Konvexní polygony. Definice konvexního mnohoúhelníku. Diagonály konvexního mnohoúhelníku

Tyto geometrické postavy nás obklopují všude. Konvexní polygony jsou přirozené, například včelí voštiny nebo umělé (vytvořené lidmi). Tyto údaje se používají při výrobě různých typů povlaků, v malířství, architektuře, dekoracích apod. Konvexní polygony mají vlastnost, že všechny jejich body jsou umístěny na jedné straně linky, která prochází dvojicí sousedních vrcholů této geometrické postavy. Existují další definice. Konvexní je ten polygon, který je umístěn v jediné polovině roviny vzhledem k libovolné čáře obsahující jednu ze svých stran.

Konvexní polygony

V průběhu elementární geometrie vždy považujeme pouze jednoduché polygony. Porozumět všem vlastnostem těchto geometrické tvary je třeba pochopit jejich povahu. Za prvé, mělo by být zřejmé, že každá linie, jejíž konce se shodují, se nazývá uzavřená. A postava, kterou tvoří, může mít různé konfigurace. Polygon je jednoduchá uzavřená polygonální čára, jejíž sousední vazby nespočívají na stejné čáře. Jeho vazby a vrcholy jsou respektive strany a vrcholy této geometrické postavy. Jednoduchá křivka nesmí mít sebepřipojení.

Vrcholy polygonu se nazývají přilehlé, pokud představují konce jedné ze svých stran. Geometrický obrazec, který má n-tý počet vrcholů, a tím i n-tý počet stran nazývá n-gon. Přerušovaná čára se nazývá hranice nebo obrys této geometrické postavy. Víceúhelní rovina nebo rovinný mnohoúhelník se nazývá konečná část každé roviny, která je ohraničena. Sousedící strany této geometrické postavy jsou segmenty přerušované čáry začínající od jednoho vrcholu. Nebudou sousední, pokud pocházejí z různých vrcholů polygonu.

Další definice konvexních mnohoúhelníků

V elementární geometrii existuje více ekvivalentních definic z hlediska jejich hodnoty, což naznačuje, který polygon se nazývá konvexní. A všechny tyto formulace jsou stejně pravdivé. Konvexní polygon je považován za:

• každý segment, který spojuje dva body uvnitř, je zcela v něm;

• uvnitř leží všechny jeho úhlopříčky;

• žádný vnitřní úhel nepřesahuje 180 °.

Víceúhelník rozděluje rovinu na dvě části. Jeden z nich je omezen (může být uzavřen v kruhu) a druhý je neomezený. První se nazývá vnitřní oblast a druhá se nazývá vnější oblast této geometrické postavy. Tento polygon je křižovatka (jinými slovy - společná součást) několika poloplunů. V tomto případě má každý segment, který končí v bodech, které náleží k polygonu.

Odrůdy konvexních mnohoúhelníků

Definice konvexního mnohoúhelníka neznamená, že existuje mnoho druhů. A každý z nich má určitá kritéria. Takže konvexní polygony, které mají vnitřní úhel 180 °, jsou nazývány slabě konvexní. Konvexní geometrického obrazce, který má tři vrcholy, se nazývá trojúhelník, čtyři - čtyřúhelník, pět - pětiúhelník, atd Každý konvexní n-gons splňuje následující důležité požadavky: .. N musí být rovna nebo větší než 3. Každá z těchto trojúhelníků je konvexní. Geometrická postava tohoto typu, ve které jsou všechny vrcholy umístěny na jednom kruhu, se nazývá v kruhu. Konvexní mnohoúhelník se nazývá popsaný, pokud se jej dotýkají všechny jeho strany v blízkosti kruhu. Dva polygony se nazývají rovny, pouze pokud je lze kombinovat pomocí překrytí. Víceúhelní rovina se nazývá rovinný polygon (část roviny), který je omezen tímto geometrickým tvarem.

Pravidelné konvexní polygony

Správné polygony jsou geometrické postavy se stejnými úhly a stranami. Uvnitř je bod 0, který je ve stejné vzdálenosti od každého z jeho vrcholů. Nazývá se středem této geometrické postavy. Segmenty, které spojují střed s vrcholy této geometrické postavy, se nazývají apophemy a ty, které spojují bod 0 na stranách, jsou poloměry.

Pravý čtyřúhelník je čtverec. Pravý trojúhelník se nazývá rovnostranný. U těchto čísel existuje následující pravidlo: každý úhel konvexního mnohoúhelníku je 180 ° * (n-2) / n,

kde n je počet vrcholů této konvexní geometrické postavy.

Oblast libovolného pravidelného mnohoúhelníku je definována vzorem:

S = p * h,

kde p se rovná polovině součtu všech stran daného polygonu a h je roven délce apopému.

