi rovnými stranami, a také osy symetrie jeho založení;
• Mediány (bisectriky, výšky), které jsou nakresleny na stranách této geometrické postavy, jsou stejné.

Rovnoběžný trojúhelník

To je také nazýváno pravým, je to trojúhelník, ve kterém jsou všechny strany stejné. Proto jsou také úhly stejné. Každá z nich je 60 stupňů. Proveďte tuto vlastnost.

Předpokládejme, že máme trojúhelník CMN. Víme, že KM = HM = KH. To znamená, že, v závislosti na vlastnosti úhlů umístěných na základně v rovnostranném trojúhelníku ∟K = ∟M = ∟N. Vzhledem k tomu, podle součtu úhlů trojúhelníku věty ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, pak x 3 = 180 ° ∟K nebo ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Tvrzení je tedy prokázáno.Jak lze vidět z výše uvedeného důkazu na základě věty, součet úhlů rovnostranného trojúhelníku, jako součet úhlů kteréhokoli jiného trojúhelníku, činí 180 stupňů. Tuto teorii není nutné znovu dokázat.

Jsou také charakteristické vlastnosti rovnostranný trojúhelník:

• střední, bisector, výška v takovém geometrický obrázek se shoduje, a jejich délka je vypočtena jako (a x radic-3): 2;
• pokud popisujeme kruh kolem daného polygonu, jeho poloměr bude rovný (a x radic-3): 3;
• pokud vložíme kružnici do rovnostranného trojúhelníku, pak její poloměr bude (a x radic-3): 6;
• plocha tohoto geometrického čísla je vypočtena podle vzorce: (a2 x radic-3): 4.

Tupý trojúhelník

Podle definice tupý trojúhelník, jeden z jeho úhlů je v rozmezí od 90 do 180 stupňů. Ale vzhledem k tomu, že ostatní dva koutky této geometrické postavy jsou ostré, můžeme usoudit, že nepřesahují 90 stupňů. Následně platí věta o součtu úhlů trojúhelníku při výpočtu součtu úhlů v tupém trojúhelníku. Ukazuje se, můžeme bezpečně tvrdit, spoléhat se na výše uvedenou větu, že součet úhlů tupého trojúhelníku je 180 stupňů. Opět tato věta nepotřebuje druhý důkaz.