Matrixová algebra: příklady a řešení

Matrice a determinanty byly objeveny v osmnáctém a devatenáctém století. Zpočátku se jejich vývoj týkal transformace geometrických objektů a řešení systémů lineárních rovnic. Historicky byl včasný důraz kladen na determinant. V moderních metodách zpracování lineární algebry jsou matrice považovány za první. Je třeba si na tuto otázku trochu uvažovat.

Odpovědi této oblasti znalostí

Matrice poskytují teoreticky a prakticky užitečný způsob řešení mnoha problémů, jako jsou:

• systémy lineárních rovnic;
• rovnováha pevných látek (ve fyzice);
• teorie grafů;
• model hospodářství Leontief;
• lesnictví;
• počítačová grafika a tomografie;
• genetika;
• kryptografie;
• elektrické sítě;
• fraktální.

Matrixová algebra pro "figuríny" má ve skutečnosti zjednodušenou definici. Vyjadřuje se tak: je vědeckou oblastí znalostí, ve které jsou studované hodnoty studovány, analyzovány a studovány v plném rozsahu. V této části algebry jsou studovány různé operace na vyšetřovaných matricích.

Jak pracovat s matricemi

Tyto hodnoty se považují za rovnocenné, pokud mají stejné rozměry a každý prvek jednoho se rovná odpovídajícímu prvku druhého. Je možné množit matici libovolnou konstantou. Toto se nazývá skalární násobení. Příklad: 2 = [1234] = [2sdot-12sdot-32sdot-22sdot-4] = [2468].

Mohou být přidány matice stejné velikosti a odečteny vstupy a hodnoty kompatibilních velikostí mohou být vynásobeny. Příklad: přidání dvou A a B: A = [21minus-10] B = [1423]. To je možné, protože A a B - obě matice mají dva řádky a stejný počet sloupců. Je nutné přidat každý prvek do A odpovídajícího prvku v B: A + B = [2 + 11 + 2 minus-1 + 40 + 3] = [3333]. Podobně odečtěte v maticové algebře.

Násobení matic je trochu jiný. Navíc případy a jeden lze nastavit, stejně jako řešení. Pokud vynásobíme matici Ap * q a Bm * n, pak se produkt Ap x q + Bm x n = [AB] p x n. Prvek g-tém řádku a h-tý sloupec AB je součet součinů odpovídajících prvků v g A a h B. Je možné násobit dvou matic pouze tehdy, pokud je počet sloupců v první a druhé linky jsou stejné. Příklad: ke splnění podmínky A až zvažovaný a B: A = [1minus-130], B = [2minus-11214]. To je možné proto, že první matrice obsahuje 2 sloupce, a druhá obsahuje 2 řádky. AB = [1sdot-2 + 3sdot-mínus 1minus-1sdot-2 + 0sdot-mínus 11sdot-1 + 3sdot-2minus-1sdot-1 + 0sdot-21sdot-1 + 3sdot-4minus-1sdot-1 + 0sdot-4 ] = [minus-1minus-27minus-113minus-1].

Základní informace o matici

Předpokládané hodnoty uspořádat informace, jako jsou proměnné a konstanty, a ukládat je do řádků a sloupců, které se běžně nazývá C. Každá poloha v matrici, se nazývá prvek. Příklad: C = [1234]. Skládá se ze dvou řádků a dvou sloupců. Prvek 4 je v řadě 2 a sloupci 2. Obecně platí, že matrice může být nazýván po její rozměry, je to, že název Cm * k má m řádků a K sloupců.

Rozšířené matrice

Uvažované hodnoty jsou neuvěřitelně užitečné věci, které vznikají v mnoha různých aplikovaných polích. Matrice byly původně založeny na systémech lineárních rovnic. Vzhledem k následující struktuře nerovností je nutné vzít v úvahu následující související doplněnou matici:

2x + 3y - z = 6

-x-y-z = 9

x + y + 6z = 0.

Zapište koeficienty a hodnoty odpovědí včetně všech znaménků mínus. Pokud je element s negativním číslem, bude se rovnat hodnotě "1". To znamená, že vzhledem k systému (lineárních) rovnic je možné s ním spojit matici (mřížku čísel uvnitř závorek). Je to ten, který obsahuje pouze koeficienty lineárního systému. Toto se nazývá "rozšířená matice". Mřížka obsahující koeficienty z levé strany každé rovnice byla doplněna o odpovědi z pravé strany každé rovnice.

Záznamy, tedy hodnoty matice B, odpovídají hodnotám x-, y- a z v původním systému. Pokud je správně uspořádán, nejdříve jej zkontrolujte. Někdy je nutné uspořádat pojmy nebo vkládat nuly jako zástupné symboly do studované nebo prozkoumané matice.

Vzhledem k následujícímu systému rovnic můžeme ihned zapsat přidruženou doplněnou matici:

x + y = 0

y + z = 3

z - x = 2.

