Čtyřhranný s pravými úhly je ... Součet úhlů čtyřúhelníku

Jedním z nejzajímavějších témat z geometrie z kurzu je "Quadrangles" (8. třída). Jaké takové údaje existují, jaké zvláštní vlastnosti mají? Jaká je jedinečnost čtyřúhelníků s úhly devadesáti stupňů? Podívejme se na to všechno.

Jaká geometrická postava se nazývá čtyřúhelník

Polygony, které se skládají ze čtyř stran a čtyřmi vrcholy (úhly), se nazývají čtverhranými v euklidovské geometrii.

Zajímají o historii tohoto typu postavy jmen. V ruském jazyce podstatné jméno „čtyřúhelník“ je odvozen od „čtyři rohy“ frází (stejným způsobem jako „trojúhelník“ - ze tří úhlů, „pětiúhelníku“ - pět úhlů, atd ...).

Nicméně v latině (jehož zprostředkováním se ve většině světových jazyků dostalo mnoho geometrických výrazů) se nazývá čtyřúhelník. Toto slovo je tvořeno číslem quadri (čtyři) a podstatným jménem latus (boční). Takže můžeme konstatovat, že ve starověku byl tento polygon nazýván pouze "čtyřúhelníkem".

Mimochodem, toto jméno (s důrazem na přítomnost čtyř stran, ne úhly) na tomto obrázku bylo zachováno v některých moderních jazycích. Například v angličtině - čtyřúhelník a ve francouzštině - quadrilatère.

Ve většině slovanských jazyků je tento druh identifikován údaje stále na počtu rohů, nikoli po stranách. Například ve slovenském jazyce (Scaron-tvoruholník), bulharském ( ‚chetiriglnik‚), v Bělorusku (‘chatyrohkutnіk‚) ukrajinsky (‘chotirikutnik„), česky (čtyřúhelník), ale v polském čtyřúhelníku volal na počtu účastníků - czworoboczny ,

Jaké druhy quadrangles jsou studovány v učebních osnovách

V moderní geometrii jsou rozlišeny čtyři typy polygonů se čtyřmi stranami. Nicméně kvůli příliš složitým vlastnostem některých z nich se v učebnicích geometrie učí pouze dva druhy.

• Paralelogram (paralelogram). Opačné strany čtyřúhelníku jsou vzájemně paralelně paralelní a jsou tedy také párové.
• Trapézum (lichoběžník nebo lichoběžník). Tento čtverec se skládá ze dvou protilehlých stran, vzájemně rovnoběžných. Jiný pár stran však nemá takovou vlastnost.

Typy čtyřúhelníků, které nejsou studovány v kurzu geometrie školy

Navíc k výše uvedenému existují další dva typy čtyřúhelníků, které školáci v geometrických třídách nejsou obeznámeni vzhledem k jejich zvláštní složitosti.

• Deltooid (kite) - v níž je každý ze dvou párů přilehlých stran stejný jako u sebe. Název tohoto kvadrangle je dán skutečností, že ve vzhledu je docela podobný písmenu řecké abecedy - "delta".
• Antiparalelogram (antiparalelogram) - toto číslo je stejně složité jako jeho jméno. V tom jsou dvě protilehlé strany stejné, ale nejsou navzájem paralelní. Navíc dlouhé protilehlé strany tohoto čtyřhranného překrytí, stejně jako rozšíření dalších dvou kratších stran.

Typy paralelogramů

Když se zabýváme hlavními typy čtyřúhelníků, stojí za to věnovat pozornost jeho poddruhu. Takže všechny paralelogramy jsou dále rozděleny do čtyř skupin.

• Klasický rovnoběžník.
• Rhombus (rhombus) - čtverhranná postava se stejnými stranami. Jeho diagonály se protínají v pravém úhlu a dělí diamant do čtyř rovných obdélníkových trojúhelníků.
• Obdélník (obdélník). Jméno mluví samo za sebe. Vzhledem k tomu, že je to čtyřúhelník s pravými úhly (každý z nich se rovná devadesát stupňům). Opačné strany jsou nejen vzájemně rovnoběžné, ale rovnoprávné.
• Náměstí (čtverec). Vzhledem k tomu, obdélník je čtyřúhelník s pravými úhly, ale má všechny strany rovnat. Toto číslo se nachází blízko kosočtverce. Takže lze tvrdit, že čtverec je kříž mezi diamantem a obdélníkem.

Zvláštní vlastnosti obdélníku

Vzhledem k tomu, že každý z úhlů mezi stranami se rovná devadesáti stupňům, stojí za to podrobněji se podívat na obdélník. Jaké zvláštní vlastnosti má, které ho odlišují od ostatních paralelogramů?

Prokázat, že daný rovnoběžník je obdélník, musí být jeho úhlopříčky rovny a každý z úhlů je rovný. Navíc čtverec jeho úhlopříček by měl odpovídat součtu čtverců dvou přilehlých stran tohoto obrázku. Jinými slovy, klasický obdélník se skládá ze dvou pravoúhlých trojúhelníků, jak jsou známy, je součet čtverců nohou je roven druhé mocnině přepony. V roli hypotenze se objevuje diagonál čtvrtletí.

Poslední z uvedených charakteristik tohoto čísla je také jeho zvláštní vlastností. Kromě toho existují další. Například skutečnost, že všechny strany čtyřúhelníku studované s pravými úhly jsou současně jeho výšky.

Kromě toho, je-li obdélník kolem sebe nakreslit kruh, jehož průměr se bude rovnat úhlopříčce vepsané tvarů.

Mezi další vlastnosti tohoto čtyřúhelníku neexistuje skutečnost, že je plochá a v neeuklidovské geometrii. To je způsobeno skutečností, že v tomto systému nejsou žádné čtverhranné postavy, jejichž součet úhlů se rovná tři sta šedesát stupňů.

