Příklady systémů lineárních rovnic: způsob řešení

Systémy rovnic se v ekonomické oblasti široce používají v matematickém modelování různých procesů. Například při řešení úkolů řízení a plánování výroby, logistických cest (přepravní úkol) nebo umístění zařízení.

Rovnicové systémy se používají nejen v oblasti matematiky, ale také ve fyzice, chemii a biologii při řešení problémů při hledání velikosti obyvatelstva.

Systém lineárních rovnic je dvě nebo více rovnic s několika proměnnými, pro které je nutné nalézt obecné řešení. Taková posloupnost čísel, pro kterou se všechny rovnice stávají skutečnými rovnostmi, nebo dokazují, že sekvence neexistuje.

Lineární rovnice

Rovnice formy ax + by = c se nazývají lineární. Označení x, y je neznámá, jejíž hodnota musí být nalezena, b, a jsou koeficienty proměnných, c je volný termín rovnice.
Řešení rovnice konstrukcí jeho grafu bude mít tvar přímky, přičemž všechny body jsou řešením polynomu.

Typy systémů lineárních rovnic

Nejjednoduššími příklady jsou systémy lineárních rovnic se dvěma proměnnými X a Y.

F1 (x, y) = 0 a F2 (x, y) = 0, kde F1,2 jsou funkce a (x, y) jsou proměnné funkce.

Vyřešte systém rovnic - to znamená zjištění hodnot (x, y), při kterých se systém změní na správnou rovnost, nebo zjistí, že neexistují žádné vhodné hodnoty x a y.

Dvojice hodnot (x, y), psaných ve formě souřadnic bodu, se nazývá řešení systému lineárních rovnic.

Pokud systémy mají jedno společné řešení nebo řešení neexistují, jsou nazývány ekvivalentní.

Homogenní systémy lineárních rovnic jsou systémy, jejichž pravá strana je rovna nule. Je-li po zaškrtnutí znaménka "rovnosti" hodnota nebo je vyjádřena funkcí, není takový systém homogenní.

Počet proměnných může být mnohem větší než dva, pak bychom měli mluvit o příkladu systému lineárních rovnic se třemi proměnnými nebo více.

Tváří v tvář systémům, studenti předpokládají, že počet rovnic se nutně musí shodovat s počtem neznámých, ale není tomu tak. Počet rovnic v systému nezávisí na proměnných, může jich být tolik, kolik se jim líbí.

Jednoduché a složité metody pro řešení rovnic

Neexistuje žádná obecná analytická metoda pro řešení takových systémů, všechny metody jsou založeny na numerických řešeních. Ve školní průběhu matematiky jsou takové metody detailně popsány permutačního algebraický adicí, substitucí, jakož i grafické a způsobu matice, řešení metodou Gauss.

Hlavním úkolem ve výukových metodách řešení je naučit se, jak správně analyzovat systém a najít optimální algoritmus pro každý příklad. Hlavním úkolem není zapamatovat si systém pravidel a akcí pro každou metodu, ale pochopit principy použití této metody

Řešení příkladů systémů lineárních rovnic 7. třídy obecného školního programu je poměrně jednoduché a podrobně vysvětleno. Ve všech učebnicových matematikách je věnována dostatečná pozornost této části. Řešení příkladů systémů lineárních rovnic metodou Gauss a Kramer je podrobněji studováno na prvních kurzech vysokých škol.

Řešení systémů nahrazením

Akty substituční metody jsou zaměřeny na vyjádření hodnoty jedné proměnné přes druhou. Výraz je nahrazen v zbývající rovnici, pak je přiveden do formy s jednou proměnnou. Akce se opakuje v závislosti na počtu neznámých v systému

Uvedeme řešení příkladu systému lineárních rovnic 7. třídy substituční metodou:

Jak je patrné z příkladu proměnné x byla vyjádřena F (x) = 7 + Y. Výsledný exprese v substituované 2. rovnice v místě X, pomáhal obdrží jednu proměnnou Y ve 2. rovnice. Řešení tohoto příkladu nezpůsobuje potíže a umožňuje získat hodnotu Y. Posledním krokem je kontrola získaných hodnot.

Řešení příkladu systému lineárních rovnic substitucí není vždy možné. Rovnice mohou být složité a výraz proměnné druhým neznámým se ukáží příliš těžkopádným pro další výpočty. Pokud je v systému více než 3 neznámé, není také potřeba náhrada.

