Metoda tečení: popis

Mučil ve škole k vyřešení rovnic ve třídě math, mnoho studentů se často domnívají, že jejich čas je absolutně nic, a přitom taková dovednost se bude hodit v životě a to nejen těch, kteří se rozhodnou následovat ve stopách Descartes, Euler či Lobachevsky.

V praxi, například v medicíně nebo ekonomie, velmi často dochází k situacím, kdy je třeba odborník zjistit, kdy je koncentrace účinné látky léku dosáhne požadované hladiny v krvi pacienta, nebo je třeba počítat čas potřebný určitý obchod s cílem dosáhnout ziskovosti.

Nejčastěji se jedná o řešení nelineárních rovnic různých typů. Chcete-li to udělat co nejrychleji, zejména s použitím počítačů, povolte numerické metody. Jsou dobře studovány a dlouhodobě se osvědčily. Mezi nimi je metoda Newtonových dotyků, na které je tento článek věnován.

Formulace problému

V tomto případě je funkce g, která je definována v intervalu (a, b) a přijímá na něm určité hodnoty, tj. E. každý ze symbolů X, které vlastní (a, b) se mohou přidružit určitý počet g (x).

Je nutné stanovit všechny kořeny rovnice z intervalu mezi body a a b (včetně konců), pro které je funkce resetována. Je zřejmé, že to jsou průsečíky y = g (x) s OX.

V některých případech je vhodnější nahradit g (x) = 0 obdobným typem g₁(x) = g₂(x). V tomto případě je úsečka (hodnota x) průsečíků grafů g₁(x) a g₂(x).

Řešení nelineární rovnice je také důležité pro optimalizační problémy, u kterých je lokální extrémní stav inverzí derivátu funkce. Jinými slovy, takový problém může být redukován na zjištění kořenů rovnice p (x) = 0, kde p (x) je totožnost g `(x).

Metody řešení

Pro některé typy nelineárních rovnic, např. Čtvercových nebo jednoduchých trigonometrických rovnic, lze najít koreny poměrně jednoduchými způsoby. Zejména každý žák zná formule, pomocí kterých můžete snadno najít hodnoty argumentů bodů, kde je resetován čtvercový trinom.

Metody extrakce kořenů nelineárních rovnic jsou obvykle rozděleny do analytických (přímých) a iterativních. V prvním případě má požadované řešení formu vzorce, pomocí níž lze pro určitý počet aritmetických operací najít hodnotu neznámých kořenů. Podobné metody jsou vyvíjeny pro exponenciální, trigonometrické, logaritmické a nejjednodušší algebraické rovnice. Pro ostatní je třeba použít speciální numerické metody. Jsou snadno použitelné pomocí počítačů, které vám umožňují najít kořeny s požadovanou přesností.

Mezi nimi je tzv. Numerická metoda dotyků, která byla navržena velkým vědcem Isaacem Newtonem na konci 17. století. V následujících stoletích byla metoda opakovaně zlepšována.

Lokalizace

Numerické způsoby řešení složitých rovnic, které nemají analytická řešení, se obvykle provádějí ve dvou fázích. Nejprve je musíte lokalizovat. Tato operace spočívá v nalezení takových segmentů na OX, na kterých je jeden kořen řełitelné rovnice.

Zvažte interval [a, b]. Jestliže g (x) nemá nespojitosti a nabývá hodnot v koncových bodech opačnými znaménky, mezi a a b nebo v sobě alespoň jeden kořen g (x) = 0. Pro to bylo požadováno pouze g (x) na [a, b] byl monotónní. Jak je známo, tato vlastnost bude mít tuto vlastnost pod podmínkou znaménkové konstanty grsquo- (x).

Jinými slovy, je-li [a, b] g (x) nemá žádné nespojitosti a monotónně zvyšuje nebo snižuje, a jeho hodnota v koncových bodech nemají stejné znaménko, pak na [a, b] je jeden a pouze jeden kořen g (x ).

Je třeba poznamenat, že toto kritérium nebude platné pro kořeny rovnic, které jsou vícenásobné.