Náměstí a jeho rysy

Když se zabýváme vlastnostmi a vlastnostmi obdélníku, stojí za to věnovat pozornost druhému známému čtyřúhelníku s rovnými úhly (to je čtverec).

Ve skutečnosti je to stejný obdélník, ale se stejnými stranami, tato postava má všechny své vlastnosti. Na rozdíl od toho je čtverec přítomen v neeuklidovské geometrii.

Navíc, toto číslo, existují i ​​jiné vlastní rysy. Například skutečnost, že diagonály čtverce nejsou jednoduše stejné, ale také se protínají v pravém úhlu. Tak, jako diamant, náměstí se skládá ze čtyř obdélníkových trojúhelníků, do kterých je dělen diagonály.

Kromě toho je toto číslo nejsymetrnější ze všech čtyřúhelníků.

Jaký je součet úhlů čtyřúhelníku

Vzhledem k singularitě čtyřúhelníků euklidovské geometrie stojí za to věnovat pozornost jejich úhlům.

Takže v každé z výše uvedených čísel, bez ohledu na to, zda mají pravé úhly nebo ne, jejich celková suma je vždy stejná - tři sta šedesát stupňů. Jedná se o jedinečný charakteristický rys tohoto druhu čísel.

Obvod čtyřúhelníků

Když jsme se zabývali součtem úhlů čtyřnásobných a dalších zvláštních vlastností obrazů tohoto druhu, stojí za to zjistit, které vzorce jsou nejlépe použity k výpočtu jejich obvodu a oblasti.

Chcete-li určit obvod libovolného čtyřúhelníku, stačí přidat délku všech jeho stran.

Například na obrázku KLMN lze jeho obvod vypočítat podle vzorce: P = KL + LM + MN + KN. Pokud nahradíme čísla zde, získáme: 6 + 8 + 6 + 8 = 28 (cm).

V případě, že je považováno za údaj - může být čtverec nebo kosočtverec, pro nalezení obvodu vzorce zjednodušené jednoduchým vynásobením délky jedné ze svých stran o čtyři P x = KL Příklad 4 6 x 4 = 24 (cm).

Čtvercové čtvercové vzorce

Když jsme se zabývali tím, jak najít obvod libovolné postavy se čtyřmi rohy a stranami, stojí za to zvážit nejpopulárnější a nejjednodušší způsob, jak najít její oblast.

• Klasickým způsobem výpočtu je použít vzorec S = 1/2 KM x LN x SIN LON. Ukazuje se, že plocha libovolného čtyřúhelníku se rovná polovině výrobku jeho úhlopříčků sínusem úhlu, který se nachází mezi nimi.
• V případě, že postava, jejíž plocha je třeba najít - to je obdélník nebo čtverec (jehož úhlopříčka je vždy rovna sebe), můžeme zjednodušit vzorec, na náměstí vztyčen délky jedné úhlopříčky a vynásobením sinus úhlu mezi nimi a dělení na polovinu všech. Například: S = 1/2 CM ² x SIN LON.
• Také při hledání oblasti obdélníku mohou pomoci informace o obvodu daného čísla a délce jedné ze stran. V tomto případě bude nejvýhodnější použít vzorec S = KN x (P - 2 KN) / 2.
• V případě čtverce nám jeho vlastnosti umožňují použít několik dalších vzorců k nalezení oblasti. Například pokud znáte obvod čísla, můžete použít tuto volbu: S = P ²/ 16. A jestliže je známý poloměr kružnice napsané čtyřúhelníkem, čtverec čtverce je velmi podobný: S = 4r². Pokud je známý okruh ohraničené kružnice, je vhodný jiný vzorec: S = 2R². Také Náměstí čtverce se rovná 0,8 délky čáry vytažené z rohu obrázku do středu protilehlé strany.
• Navíc ke všem výše uvedeným existuje také samostatný vzorec pro nalezení oblasti, vypočítané specificky pro paralelogram. Může být použito, pokud je známo, délku dvou výšky obrázku a velikosti úhlu mezi nimi. Potom musí být výšky vynásobeny mezi sebou a sínusem úhlu mezi nimi. Stojí za zmínku, že můžete použít tento vzorec pro všechny číslice, které se vztahují k paralelogramům (tj. K obdélníku, kosočtverce a čtverci).

Další vlastnosti čtyřúhelníků: zapsané a ohraničené kruhy

Po zvážení vlastností a vlastností čtyřúhelníku jako postavy euklidovské geometrie stojí za to věnovat pozornost možnosti popsat nebo uzavřít kruhy uvnitř:

• Je-li součet protilehlých úhlů postavu až o sto osmdesát stupňů a jsou vzájemně stejné, je možné popsat kruh volně kolem tohoto čtyřúhelníku.
• Podle Ptolemaiově teorém, pokud popsané kruhu mimo polygon se čtyřmi stranami, se produkt z úhlopříček je rovna součtu produktů z protilehlých stran na obrázku. Vzorec tak bude vypadat takto: KM x LN = KL x MN + LM x KN.
• Budeme-li postavit čtyřúhelník, ve kterém jsou součty protilehlých stran stejné, pak do něj může být zapsán kruh.

Když jsme se zabývali tím, co je čtyřúhelník, jaké druhy existují, které z nich mají pouze přímý úhel mezi stranami a jaké vlastnosti mají, stojí za to pamatovat si celý tento materiál. Konkrétně vzory pro zjištění obvodu a oblasti zkoumaných polygonů. Koneckonců, čísla této formy - jedna z nejčastějších a tyto znalosti mohou být užitečné pro výpočty v reálném životě.