Jak zjistit výšku v rovnoměrném trojúhelníku? Nálezová rovnice, výškové vlastnosti v rovnoměrném trojúhelníku

Geometrie není jen předmětem školy, na kterou je třeba získat vynikající hodnocení. Je to také znalost, která se často vyžaduje v životě. Například při stavbě domu s vysokou střechou je třeba vypočítat tloušťku dříví a jejich počet. To je snadné, pokud víte, jak najít výšku v rovnoměrném trojúhelníku. Architektonické struktury jsou založeny na znalosti vlastností geometrických tvarů. Formy staveb často vizuálně připomínají. Egyptské pyramidy, balíčky s mlékem, umělecké výšivky, severní obrazy a dokonce i patty jsou všechny trojúhelníky kolem člověka. Jak řekl Plato, celý svět je založen na trojúhelnících.

Je rovnoměrný trojúhelník

Aby bylo jasnější, co bude dále diskutováno, stojí za to pamatovat si základy geometrie.

Trojúhelník je rovnoměrný, pokud má dvě stejné strany. Jsou vždy nazývány bočně. Strana, jejíž rozměry se liší, byla nazývána důvody.

Základní pojmy

Jako každá věda, geometrie má své vlastní základní pravidla a pojmy. Existuje mnoho z nich. Zvažte pouze ty, bez kterých bude naše téma poněkud nepochopitelné.

Výška je přímka, která je kolmá na protilehlou stranu.

Median je segment orientovaný z jakéhokoli vrcholu trojúhelníku výlučně do středu protilehlé strany.

Úhelník je nosník, který dělí úhel na polovinu.

Blinkrem trojúhelníku je přímka nebo spíše segment bisektory úhlu, spojující vrchol s protilehlou stranou.

Je velmi důležité si uvědomit, že úhel bisektoru je nutně paprsek a že část trojúhelníku je součástí takového paprsku.

Úhly u základny

Věta říká, že úhly umístěné u základů libovolného rovnoběžného trojúhelníku jsou vždy stejné. Je velmi jednoduché dokázat tuto větu. Zvažte rovnoměrný trojúhelník ABC, pro který AB = BC. Z úhlu ABC je nutné nakreslit průsečík VD. Teď zvažte dva získané trojúhelníky. Podmínkou AB = BC je strana AP pro trojúhelníky společná a úhly ABD a SVD jsou stejné, protože VD je bisector. Když připomínáme první znamení rovnosti, můžeme bezpečně dospět k závěru, že zvažované trojúhelníky jsou stejné. A proto jsou všechny odpovídající úhly stejné. A samozřejmě strany, ale v tomto bodě se vrátíme později.

Výška rovnoramenného trojúhelníku

Hlavní teorém, na kterém je založeno řešení téměř všech problémů, je následující: výška v rovnoměrném trojúhelníku je průměrem a mediánem. Abychom porozuměli jeho praktickému významu (nebo podstatě), je třeba provést pomocný příspěvek. K tomu je třeba vyřezat rovnoměrný trojúhelník z papíru. Nejjednodušší způsob, jak to udělat, je ze standardního tetradového listu v buňce.

Ohněte výsledný trojúhelník na polovinu a vyrovnejte strany. Co se stalo? Dva rovnoběžné trojúhelníky. Nyní musíte zkontrolovat odhad. Rozbalte origami. Nakreslete řadu záhybů. Pomocí úhloměru zkontrolujte úhel mezi taženou čárou a základnou trojúhelníku. Co říká úhel 90 stupňů? Skutečnost, že nakreslená čára je kolmá. Podle definice - výška. Jak zjistit výšku v rovnoměrném trojúhelníku, vyřešili jsme ji. Teď řekneme rohy nahoře. Pomocí stejného úhloměru zkontrolujte úhly, které nyní tvoří výška. Jsou stejné. To znamená, že výška je také bisector. Ozbrojení pravítkem změřte délky, na kterých se výška základny zlomí. Jsou stejné. V důsledku toho výška v rovnoměrném trojúhelníku rozděluje základnu na polovinu a je střední.

Důkaz věty

Vizuální pomůcka jasně demonstruje pravdivost věty. Ale geometrie - věda je zcela přesná, proto vyžaduje důkaz.

Při zvažování rovnosti úhlů na základně byla prokázána rovnost trojúhelníků. Připomeňme, že VD je bisector, a trojúhelníky AVD a SVD jsou stejné. Závěrem bylo toto: odpovídající strany trojúhelníku a samozřejmě úhly jsou stejné. Proto AD = SD. Proto je VD medián. Zbývá prokázat, že VD je výška. Vycházeje z rovnováhy zvažovaných trojúhelníků, ukazuje se, že úhel ADB je roven úhlu VDV. Ale tyto dva rohy jsou sousední a, jak je známo, dáme celkem 180 stupňů. K čemu jsou tedy stejné? Samozřejmě, 90 stupňů. VD je tedy výška v rovnoměrném trojúhelníku přitahovaném k základně. Jak to dokazuje.