Nejprve je třeba uspořádat systém jako:

x + y = 0

y + z = 3

-x + z = 2.

Pak existuje možnost zapsat vázanou matici jako: [11000113-1012]. Při vytváření rozšířené byste měli použít nulu pro libovolný záznam, kde je odpovídající místo v systému lineárních rovnic prázdné.

Matrixová algebra: Vlastnosti operací

Pokud je nutné vytvořit prvky pouze z hodnot koeficientů, pak bude uvažovaná hodnota vypadat takto: [110011-101]. Toto se nazývá "matice koeficientů".

Vzhledem k následující rozšířené algebru matric je nutné vylepšit a doplnit přidružený lineární systém. Současně je důležité si uvědomit, že pro ně je nutné, aby proměnné byly vyrovnané dobře a úhledně. A obvykle, pokud existují tři proměnné, použijte v tomto pořadí x, y a z. Přidružený lineární systém proto musí být:

x + 3y = 4

2y-z = 5

3x + z = -2.

Velikost matice

Uvažované prvky jsou často uváděny podle jejich ukazatelů. Velikost matice v algebře je dána ve formě měření, protože místnost může být volána jinak. Naměřené hodnoty hodnot jsou řádky a sloupce, nikoli šířka a délka. Například matice A:

[1234]

[2345]

[3456].

Protože A má tři řádky a čtyři sloupce, velikost A je 3 × 4.

→

↓

Linky jdou po stranách. Sloupce se pohybují nahoru a dolů. "Řetězec" a "sloupec" jsou technické podmínky a nejsou vzájemně zaměnitelné. Rozměry matice jsou vždy zadány s počtem řádků a poté s počtem sloupců. Po této dohodě platí následující B:

[123]

[234] je 2 × 3. Pokud matice má stejný počet řádků jako sloupce, pak se nazývá "čtverec". Například hodnoty koeficientů shora:

[110]

[011]

[-101] je matice čtverce 3 × 3.

Maticové označení a formátování

Poznámka týkající se formátování: například když je třeba napsat matici, je důležité použít závorky []. Typy absolutní hodnoty || se nepoužívají, protože v tomto kontextu mají jiný směr. V žádném případě nejsou používány kulaté nebo kudrnaté závlačky {}. Nebo nějaký jiný symbol seskupení nebo vůbec žádný, neboť tyto prezentace nezáleží. V algebře je matice vždy uvnitř hranaté závorky. Je třeba použít pouze správnou notaci nebo přijaté odpovědi lze považovat za zkreslené.

Jak již bylo zmíněno výše, hodnoty obsažené v matici jsou nazývány záznamy. Z nějakého důvodu jsou předmětné položky obvykle psány velkými písmeny, jako jsou písmena A nebo B a záznamy jsou označeny vhodnými malými písmeny, ale s indexy. V matici A se hodnoty obvykle nazývají "ai, j", kde i je řetězec A a j je sloupec A. Například a3,2 = 8. Záznam a1,3 je 3.

Pro menší matice, ty s méně než deseti řádky a sloupci, čárka v dolním indexu je někdy vynechána. Například "a1,3 = 3" může být napsán jako "a13 = 3". Je zřejmé, že to nebude fungovat u velkých matic, protože a213 bude nejasné.

Typy matric

Někdy jsou klasifikovány podle konfigurace jejich záznamů. Například taková matice, která má všechny nulové položky pod úhlopříčkou od horní-levý-dolní-pravý "diagonální", se nazývá horní trojúhelníkový matice. Mimo jiné mohou existovat i jiné typy a typy, ale nejsou velmi užitečné. Obvykle jsou obecně vnímány jako horní trojúhelník. Hodnoty s nenulovými exponenty pouze horizontálně se nazývají diagonálně. Takové typy mají nenulové záznamy, ve kterých se všechny 1 nazývají totožnými (z důvodů, které se stanou jasnými, když se zjistí a pochopí, jak znásobit uvažované hodnoty). Existuje mnoho podobných ukazatelů výzkumu. Identita 3 × 3 je označena písmenem I3. Podobně se identita 4 × 4 rovná I4.

Algebra matric a lineárních prostorů

Je nutné si uvědomit, že trojúhelníkové čtvercové matice. Ale úhlopříčky trojúhelníkové. Vzhledem k tomu, že je čtverec. A identita považována diagonály, a tudíž trojúhelníkové a čtvercové. Když chcete popsat matici, je to obvykle jen naznačeno en nejvíce konkrétní klasifikaci, protože to znamená všechny ostatní. Uspořádat Tyto studie provedení: [[9 10 11 12] [5 6 7 8], [1 2 3 4]] možnost 3 x 4. V tomto případě nejsou čtvercové. Proto hodnoty nemusí být to, co někdo jiný. V následující klasifikace: [[9 4 0] [3 -2 3] [1 6 7]], je možné, jak 3 x 3. Současně se má za to čtverec, a není nic zvláštního. Klasifikace následující dаta: [[8 -4 0] [0 1 2] [0 0 5]], jako 3 x 3 horní trojúhelníkové, ale není diagonální. Nicméně, tyto hodnoty mohou být navíc nuly na místě a tento prostor nebo vyšší. Studie další klasifikace: [[0 0 1] [1 0 0] [0 0 1]], kde je reprezentován jako diagonální, a kromě toho se záznam - vše 1. Potom tento 3 x 3 identita, I3.