Vlastnosti konvexních mnohoúhelníků

Konvexní polygony mají určité vlastnosti. Takže segment, který spojuje jakékoliv dva body takové geometrické postavy, je nutně umístěn v něm. Důkaz:

Předpokládejme, že P je daný konvexní polygon. Vezměte dva libovolné body, například A a B, které patří do P. Podle současné definice konvexní polygon, tyto body jsou umístěny na jedné straně přímky, která obsahuje libovolném směru R. V důsledku toho, AB má rovněž tuto vlastnost a je obsažen v R. A konvexní polygon vždy Je možné rozdělit do několika trojúhelníků absolutně všechny úhlopříčky, které jsou odvozeny z jednoho z jeho vrcholů.

Úhly konvexních geometrických tvarů

Úhly konvexního mnohoúhelníku jsou úhly, které tvoří jeho strany. Vnitřní rohy jsou ve vnitřní oblasti tohoto geometrického tvaru. Úhel, který je tvořen jeho stranami, které se sbíhají na jednom vrcholu, se nazývá úhel konvexního mnohoúhelníku. Sousední úhly s vnitřními úhly dané geometrické postavy, se nazývají vnější. Každý úhel konvexního mnohoúhelníku, který se nachází uvnitř, je roven:

180 ° - x,

kde x je hodnota vnějšího úhlu. Tento jednoduchý vzorec platí pro všechny geometrické postavy tohoto typu.

Obecně platí, že pro vnější úhly platí následující pravidlo: každý úhel konvexního mnohoúhelníku se rovná rozdílu mezi 180 ° a hodnotou vnitřního úhlu. Může mít hodnoty v rozmezí -180 ° až 180 °. Proto když je vnitřní úhel 120 °, vnější úhel bude 60 °.

Součet úhlů konvexních mnohoúhelníků

Součet vnitřních úhlů konvexního mnohoúhelníku je stanoven pomocí vzorce:

180 ° * (n-2),

kde n je počet vrcholů n-gonu.

Součet úhlů konvexního mnohoúhelníku se vypočítá jednoduše. Zvažte jakýkoli takový geometrický obraz. K určení součtu úhlů uvnitř konvexního mnohoúhelníku musí být jeden z jeho vrcholů spojen s jinými vrcholy. V důsledku této akce získáváme (n-2) trojúhelníky. Je známo, že součet úhlů kteréhokoli trojúhelníku je vždy 180 °. Vzhledem k tomu, že jejich počet v libovolném polygonu se rovná (n-2), součet vnitřních úhlů takové hodnoty je 180 ° x (n-2).

Částka konvexní polygon rohy, a to dvěma sousedními vnitřní a vnější úhly na ně, v tomto konvexního geometrického útvaru bude vždy roven 180 °. Vycházíme z toho, že je možné určit součet všech jeho úhlů:

180 x n.

Součet vnitřních úhlů je 180 ° * (n-2). Vycházíme z toho, že součet všech vnějších úhlů daného čísla je stanoven pomocí vzorce:

180 ° * n-180 ° - (n-2) = 360 °.

Součet vnějších úhlů libovolného konvexního mnohoúhelníku bude vždy 360 ° (bez ohledu na počet jeho stran).

Vnější úhel konvexního mnohoúhelníku je obecně reprezentován rozdílem mezi 180 ° a hodnotou vnitřního úhlu.

Další vlastnosti konvexního mnohoúhelníku

Vedle základních vlastností těchto geometrických tvarů mají jiné vlastnosti, které vznikají při jejich manipulaci. Takže jakýkoli z polygonů může být rozdělen do několika konvexních n-gonů. Za tímto účelem je nutné pokračovat v každém z jeho stran a řezat tuto geometrickou postavu podél těchto přímých linií. Rozdělte jakýkoli mnohoúhelník do několika konvexních částí a tak, aby se vrcholy každého kusu shodovaly se všemi svými vrcholy. Z tohoto geometrického tvaru je velmi jednoduché vytvářet trojúhelníky tím, že držíme všechny diagonály z jednoho vrcholu. Tak může být jakýkoli polygon nakonec rozdělen na určitý počet trojúhelníků, což je velmi užitečné při řešení různých problémů spojených s takovými geometrickými obrazci.

Obvod konvexního mnohoúhelníku

Segmenty přerušované čáry nazvané strany polygonu jsou nejčastěji označeny následujícími písmeny: ab, bc, cd, de, ea. Jsou to strany geometrického tvaru s vrcholy a, b, c, d, e. Součet délky všech stran tohoto konvexního mnohoúhelníku se nazývá jeho obvod.

Kruh polygonu

Konvexní polygony mohou být napsány a popsány. Kruh dotýkající se všech stran této geometrické postavy se nazývá do ní zapsán. Takový mnohoúhelník se nazývá popsaný. Střed kruhu, který je napsán v polygonu, je průsečík poloměrů všech úhlů uvnitř daného geometrického tvaru. Oblast takového polygonu se rovná:

S = p * r,

kde r je poloměr zapsaného kruhu a p je semiperimetr daného polygonu.