Hlavní rysy

• Pro úspěšné řešení problémů je třeba si uvědomit základní rysy rovnoramenných trojúhelníků. Zdá se, že jsou inverzní k větám.
• Pokud v průběhu řešení problému zjistíte rovnost dvou úhlů, jedná se o rovnoramenný trojúhelník.
• Kdyby bylo možné dokázat, že medián je současně výška trojúhelníku, směle uzavřete - trojúhelník je rovnoměrný.
• Je-li bisector také výška, pak je na základě hlavních rysů označován trojúhelník jako rovnoměrné.
• A samozřejmě, pokud se medián objeví v roli výšky, takový trojúhelník je rovnoměrný.

Vzorec výšky 1

Pro většinu problémů je však nutné najít aritmetickou výšku. Proto zvažujeme, jak najít výšku v rovnoměrném trojúhelníku.

Vraťme se k výše uvedenému obrázku ABC, ve kterém a jsou strany a c je základ. VD je výška tohoto trojúhelníku, má označení h.

Jaký je trojúhelník AED? Vzhledem k tomu, že VD je výška, trojúhelník ABD je obdélníkový, jehož katet má být nalezen. Pomocí vzorce Pythagoras získáváme:

AV² = АД² + VD²

Po zjištění z výrazu VD a nahrazení již použitého notace získáme:

H² = a² - (c / 2) ².

Je nutné extrahovat kořen:

H = radic-а² - ² / 4.

Pokud vyjdete z kořenové značky frac14-, pak vzorec bude vypadat takto:

H = frac12- radic-4a² - ².

Toto je výška v rovnoměrném trojúhelníku. Vzorec vyplývá z věty Pythagoras. Dokonce i když zapomenete na tento symbolický vstup, pak, když zjistíte způsob nalezení, můžete ho vždy stáhnout.

Výškový vzorec 2

Výše popsaný vzorec je hlavní a nejčastěji se používá při řešení většiny geometrických problémů. Ale není to jediné. Někdy ve stavu namísto základny je udána hodnota úhlu. S takovými údaji, jak najít výšku v rovnoměrném trojúhelníku? Chcete-li vyřešit podobné problémy, doporučujeme použít jiný vzorec:

H = a / sin alfa-,

kde H je výška směřující k základně,

ale - strana,

alfa- je úhel dolní.

Pokud úloha udává hodnotu úhlu na vrcholu, potom je výška v rovnoměrném trojúhelníku následující:

H = a / cos (beta- / 2),

kde H je výška spadla na základnu,

beta- je úhel v horní části,

a je boční strana.

Obdélníkový rovnoramenný trojúhelník

Velmi zajímavou vlastností je trojúhelník, jehož vrchol je 90 stupňů. Zvažte pravý trojúhelník ABC. Stejně jako v předchozích případech je VD výška směrem k základně.

Rohy u základny jsou stejné. Vypočítejte, že jejich skvělá práce nebude:

alfa- (180 - 90) / 2.

Takže úhly na základně jsou vždy 45 stupňů. Nyní zvážit trojúhelník ADV. To je také obdélníkové. Najděme úhel ABD. Jednoduchými výpočty získáme 45 stupňů. A v důsledku toho je tento trojúhelník nejen obdélníkový, ale i rovnoramenný. Strany AD a VD jsou boční stranou a jsou mezi sebou rovny.

Ale strana BP současně je polovina strany AU. Ukazuje se, že výška v rovnoměrném trojúhelníku je polovina základny a pokud je psána ve formě vzorce, získáváme následující výraz:

H = B / 2.

Je třeba si uvědomit, že tento vzorec je výlučně zvláštní případ a může být použit pouze pro obdélníkové rovnoramenné trojúhelníky.

Zlaté trojúhelníky

Velmi zajímavý je zlatý trojúhelník. Na tomto obrázku je poměr bočního k základně rovný hodnotě nazvané číslo Phidias. Úhel v horní části je 36 stupňů, u základny je 72 stupňů. Tento trojúhelník byl obdivován Pythagorejci. Zásady zlatého trojúhelníku jsou základem mnoha nesmrtelných mistrovských děl. Známý všem pětičlenná hvězda je postavena na průsečíku rovnoramenných trojúhelníků. Pro mnohé výtvory využil Leonardo da Vinci princip "zlatého trojúhelníku". Složení "Gioconda" je založeno právě na číslech, které vytvářejí pravidelný hvězdný pětiúhelník.

Obraz "kubismus", jeden z výtvorů Pablo Picasso, fascinuje pohled položený do základů rovnoramenných trojúhelníků.