Řešení rovnice rozdělením

Před zvážením složitějších čísel metody (metoda tečna a její odrůdy) stojí za to se seznámit s nejjednodušším způsobem odhalení kořenů. Říká se tomu dichotomie a odkazuje se na intuici metody. Algoritmus zjištění kořenů je založeno na větu, že pro g (x), která je spojitá na [x₀, x₁] je splněna podmínka neshody, poté v uvažovaném intervaluexistuje alespoň jeden kořen g (x) = 0.

Chcete-li ji najít, musíte rozdělit segment [x₀, x₁] v polovině a označte střed jako x₂. Pak existují dva možné varianty: g (x₀) * g (x₂) nebo g (x₂) * g (x₁) jsou rovny nebo menší než 0. Vyberte jednu, pro kterou je jedna z těchto nerovností pravdivá. Opakujte postup popsaný výše až do délky [x₀, x₁] není menší než nějaká předem vybraná hodnota, která určuje přesnost určení kořene rovnice na [x₀, x₁].

Podle metody, výhody patří jeho spolehlivost a jednoduchost, ale nevýhodu v tom, - že je třeba nejprve určit body, ve které g (x) se na různých značek, takže nemůže být použita na kořeny, které mají dokonce multiplicity. Navíc se nerozsuduje v případě systému rovnic, nebo pokud mluvíme o složitých kořenech.

Příklad 1

Nechte řešit rovnici g (x) = 2x⁵ + x - 1 = 0. Abychom dlouho nevyhledali vhodný segment, sestavujeme graf, například pomocí dobře známého programu Excel. Vidíme, že jako segment pro lokalizaci kořene je lepší vzít hodnoty z intervalu [0,1]. Můžeme si být jisti, že na něm existuje alespoň jeden kořen požadované rovnice.

g `(x) = 10x⁴ + 1, to je monotónně rostoucí funkce, proto je ve zvoleném intervalu pouze 1 kořen.

V rovnici nahrazujeme koncové body. Máme 0 a 1, resp. V prvním kroku použijeme bod 0.5 pro řešení. Pak g (0,5) = -0,4375. Proto další segment pro rozdělení na polovinu bude [0,5, 1]. Jeho střed je 0,75. V tom je hodnota funkce 0.226. Vezmeme v úvahu segment [0,5, 0,75] a jeho střed, který je v bodě 0,625. Hodnotu g (x) vypočteme na hodnotě 0,625. Je -0,11, tedy negativní. Na základě tohoto výsledku vybereme interval [0,625, 0,75]. Získáme x = 0,6875. Pak g (x) = -0,00532. Pokud je přesnost řešení 0,01, můžeme předpokládat, že požadovaný výsledek je 0,6875.

Teoretický základ

Tento způsob hledání korenů metodou Newtonových dotyků je populární díky velmi rychlé konvergenci.

Je založen na tom, že pokud x_n - aproximace kořenu f (x) = 0, takže f C¹, pak bude další aproximace v místě, kde rovnice tangenty k f (x) je nula, to znamená,

Nahrazujeme x = x_{n + 1} a nula y.

Pak algoritmus metody dotyky vypadá takto:

Příklad 2

Pokusíme se použít klasickou metodu Newtonových dotyčnic a najít řešení nějaké nelineární rovnice, která je obtížná nebo nemožná najít analyticky.

Nechte, aby bylo nutné identifikovat kořeny pro x³ + 4x - 3 = 0 s určitou přesností, například 0,001. Jak je známo, graf jakékoli funkce ve formě polynomu lichého stupně musí alespoň jednou překročit osu OX, to znamená, že neexistují žádné pochybnosti o existenci kořenů.

Před vyřešením našeho příkladu metodou tečny vytvoříme graf f (x) = x³ + 4x - 3 bodové. To je velmi snadné, například pomocí stolního procesoru Excel. Z získaného grafu je zřejmé, že na [0,1] nastane jeho průnik s osou OX a funkce y = x³ + 4x - 3 se monotonicky zvyšuje. Můžeme si být jisti, že na [0,1] rovnice x³ + 4x - 3 = 0 má řešení a je jedinečné.