Kružnice obsahující vrcholy polygonu je nazývána v blízkosti. V tomto případě se tato konvexní geometrická postava nazývá napsaná. Střed kruhu, který je popsán v blízkosti takového mnohoúhelníku, představuje průsečík tzv. Střední kolmice všech stran.

Diagonály konvexních geometrických tvarů

Diagonály konvexního mnohoúhelníku jsou segmenty, které spojují nesousedící vrcholy. Každý z nich leží uvnitř této geometrické postavy. Počet diagonálů takového n-gonu je stanoven podle vzorce:

N = n (n-3) / 2.

Počet úhlopříčků konvexního mnohoúhelníku hraje v elementární geometrii důležitou roli. Počet trojúhelníků (K), do kterých lze rozdělit každý konvexní polygon, se vypočítá podle následujícího vzorce:

K = n - 2.

Počet diagonálů konvexního mnohoúhelníku vždy závisí na počtu jeho vrcholů.

Rozdělení konvexního mnohoúhelníku

V některých případech je pro řešení geometrických problémů nutné rozdělit konvexní mnohoúhelník do několika trojúhelníků s disjunktními úhlopříčkami. Tento problém lze vyřešit odvozením určitého vzorce.

Definice problému: nazýváme určitou oblast konvexního n-gonu do několika trojúhelníků diagonály, které se protínají pouze na vrcholech této geometrické postavy.

Řešení: Předpokládejme, že P1, P2, P3 hellip-, Pn jsou vrcholy tohoto n-gonu. Číslo Xn je počet jeho oddílů. Pečlivě zvažujeme výslednou diagonálu geometrického tvaru Pi Pn. V jedné z pravidelných oddílů P1 Pn patří do určitého trojúhelníku P1 Pi Pn, pro který 1

Nechť i = 2 je jedna skupina pravidelných oddílů, vždy obsahující diagonální P2 Pn. Počet oddílů, které do něj vstupují, se shoduje s počtem oddílů (n-1) -gon P2 P3 P4hellip-Pn. Jinými slovy, to se rovná Xn-1.

Pokud i = 3, pak tato druhá skupina oddílů bude vždy obsahovat úhlopříčky P3 P1 a P3 Pn. Navíc počet pravidelných oddílů obsažených v této skupině se shoduje s počtem oddílů (n-2) -gon P3 P4hellip-Pn. Jinými slovy, bude se rovnat Xn-2.

Nechť i = 4, pak správné přepážka mezi trojúhelníků bude nutně obsahovat trojúhelník P4 P1 Pn, které bude sousedí čtyřúhelník P1 P2 P3 a P4, (n-3) gon R5hellip- P4 Pn. Počet pravidelných oddílů takového čtyřúhelníku se rovná X4 a počet oddílů (n-3) -gon se rovná Xn-3. Na základě všech výše uvedených skutečností lze říci, že celkový počet pravidelných oddílů obsažených v této skupině je Xn-3 X4. Jiné skupiny, u kterých i = 4, 5, 6, 7hellip - obsahují Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 hellip-pravidelné oddíly.

Nechť i = n-2, počet správných oddílů v dané skupině se bude shodovat s počtem oddílů ve skupině, ve které i = 2 (jinými slovy, rovná Xn-1).

Vzhledem k tomu, že X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2hellip - počet všech oddílů konvexního mnohoúhelníku se rovná:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + hellip + X5Xn-4 + X4Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

Příklad:

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Počet pravidelných oddílů protínajících jednu úhlopříčku

Při ověřování konkrétních případů lze předpokládat, že počet diagonálů konvexních n-gonů se rovná součinu všech oddílů tohoto čísla (n-3).

Důkazem tohoto předpokladu: předpokládejme, že P1N = Xn * (n-3), pak každý n-gon může být rozdělen do (n-2) je trojúhelník. Současně může být jeden z nich kombinován (n-3) - kvadrangle. Kromě toho bude mít každý čtyřúhelník úhlopříčku. Od tohoto konvexního geometrického útvaru dvě diagonály se může provádět, což znamená, že v žádné (n-3) -chetyrehugolnikah mohou provádět další diagonální (n-3). Vycházíme z toho, že v libovolném pravidelném oddělení je možné provádět (n-3) -diagonály odpovídající podmínkám tohoto problému.

Oblast konvexních mnohoúhelníků

Často při řešení různých problémů elementární geometrie je nutné určit plochu konvexního mnohoúhelníku. Předpokládejme, že (Xi, Yi), i = 1,2,3hellip-n je posloupnost souřadnic všech sousedních vrcholů polygonu, který nemá samokřemence. V tomto případě je jeho plocha vypočtena podle následujícího vzorce:

S = frac12- (součet- (X_i + X_{i + 1}) (Y_i + Y_{i + 1})),

kde (X₁, Y₁) = (X_{n +1}, Y_{n + 1}).