Polyhedra. Typy polyhedrů a jejich vlastnosti

Mnohostěn nejen zaujímají významné místo v geometrii, ale také se vyskytují v každodenním životě každého člověka. Nemluvě o umělých související položky v různých mnohoúhelníků, počínaje krabička zápalek a končí architektonické prvky v přírodě také vyskytují krystaly ve tvaru krychle (sůl), hranoly (krystal), pyramida (scheelitovými), octahedra (diamant), atd e.

Koncept polyhedron, typy polyhedra v geometrii

Geometrie jako věda obsahuje část stereometrie, která zkoumá charakteristiky a vlastnosti objemové čísel. Geometrické Těla, jejichž strany v trojrozměrném prostoru jsou tvořeny ohraničenými rovinami (tvářemi), se nazývají "polyhedra". Druhy polyhedra číslo více než desítka zástupců, lišící se v počtu a tvaru obličeje.

Nicméně všechny polyhedry mají společné vlastnosti:

1. Všechny mají tři integrální součásti: obličej (polygonální povrch), horní (Úhly ve sloučenině pozemních fasety), okraj (na straně nebo řezané tvary vytvořené v místě spojení dvou ploch).
2. Každý okraj polygonu spojí dva a pouze dvě tváře, které sousedí jedna s druhou.
3. Konvexita znamená, že tělo je zcela umístěno pouze na jedné straně roviny, na které leží jedna z ploch. Pravidlo platí pro všechny tváře polyhedronu. Takové geometrické postavy v stereometrii se nazývají konvexní polyhedra. Výjimkou je hvězda polyhedra, která jsou deriváty pravidelných polyhedrálních geometrických těles.

Polyhedra lze podmíněně rozdělit na:

1. Druhy konvexní mnohostěnů, skládající se z následujících tříd: konvenční nebo klasické (hranol, pyramida, krabice), doprava (nazývané také platonické pevné látky), semiregular (druhý název - Archimedean pevných látek).
2. Nonconvex polyhedra (stellate).

Prism a jeho vlastnosti

Stereometrie jako úsek geometrie zkoumá vlastnosti trojrozměrných tvarů, typy polyhedry (počet jejich hranolů). Prizma je geometrické těleso, které nutně má dvě zcela identické obličeje (také nazývané báze) ležící v rovnoběžných rovinách a n-tý číslo bočních ploch ve formě paralelogramů. Na druhé straně hranol má také několik odrůd, včetně takových typů polyhedrů, jako jsou:

1. Rovnoběžnostěn - vznikají, když báze je rovnoběžník - polygon se páry dvěma protilehlými stejnými úhly a dvou párů protilehlých stran kongruentní.
2. Přímý hranol má kolmé hrany k základně.
3. Šikmý hranol je charakterizován přítomností nepřímých úhlů (jiných než 90) mezi plochami a základnou.
4. Správný hranol je charakterizován základy v podobě pravidelný mnohoúhelník se stejnými bočními plochami.

Základní vlastnosti hranolu:

• Závislé základy.
• Všechny okraje hranolu jsou stejné a rovnoběžné.
• Všechny postranní plochy mají podobu rovnoběžníku.

Pyramida

Pyramida je geometrické těleso, které se skládá z jedné základny a n-tého počtu trojúhelníkových tváří spojujících se v jednom bodě - vrcholu. Je třeba poznamenat, že pokud je to požadováno, že boční plochy pyramidy jsou označeny trojúhelníky, pak se báze může být jako trojúhelníkové mnohoúhelníku nebo čtyřúhelníku a pětiúhelníkové, a tak dále až do nekonečna. Název pyramidy bude odpovídat polygonu ve spodní části. Například v případě, že základna je trojúhelník pyramida - trojúhelníková pyramida, čtyřúhelník - čtyřúhelníkové, atd ...

Pyramidy jsou kuželovité polyhedry. Typy polyhedrů této skupiny kromě výše uvedených zahrnují také následující zástupce:

1. Pravá pyramida má na základně pravidelný mnohoúhelník a její výška je promítána do středu kruhu zapsaného v základně nebo popsaného kolem.
2. Pravoúhlá pyramida vzniká, když jeden z bočních okrajů protíná se základnou pod pravým úhlem. V tomto případě je tento okraj také správně nazýván výškou pyramidy.

Vlastnosti pyramidy:

• V případě, kde jsou všechny boční hrany kongruentní pyramidy (stejné výšky), všechny překrývají s bází v jednom úhlu a kolem základny může čerpat kružnici se středem, který se shoduje s průmětem vrcholu pyramidy.
• V případě, že základna pyramidy je pravidelný mnohoúhelník, všechny boční okraje jsou shodné, a tváře jsou rovnoramenné trojúhelníky.

Správný polyhedron: typy a vlastnosti polyhedra

Ve stereometrii je zvláštní místo obsazeno geometrickými tělesy s absolutně rovnými čely, na vrcholech kterých je spojen stejný počet okrajů. Tato těla jsou nazývána platonickými těly, nebo pravidelná polyhedra. Typy polyhedrů s těmito vlastnostmi mají pouze pět čísel:

1. Tetrahedron.
2. Hexahedron.
3. Octahedron.
4. Dodekahedron.
5. Icosahedron.

Podle jejich jména jsou správné polyhedry kvůli řeckému filozofovi Platovi, který popisuje tato geometrická těla ve svých dílech a spojuje je s přírodními prvky: země, voda, oheň, vzduch. Pátá postava získala podobnost se strukturou vesmíru. Podle jeho názoru atomy přírodních prvků připomínají tvar pravidelných polyhedrů. Díky nejokázalejší rys - symetrie, tyto geometrické tvary velký zájem nejen u antických matematiků a filozofů, ale i pro architekty, malíři a sochaři všech dob. Přítomnost pouze pěti typů polyhedrů s absolutní symetrií byla považována za základní nález, dokonce byla spojena s božským počátkem.