Algoritmus

Každé řešení rovnic tečnou metodou začíná výpočtem f `(x). Máme:

Druhý derivát bude mít formu x * 6.

Pomocí těchto výrazů můžeme zapsat vzorec pro nalezení kořenů rovnice metodou tečny ve tvaru:

Dále musíme zvolit počáteční aproximaci, tedy studovat definici bodu, který je výchozím bodem (vol₀) pro iterativní proces_. Zvažujeme konce [0,1]. Pro nás je vhodný jeden, pro který je podmínka vícenásobnosti funkce a její druhá derivace v x₀. Jak vidíme, když je x nahrazeno₀ = 0 je porušeno, ale x₀ = 1 je docela vhodné.

Tak, jak

pak pokud máme zájem o řešení metodou tečny s přesností e, pak hodnota x_n lze považovat za uspokojující požadavky problému za předpokladu, že nerovnost | f (x_n) / frsquo- (x_n) |< e.

V prvním kroku řešení problému tečny máme:

• x₁ = x₀ - (x₀³ + 4x₀ - 3) / (3x₀² + 4) = 1 - 0,2857 = 0,71429;
• protože podmínka neudržuje, jdeme dál;
• získáme novou hodnotu pro x₂, což je 0,674;
• že poměr hodnoty funkce k jejímu derivátu v x₂ méně než 0,0063, zastavíme proces.

Metoda dotyků v aplikaci Excel

Řešení předchozího příkladu může být mnohem jednodušší a rychlejší, pokud neděláte výpočty ručně (na kalkulaci), ale použijte schopnosti stolního procesoru od společnosti Microsoft.

Chcete-li to provést, v aplikaci Excel je třeba vytvořit novou stránku a vyplnit její buňky následujícími vzorci:

• v C7 píšíme "= DEGREE (B7-3) + 4 * B7 - 3";
• v D7 zadáme "= 4 + 3 * DEGREE (B7-2)";
• v E7 píšeme "= (DEGREE (B7-3) - 3 + 4 * B7) / (3 * DEGREE (B7-2) + 4)";
• v D7 zadáme výraz "= B7 - E7";
• v B8 zadáme podmínku vzorce = = IF (E7 < 0.001- "Dokončení iterací" - D7) ".

Dále je nutné "roztažení" vzorců ve sloupcích C, D a E nejprve na dva řádky a poté, co se v nich objeví hodnoty, učinit totéž se sloupcem B.

V konkrétním úkolu se v buňce B10 objeví zpráva "Dokončení iterací" a pro vyřešení problému bude nutné zadat číslo napsané v buňce umístěné o jeden řádek výše. Pro něj můžete vybrat samostatný "roztažitelný" sloupec tím, že zadáte stavový vzorec, podle kterého bude výsledek zapsán tam, pokud se obsah v jedné nebo jiné buňce sloupce B stane "End iteration".

Implementace v Pascalu

Pokusíme se získat řešení nelineární rovnice y = x⁴ - 4 - 2 x metoda tangentů v Pascalu.

Používáme pomocnou funkci, která pomůže provést přibližný výpočet f `(x) = (f (x + delta) - f (x)) / delta. Jako podmínku pro dokončení iteračního procesu zvolíme nerovnost | x₀-x₁| |. |< neexistuje malé číslo. V Pascalu píšeme jako abs (x0 - x1)<= epsilon.

Program je pozoruhodný v tom, že nevyžaduje manuální výpočet derivátu.

Metoda akordů

Vezměme si jiný způsob, jak identifikovat kořeny nelineárních rovnic. iterační postup spočívá v tom, že jako po sobě jdoucí aproximace požadované kořene f (x) = 0, jsou průsečíky s akord úseček koncových body A a B s OX, označené jako x₁, ..., x_n . Máme:

Pro bod, kde akord protíná osu OX, je výraz zapsán jako:

Nechť druhý derivát je kladný pro χ e [a, b] (opačný případ se snižuje na zvažovaný případ, jestliže píšíme f (x) = 0). V tomto případě je graf y = f (x) křivka konvexní níže a umístěná pod akordem AB. Může existovat 2 případy: když má funkce kladnou hodnotu v bodě a nebo je záporná v bodě b.

