Trojúhelník rovnostranný: vlastnosti, znaky, oblast, obvod

Ve školním kurzu geometrie je obrovské množství času věnováno studiu trojúhelníků. Studenti vypočítávají úhly, vytvářejí bisektriky a výšky, zjišťují, jak se čísla liší od sebe a jak snadné je najít jejich oblast a obvod. Zdá se, že to není užitečné v životě, ale někdy je ještě užitečné vědět například, jak zjistit, že trojúhelník je rovnostranný nebo tupý. Jak je možné to udělat?

Druhy trojúhelníků

Tři body, které neleží na jednom řádku, a segmenty, které je spojují. Zdá se, že tento údaj je nejjednodušší. Jaké trojúhelníky mohou existovat, pokud mají pouze tři strany? Ve skutečnosti existuje spousta možností a některé z nich mají zvláštní pozornost v kurzu geometrie školy. Pravý trojúhelník je rovnostranný, to znamená, že všechny jeho úhly a strany jsou stejné. Má řadu pozoruhodných vlastností, které budou dále diskutovány.

V rovnoměrné rovině jsou jen dvě strany stejné a je také docela zajímavé. V obdélníku a tupý trojúhelník, jak je snadné odhadnout, jeden z rohů je rovný nebo tupý. Mohou být rovnoběžné.

K dispozici je také speciální typ trojúhelníku, egyptský. Jeho strany se rovnají 3, 4 a 5 jednotkám. Navíc je obdélníkový. To je věřil, že takový trojúhelník byl Egypťanů a architektů aktivně využíván ke stavbě pravých úhlů. Existuje názor, že s jeho pomocí byly postaveny slavné pyramidy.

A přesto všechny vrcholy trojúhelníku mohou ležet na jedné přímce. V tomto případě se bude nazývat degenerované, zatímco všechny ostatní jsou nedegenerované. Jedná se o jeden z předmětů studia geometrie.

Trojúhelník rovnostranný

Pravé postavy jsou samozřejmě vždy nejzajímavější. Vypadají dokonaleji, elegantněji. Formule pro výpočet jejich charakteristik jsou často jednodušší a kratší než u běžných čísel. To platí i pro trojúhelníky. Není divu, že při studiu geometrie se jim věnuje velkou pozornost: školáci se naučí rozlišovat správné postavy od ostatních a také mluvit o některých zajímavých vlastnostech.

Znamení a vlastnosti

Protože není těžké odhadnout z názvu, každá strana rovnostranného trojúhelníku se rovná ostatním dvěma. Kromě toho má řadu funkcí, pomocí kterých můžete zjistit, zda je správné číslo nebo ne.

• všechny jeho úhly jsou stejné, jejich velikost je 60 stupňů;
• bisektory, výšky a mediány odebrané z každého vrcholu se shodují;
• pravidelný trojúhelník má 3 osa symetrie, při turnu o 120 stupňů se nezmění.
• střed vložené kružnice je také středem ohraničeného kruhu a průsečíkem průměrů, průsečíků, výšky a středových kolmých kol.

Pokud je pozorováno alespoň jedno z výše uvedených znaků, potom je trojúhelník rovnostranný. Pro správné číslo platí všechna výše uvedená tvrzení.

Všechny trojúhelníky mají řadu pozoruhodných vlastností. Za prvé, střední čára, tj. Segment, který dělí obě strany na polovinu a rovnoběžně s třetím, se rovná polovině základny. Za druhé, součet všech úhlů tohoto čísla je vždy 180 stupňů. Navíc je v trojúhelnících další zajímavý vztah. Takže proti větší straně leží větší úhel a naopak. Ale to samozřejmě nemá žádný vztah k rovnostrannému trojúhelníku, protože všechny úhly jsou stejné.

Vložené a ohraničené kruhy

Často v průběhu geometrie se studenti také dozvědí, jak mohou jednotlivé postavy vzájemně ovlivňovat. Zejména studujeme kruhy, které jsou vpísány do polygonů nebo popsány v jejich blízkosti. O čem to mluvíme?

Označeno je kružnice, pro kterou jsou všechny strany polygonu tečné. Popisuje se ten, který má body kontaktu se všemi úhly. Pro každý trojúhelník je vždy možné vytvořit první i druhý kruh, ale pouze jeden z nich. Důkaz těchto dvou věty jsou uvedeny v kurzu geometrie školy.

Kromě výpočtu parametrů samotných trojúhelníků některé problémy zahrnují také výpočet poloměru těchto kruhů. A vzorce, na které se vztahuje
rovnostranný trojúhelník jsou následující:

r = a / radic-p3;

R = a / 2radic-p3;

kde r je poloměr zapsané kružnice, R je poloměr ohraničené kružnice a a je délka strany trojúhelníku.

Výpočet výšky, obvodu a plochy

Hlavní parametry, které studenti vypočítají při studiu geometrie, zůstávají pro téměř libovolný údaj nezměněny. To je obvod, plocha a výška. Pro jednoduchost výpočtů existují různé vzorce.

Takže obvod, tedy délka všech stran, je vypočítán následujícími způsoby:

P = 3a = 3radic- ∨3R = 6radic- ∨3r, kde a je strana pravidelného trojúhelníku, R je poloměr ohraničené kružnice, r je vyznačený.

Výška:

h = (radic- 3 / 2) * a, kde a je délka strany.

Nakonec, vzorec oblasti rovnostranného trojúhelníku je odvozen od standardu, tj. produktu poloviny základny až k její výšce.

S = (radic- a3 / 4) * a², kde a je délka strany.

Tuto hodnotu lze také vypočítat pomocí parametrů ohraničené nebo zapsané kružnice. Existují také speciální vzorce pro toto:

S = 3radic- ∨3r² = (3radic - 3/4) * R², kde r a R jsou poloměry zapsaných a ohraničených kružnic.

Budování

Další zajímavý typ problému, včetně trojúhelníků, souvisí s potřebou nakreslit určitý tvar pomocí minimálního souboru
nástroje: kompasy a pravítko bez dělení.

Chcete-li vytvořit správný trojúhelník pouze s těmito nástroji, musíte provést několik kroků.

1. Je nutné nakreslit kruh s libovolným poloměrem a vystředit v libovolném bodě A. Je třeba poznamenat.
2. Poté musíte přes tento bod nakreslit přímku.
3. Průsečíky kruhu a přímky musí být označeny jako B a C. Veškeré konstrukce musí být provedeny co nejvyšší přesností.
4. Dále musíme vytvořit jiný kruh se stejným poloměrem a středem v bodě C nebo obloukem s odpovídajícími parametry. Průsečíky budou označeny jako D a F.
5. Body B, F, D musí být spojeny segmenty. Rovinný trojúhelník je konstruován.

Řešení takových problémů obvykle představuje problém pro školáky, ale tato dovednost může být užitečná v každodenním životě.