Hexahedron a jeho vlastnosti

Ve tvaru šestiúhelníku, Platonovi nástupci převzali podobnost se strukturou atomů země. Samozřejmě, nyní zcela vyvrácena této hypotézy, které však není v rozporu s výkresy a modernosti přitáhnout mysl známých postav jeho estetiku.

V geometrii je hexaedron, také kostka, považován za zvláštní případ rovnoběžnosti, což je zase druh hranolu. Vlastnosti krychle tedy souvisí s vlastnostmi hranolu s jediným rozdílem, že všechny tváře a úhly krychle jsou stejné. To znamená následující vlastnosti:

1. Všechny hrany krychle jsou shodné a leží v rovnoběžných rovinách vzhledem k sobě navzájem.
2. Všechny tváře jsou kongruentní čtverce (v krychli je 6), z nichž každá může být považována za základnu.
3. Všechny interfaciální úhly se rovnají 90.
4. Z každého vrcholu je shodný počet okrajů, jmenovitě 3.
5. Kostka má 9 osy symetrie, které se protínají v průsečíku diagonálů hexaedronu, nazývaného středem symetrie.

Tetrahedron

Tetrahedron je čtverec se stejnými obrysy ve tvaru trojúhelníků, z nichž každý vrchol je bod spojení tří tváří.

Vlastnosti pravidelného čtyřstěnu:

1. Všechny tváře tetraedonu jsou rovnostranné trojúhelníky, ze kterého vyplývá, že všechny tváře čtyřstěnu jsou shodné.
2. Vzhledem k tomu, že bází je pravidelný geometrický číslo, to znamená, že má stejné strany, tváře čtyřstěnu a sbíhají se ve stejném úhlu, tj. Všechny úhly jsou stejné.
3. Součet rovinných úhlů u každého vrcholu je 180, jelikož všechny úhly jsou stejné, pak jakýkoli úhel normálního čtyřstěnu je 60.
4. Každý z vrcholů je promítnut na průsečík výšky opačné (orthocenter) tváře.

Octahedron a jeho vlastnosti

Popisování typy pravidelných mnohostěnů, je třeba poznamenat, že objekt jako osmistěn, který může být vizuálně reprezentován jako dvě lepený čtyřstranných bází pravidelných jehlanů.

Vlastnosti oktadronu:

1. Samotné jméno geometrického těla nám říká počet jeho tváří. Osmiúhelník se skládá ze 8 kongruentních rovnostranných trojúhelníků, na každém vrcholu je rovnoměrný počet obličejů, jmenovitě 4.
2. Vzhledem k tomu, všechny plochy osmistěnu jsou stejné a její rohy intergranal, z nichž každý je 60, a součet rovinných úhlů některého z vrcholů je tedy 240.

Dodekahedron

Pokud si představíme, že všechny tváře geometrického těla jsou pravidelný pentagon, pak dostaneme dodecahedron - postavu 12 polygonů.

Vlastnosti dodecahedronu:

1. Každý vrchol protíná tři tváře.
2. Všechny tváře jsou stejné a mají stejnou délku okrajů a stejnou plochu.
3. Dodekahedron má 15 os a roviny symetrie a každá z nich prochází skrz vrchol obličeje a střed protilehlé hrany.

Icosahedron

Neméně zajímavý než dodecahedrón, ikosahedron je objemné geometrické tělo s 20 stejnými obličeji. Mezi vlastnostmi pravidelných dvacet stran se dá poznamenat následující:

1. Všechny tváře icosahedronu jsou rovnoramenné trojúhelníky.
2. Každý vrchol polyhedron konverguje na pět tváří a součet sousedních úhlů vrcholů je 300.
3. Ichosahedron má jako dodecahedron 15 os a roviny symetrie procházející středy protilehlých ploch.

Polo-pravidelné polygony

Kromě platinových pevných látek obsahuje skupina konvexní polyhedry archimedské těla, které jsou zkrácené pravidelné polyhedry. Typy polyhedrů této skupiny mají následující vlastnosti:

1. Geometrické tělo párovému rovné plochy několika typů, například zkrácený čtyřstěn je stejný jako pravidelného čtyřstěnu, 8 tváří, ale v případě tělesa 4 Archimedean tváře trojúhelníkový tvar a 4 - šestihranné.
2. Všechny úhly jednoho vrcholu jsou shodné.

Star polyhedra

Zástupci obrovských druhů geometrických těles jsou hvězdicová polyhedra, jejíž tváře se vzájemně protínají. Mohou být tvořeny spojením dvou pravidelných trojrozměrných těles nebo v důsledku pokračování jejich tváří.

Tak, jako je známý hvězdicovité mnohostěny jako: hvězdicovitě tvaru osmistěn, dvanáctistěn, dvacetistěnu, cuboctahedral, icosidodecahedron.