Řešení příkladu systému lineárních nehomogenních rovnic:

Řešení pomocí algebraického přidání

Při hledání řešení systémů metodou přidávání se provádí přidávání termínů za sebou a násobení rovnic různými čísly. Konečným cílem matematických akcí je rovnice s jednou proměnnou.

Pro uplatnění této metody jsou nezbytné praxe a pozorování. Řešení systému lineárních rovnic metodou přidání pro řadu proměnných 3 nebo více není snadné. Algebraické přidání je výhodné, pokud jsou v rovnicích přítomny zlomky a desetinná místa.

Algoritmus řešení:

1. Vynásobte obě strany rovnice určitým číslem. V důsledku aritmetické operace by měl být jeden z koeficientů proměnné roven 1.
2. Nakonec přidejte výsledný výraz a najděte jednu z neznámých.
3. Nahraďte tuto hodnotu do druhé rovnice systému a vyhledejte zbývající proměnnou.

Metoda řešení pomocí zavedení nové proměnné

Nová proměnná může být zadána, pokud je v systému nutno najít řešení pro nejvýše dvě rovnice, počet neznámějších musí být také ne více než dva.

Metoda se používá k zjednodušení jedné z rovnic zadáním nové proměnné. Nová rovnice je vyřešena s ohledem na neznámé a získaná hodnota se používá k určení počáteční proměnné.

Z příkladu je patrné, že zavedením nové proměnné t bylo možné snížit první rovnici systému na standardní kvadratický trinom. Řešte polynom pomocí nalezení diskriminátoru.

Je třeba najít hodnotu discriminant známým vzorcem: D = b2 - 4 * a * c, kde D - požadované diskriminační, b, A, C - polynomiální mínění. V daném příkladu a = 1, b = 16, c = 39, tedy D = 100. V případě, že diskriminační je větší než nula, pak se oba roztoky: t = -b ± Radic-D / 2 * a, v případě, že diskriminační je menší než nula, pak řešení: x = -b / 2 * a.

Řešení výsledných systémů je zjištěno metodou přidávání.

Vizuální metoda pro řešení systémů

Vhodné pro systémy se 3 rovnicemi. Metoda spočívá v vykreslení na souřadnicové ose grafů každé rovnice vstupující do systému. Souřadnice průsečíků křivek u budou obecným řešením systému.

Grafická metoda má řadu nuancí. Podívejme se na několik příkladů řešení systémů lineárních rovnic vizuálně.

Jak je patrné z příkladu, pro byl každý řádek postavena dva body, hodnoty proměnné x byly zvoleny libovolně: 0 a 3. Na základě hodnot x základě zjištěno, že hodnoty pro y: 3 a 0 bodů se souřadnicemi (0, 3) a (3, 0) byly na grafu označeny a spojeny řádkem.

Akce musí být opakována pro druhou rovnici. Průsečík přímky je řešením systému.

V následujícím příkladu je potřeba najít grafické řešení systému lineárních rovnic: 0.5x-y + 2 = 0 a 0.5x-y-1 = 0.

Jak je vidět z příkladu, systém nemá řešení, protože grafy jsou paralelní a neprotínají se po celé své délce.

Systémy z příkladů 2 a 3 jsou podobné, ale v konstrukci je zřejmé, že jejich řešení jsou různá. Je třeba si uvědomit, že není vždy možné říci, zda má systém řešení, nebo ne, vždy je třeba sestavit plán.

Matrix a její varianty

Matrice se používají k stručnému záznamu systému lineárních rovnic. Matrix se nazývá tabulka zvláštního druhu, vyplněná čísly. Matrice formuláře n * m má n - řádky a m - sloupce.

Matrice je čtvercová, když je počet sloupců a řádků stejný. Matrix-vector je matice jednoho sloupce s nekonečným počtem řádků. Matrice mající jednu na diagonálech a jiných nulových prvcích se nazývá maticová jednotka.

Inverzní matice je taková matice, násobená tím, že původní matice se změní na jednu matici, taková matice existuje pouze pro původní čtvercovou matici.

Pravidla pro transformaci systému rovnic na matici

S ohledem na systémy rovnic jsou koeficienty a volné termíny rovnic psány jako čísla matice, jedna rovnice je jeden řádek matice.

Řada matice je údajně nenulová, pokud alespoň jeden prvek řetězce není nulový. Proto jestliže v nějaké rovnici je počet proměnných odlišný, pak je zapotřebí zapsat nulu v místě chybějícího neznámého.