Vzhledem k tomu, že podobné matice jsou podle definice čtverečky, stačí použít jeden index pro nalezení jejich velikosti. Na dvě matice jsou si rovny, musí být stejného parametru, stejně jako mají stejný záznam ve stejných místech. Předpokládejme například, že existují dva prvky by měly být považovány za: A = [[1 3 0] [0 -2 0]] a B = [[1 březen] [-2 0]]. Tyto hodnoty nemohou být stejné, protože jsou různé velikosti.

I když A a B jsou stejné: A = [[June 3] [2 5] [1 4]] a B = [[1 2 3] [4 5 6]] - stále nejsou stejné. A a B mají šest vstupů a mají stejná čísla, ale to nestačí pro matice. A je 3 × 2. A B je matice 2 × 3. A pro 3 × 2 není 2 × 3. Nezáleží na tom, zda A a B mají stejné množství dat nebo dokonce stejná čísla jako záznamy. Pokud A a B nemají stejnou velikost a tvar, ale mají stejné hodnoty na podobných místech, nejsou stejné.

Podobné operace v dané oblasti

Tato vlastnost maticové rovnosti může být proměněna v úkoly pro nezávislý výzkum. Například jsou uvedeny dvě matice a je uvedeno, že jsou stejné. V tomto případě budete muset tuto rovnici použít k prozkoumání a získání odpovědí na hodnoty proměnných.

Příklady řešení a maticový se může měnit, a to zejména, pokud jde o uvedené rovnice. Vzhledem k tomu, že jsou zvažovány následující matice, je třeba nalézt hodnoty x a y. Aby byly A a B stejné, musí mít stejnou velikost a tvar. Ve skutečnosti jsou takové, a protože každý z nich je 2 x 2 matice. A musí mít stejnou hodnotu na stejných místech. Pak a1,1 by měla být B1,1, a1,2 by měla být b1,2 atd. D. Zápisy a1,2 a a2,1 zřetelně jsou, v uvedeném pořadí, prvky a b1,2 b2,1 (o kontrole, která je prostě hledají je). Ale a1,1 = 1, samozřejmě, není rovno b1,1 = x. Pro A, identický s B, účet musí mít a1,1 = b1,1, tak to může být 1 = x. Podobně indexy a2,2 = b2,2, tedy 4 = y. Potom se roztok: x = 1, y = 4. Vzhledem k tomu, že tyto matrice jsou si rovny, je nutné najít hodnoty x, y a z. Aby se dosáhlo A = B, všechny koeficienty musí rovnat záznamu. To je a1,1 = b1,1, a1,2 = b1,2, a2,1 = b2,1 a tak dále. Zejména by měla:

4 = x

-2 = y + 4

3 = z / 3.

Jak můžete vidět z vybraných matric na 1,1-, 2,2- a 3,1-prvků. Řešení těchto tří rovnic, dostaneme odpověď: x = 4, y = -6, a z = 9. algebry Matice a maticové operace se liší od ke kterému všichni zvyklí, ale ne razmnozhaemy.

Další informace v této oblasti

Lineární algebry matice - studium těchto sad rovnic a jejich transformační vlastnosti. Tato oblast odborných znalostí nám umožňuje analyzovat otáčení v prostoru, aby se přiblížil nejmenších čtverců řešení sdružených diferenciálních rovnic, které určují kružnici procházející tří daných bodů, a vyřešit mnoho dalších problémů, matematiky, fyziky a techniky. Lineární algebry matice není opravdu technický smysl, použití slov, která je vektorový prostor přes oblasti v f a t. D.

Matrix a determinant jsou velmi užitečné nástroje lineární algebry. Jedním z hlavních problémů je řešení maticové rovnice A_x = b, pro x. I když to lze teoreticky řešit pomocí inverzní funkce x = A^-1 b. Jiné metody, jako je Gaussova eliminaci, jsou číselně spolehlivější.

Kromě použití pro popis učebních soustav lineárních rovnic výše, termín je také používán popisovat zvláštní druh algebry. Zejména L přes pole F má kruhovou strukturu, se všemi obvyklými axiómů pro vnitřní sčítání a násobení s rozdělovací zákony. Proto se dává větší strukturu než prstenu. Lineární algebry matrice rovněž umožňuje externí násobení skaláry, které jsou prvky podkladové pole F. Například množina všech proměn vektorového prostoru V přes pole F je vytvořena přes F. Dalším příkladem lineární algebry je množina všech reálných čtvercových matic přes R reálných čísel.