Sinetická věta. Řešení trojúhelníků

Studium trojúhelníků nedobrovolně vyvolává otázku výpočtu vztahu mezi jejich stranami a úhly. V geometrii kosinové věty a sine poskytuje úplnou odpověď k vyřešení tohoto problému. Hojnost různých matematických výrazů a vzorců, zákonů, vět a pravidla jsou taková, že odlišný mimořádné harmonie, stručné a snadno krmit vězně v nich. Sinetická věta je živým příkladem takové matematické formulace. V případě, že slovní výklad, a přesto existuje určitá překážka v chápání matematických pravidel, když se podíváte na matematickém vzorci najednou padne na své místo.

První informace o této věty byly nalezeny v podobě důkazů o tom v rámci matematické práce Nasir al-Din al-Tusi, sahající až do třináctého století.

Blížící se blíže na vztah mezi stranami a úhly v libovolném trojúhelníku, je třeba poznamenat, že sine věta nám umožňuje řešit mnoho matematických problémů, a geometrie zákona nalezne uplatnění v celé řadě praktické lidské činnosti.

Samotná věta sine říká, že pro libovolný trojúhelník jsou strany úměrné sinusům protilehlých úhlů. K dispozici je také druhá část této věty, podle kterého je poměr každé straně trojúhelníku naproti sinu úhlu je rovna průměr kruhu, popsané v blízkosti zvažovaného trojúhelníku.

Ve tvaru vzorce vypadá tento výraz

a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R

Má větu sine důkazu, která je v různých verzích učebnic nabízena v mnoha různých verzích.

Zvažte například jeden z důkazů, které vysvětlují první část věty. Pro tento účel nastavíme cíl prokázat platnost výrazu asinC=csinA.

V libovolném trojúhelníku ABC budeme konstruovat výšku BH. V jednom provedení, bude konstrukt H leží na segmentu AC, a druhý mimo něj, v závislosti na velikosti úhlů ve vrcholech trojúhelníků. V prvním případě je výška může být vyjádřen pomocí úhlů a stran trojúhelníku jako BH = sinc a BH = c sina, což je požadovaný doklad.

V případě, že bod H je mimo hranice segmentu AC, můžeme získat následující řešení:

BH = sinC a BH = c sin (180-A) = c sinA;

nebo BH = sin (180-C) = sinC a BH = c sinA.

Jak vidíme, bez ohledu na možnosti výstavby dosáhneme požadovaného výsledku.

Důkaz o druhé části věty vyžaduje, abychom popsali kruh kolem trojúhelníku. Přes jednu výšku trojúhelníku, například B, budeme vytvářet průměr kruhu. Výsledná bod na kruhu D je připojen k jednomu z výšky trojúhelníku, ať je to bod A trojúhelníku.

Pokud vezmeme v úvahu výsledné trojúhelníky ABD a ABC, pak si všimneme rovnost úhlů C a D (jsou založeny na jednom oblouku). A vzhledem k tomu, že úhel A je devadesát stupňů, potom sin D = c / 2R, nebo sin C = c / 2R, který měl být prokázán.

Sine věta je výchozím bodem pro celou řadu různých úkolů. Zvláštní atrakcí je jeho praktické aplikace, jako důsledek Věty jsme schopni týkají hodnotu trojúhelníku stran, protilehlé úhly a poloměr (průměr) kružnice opsané kolem trojúhelníku. Jednoduchost a dostupnost vzorce popisující tento matematický výraz, nechá se hojně využívají této věty pro vyřešení těchto problémů pomocí různých mechanických zařízení počitatelných (logaritmické pravítka, stoly atd.), ale ani příchod silných výpočetních zařízení do služby člověka nezmenšil relevanci této věty.

Tato věta je nejen součástí požadovaného průběhu vysoké školy geometrie, ale později použitý v některých odvětvích praxi.