V prvním případě jako stacionární zvolíme konec a a pro x₀ b. Poté následná aproximace podle výše uvedeného vzorce tvoří sekvenci, která se monotonicky snižuje.

Ve druhém případě je konec b nehybný pro x₀ = a. Hodnoty x získané v každém kroku iterace tvoří sekvenci, která se zvyšuje monotonicky.

Můžeme tedy konstatovat, že:

• fixovaná metodou akordů je konec segmentu, kde se znaky funkce a její druhý derivát neshodují;
• aproximace pro kořen x - x_m Ležíme z toho na straně, kde f (x) má znaménko, které se neshoduje se znaménkem f (x).

Iterace mohou pokračovat, dokud nejsou splněny podmínky pro blízkost kořenů v tomto a předchozím iteračním kroku modulo abs (x_m - x_m - ₁).< e.

Modifikovaná metoda

Kombinovaná metoda akordů a dotyků vám umožňuje nastavit kořeny rovnice a blíží se k nim z různých stran. Taková hodnota, při níž graf f (x) překračuje OX, umožňuje vylepšit řešení mnohem rychleji než pro každou z metod samostatně.

Předpokládejme, že musíme najít kořeny f (x) = 0, pokud existují na [a, b]. Můžete použít kteroukoli z výše popsaných metod. Nicméně je lepší vyzkoušet jejich kombinaci, díky čemuž se bude výrazně zlepšovat přesnost kořene.

Považujeme případ za počáteční aproximaci, která odpovídá podmínce, že první a druhý derivát mají jiný znak v určitém bodě x.

Za takových podmínek nám řešení nelineárních rovnic metodou dotyčnic umožňuje nalézt kořen s nadbytkem x₀= b a metoda pomocí akordů s pevným koncem b vede k nalezení přibližného kořene s vadou.

Používají se následující vzorce:

Nyní je třeba hledat požadovaný kořen x v intervalu [a₁, b₁]. Dalším krokem je použití kombinované metody v tomto segmentu. Tímhle způsobem získáváme vzorce formuláře:

Pokud je raznoznakovost první a druhé derivace, pak s odůvodněním, podobným způsobem, objasnit kořen rekurzivně získat podle následujícího vzorce:

Podmínkou je odhadovaná nerovnost b_n+1 - a_n+1| |. |< e. Jinými slovy, v praxi je nutné nalézt řešení pomocí dvou metod, ale v každém kroku je nutné zjistit, kolik získaných výsledků jsou blízko sebe.

V případě, že výše nerovnost je pravda, protože kořen nelineární rovnice v předem stanoveném intervalu, přičemž bod, který je přesně ve středu mezi řešení nacházejí v určitém kroku iterace.

Kombinovaná metoda je snadno implementována v prostředí TURBO PASCAL. Při velké touze je možné pokusit se provést všechny výpočty tabulkovou metodou v programu "Excel".

V druhém případě je vybráno několik sloupců pro vyřešení problému pomocí akordů a samostatně pro metodu navrhovanou Isaacem Newtonem.

V tomto případě se každý řádek používá k zápisu výpočtů v určitém iteračním kroku pomocí dvou metod. Potom na levé straně oblasti rozhodování je na aktivní pracovní stránce vybrán sloupec, ve kterém je zapsán výsledek výpočtu diferenčního modulu hodnot dalšího kroku iterace pro každou z metod. Jiný může být použit pro zadání výsledků výpočtů pomocí vzorce pro výpočet logické konstrukce "IF", která slouží k určení, zda je podmínka splněna, nebo ne.

Nyní víte, jak řešit složité rovnice. Metoda dotyčnic, jak jste již viděli, je realizována prostě jak v Pascalu, tak v Excelu. Proto můžete vždy založit kořeny rovnice, která je obtížné nebo nemožné řešit prostřednictvím vzorce.