Sloupce sloupců musí přesně odpovídat proměnným. To znamená, že koeficienty proměnné x mohou být zapsány pouze v jednom sloupci, například první, koeficient neznámého y je pouze ve druhém sloupci.

Když je matice vynásobena, všechny prvky matice jsou postupně vynásobeny číslem.

Varianty nalezení inverzní matice

Vzorec pro nalezení inverzní matice je poměrně jednoduchý: K^-1= 1 / | K |, kde K^-1 - inverzní matice a | K | maticový determinant. | K | by neměl být nulový, pak systém má řešení.

Determinant lze snadno vypočítat pro dvě dvěma maticemi, je nutné pouze diagonálně vynásobit prvky. Pro variantu "tři po třech" platí vzorec | K | = a₁b₂c₃ + a₁b₃c₂ + a₃b₁c_{2 +} a₂b₃c₁ + a₂b₁c₃ + a₃b₂c₁. Vzorec můžete použít, ale můžete si uvědomit, že je nutné vzít jeden prvek z každého řádku a každého sloupce tak, aby se počet sloupců a řádků prvků v práci nezopakoval.

Řešení příkladů systémů lineárních rovnic matriční metodou

Matematická metoda hledání řešení umožňuje snížit těžkopádné záznamy při řešení systémů s velkým počtem proměnných a rovnic.

V příkladu a_nm - koeficienty rovnic, matice - vektor x_n - proměnné a b_n - bez členů.

Dále musíme najít inverzní matici a vynásobit ji původní maticí. Najít hodnoty proměnných ve výsledné jednotce matice je snadno spustitelná úloha.

Řešení systémů Gaussovou metodou

Ve vyšších matematických oborech je Gaussova metoda studována ve spojení s Cramerovou metodou a proces nalezení řešení systémů se nazývá Gauss-Cramerova metoda řešení. Tyto metody se používají při hledání variabilních systémů s velkým počtem lineárních rovnic.

Gaussova metoda je velmi podobná řešením s permutací a algebraickým přidáním, ale je systematičtější. V kurzu školy se Gaussova metoda používá pro systémy rovnic 3 a 4. Cílem metody je přinést systém do podoby invertovaného trapézu. Prostřednictvím algebraických transformací a substitucí se hodnota jedné proměnné nachází v jedné z rovnic systému. Druhá rovnice je výraz s 2 neznámými, dobře, 3 a 4, resp. S 3 a 4 proměnnými.

Po redukci systému na popsanou formu je další řešení redukováno na postupné nahrazení známých proměnných do rovnic systému.

Ve školních učebnicích pro stupeň 7 je příklad řešení Gaussovou metodou popsán následovně:

Jak je vidět z příkladu, v kroku (3) dvě rovnice 3x₃-2x₄= 11 a 3x₃+2x₄= 7. Řešení libovolné rovnice umožní poznat jednu z proměnných x_n.

Věta 5, která je zmíněna v textu, uvádí, že pokud je jedna z rovnic systému nahrazena rovnocennou, výsledný systém bude rovnocenný s původní.

Metoda Gauss je obtížná pro studenty středních škol, ale je jedním z nejzajímavějších způsobů, jak rozvíjet důvtip dětí, které studují v rámci programu hlubokého studia matematických a fyzických tříd.

Pro zjednodušení je obvyklé zapisovat výpočty takto:

Koeficienty rovnic a volných termínů jsou zapsány ve formě matice, kde každý řádek matice souvisí s jednou z rovnic systému. Vertikální čára odděluje levou stranu rovnice od pravé strany. Římské číslice označují počet rovnic v systému.

Nejprve napište matici, z níž chcete pracovat, pak všechny akce provedené s jednou z linií. Získaná matice je napsána za znaménkem "šipka" a pokračuje v provádění nezbytných algebraických akcí až do dosažení výsledku.

V důsledku toho musíme získat matici, ve které je jedna diagonála 1 a všechny ostatní koeficienty jsou nulové, to znamená, že matice je redukována na jednu formu. Nesmíme zapomínat na výpočty s číslicemi obou stran rovnice.

Tento způsob záznamu je méně obtížný a umožňuje nerozptylovat vyčíslením mnoha neznámých.

Volné uplatnění jakékoli metody řešení vyžaduje péči a určité zkušenosti. Ne všechny metody mají aplikovaný charakter. Některé způsoby hledání řešení jsou výhodnější v jiné oblasti lidské činnosti, zatímco jiné existují pro účely školení.