Systémy lineárních algebraických rovnic. Homogenní systémy lineárních algebraických rovnic

Ve škole jsme každý studovali rovnice a pravděpodobně systém rovnic. Ale nemnoho lidí ví, že existuje několik způsobů, jak je vyřešit. Dnes budeme detailně diskutovat o všech metodách řešení systému lineárních algebraických rovnic, které se skládají z více než dvou rovností.

Historie

K dnešnímu dni je známo, že umění řešení rovnic a jejich systémů vzniklo i ve starověkém Babylonu a Egyptě. Nicméně rovnost ve své obvyklé podobě pro nás se objevila po vzniku znaku rovnosti "=", který byl zaveden v roce 1556 anglickým matematickým záznamem. Mimochodem, toto označení bylo vybráno z nějakého důvodu: to znamená dva rovnoběžné stejné segmenty. Nejlepší příklad rovnosti nelze představit.

Zakladatelem moderních abecedních označení neznámých a známých stupňů je francouzský matematik Francois Viet. Jeho označení se však od dnešního dne podstatně liší. Například čtverec neznámého čísla byl označen písmenem Q (latinský "quadratus") a kostka písmenem C (latinský "cubus"). Tato označení se nyní zdají nepohodlná, ale pak to byl nejrozumnější způsob psaní systémů lineárních algebraických rovnic.

Nevýhodou tehdejších metod řešení však bylo, že matematici považovali pouze za pozitivní kořeny. Možná je to kvůli skutečnosti, že záporné hodnoty nemají žádnou praktickou aplikaci. Nicméně, italští matematici Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano a Rafael Bombelli v 16. století byli prvními, kteří se zabývali negativními kořeny. Moderní vzhled, hlavní způsob řešení kvadratické rovnice (skrze diskriminujícího) byl vytvořen až v 17. století díky díla Descartes a Newtona.

V polovině 18. století objevil švýcarský matematik Gabriel Kramer nový způsob, jak usnadnit řešení systémů lineárních rovnic. Tato metoda byla následně pojmenována po něm a dodnes ji používáme. Ale o Cramerově metodě budeme mluvit o něco později, ale prozatím budeme diskutovat o lineárních rovnicích a metodách jejich řešení odděleně od systému.

Lineární rovnice

Lineární rovnice jsou nejjednodušší rovnice s proměnnou (y). Jsou klasifikovány jako algebraické. Lineární rovnice zapište obecný formulář takto: a₁* x₁+a_{2 *}x₂+...a_n* x_n= b. Zastoupení v této podobě je zapotřebí dále pro kompilaci systémů a matric.

Systémy lineárních algebraických rovnic

Definice tohoto pojmu je: je to soubor rovnic, které mají společné neznámé veličiny a společné řešení. Obecně platí, že ve škole bylo všechno řešeno systémy se dvěma nebo dokonce třemi rovnicemi. Ale existují systémy se čtyřmi nebo více komponentami. Podívejme se na první, jak je napsat, aby bylo možné v budoucnu vyřešit. Za prvé, systémy lineárních algebraických rovnic budou vypadat lépe, pokud budou všechny proměnné zapsány jako x s odpovídajícím indexem: 1,2,3 a tak dále. Za druhé, je třeba přivést všechny rovnice do kanonické podoby: a₁* x₁+a_{2 *}x₂+...a_n* x_n= b.

Po všech těchto činnostech můžeme začít říkat, jak najít řešení pro systémy lineárních rovnic. Velmi na to potřebujeme matrice.

Matrice

Matrix je tabulka, která se skládá z řádků a sloupců a na jejich křižovatce jsou její prvky. Mohou to být buď specifické hodnoty nebo proměnné. Nejčastěji označujeme prvky, které jsou umístěny pod indexy (například a₁₁ nebo a₂₃). Prvním indexem je číslo řádku a druhé je sloupec. Nad matricemi, stejně jako nad jiným matematickým prvkem, lze provádět různé operace. Můžete tedy:

1) Odečtěte a přidejte tabulky stejné velikosti.

2) Vynásobte matici číslem nebo vektorem.

3) Transponovat: převést řádky matice do sloupců a sloupce - v řádcích.

4) Vynásobte matice, pokud se počet řádků jednoho z nich rovná počtu sloupců druhé.

Všechny tyto techniky budeme podrobněji diskutovat, protože budou pro nás v budoucnu užitečné. Odčítání a přidávání matric je velmi jednoduché. Vzhledem k tomu, že vezmeme matrice stejné velikosti, každý prvek jedné tabulky koreluje s každým prvkem druhé. Takto tyto dva prvky přidáme (odečteme) (je důležité, aby stáli na stejných místech ve svých matricích). Při vynásobení matice číslem nebo vektorem jednoduše vynásobíte každý prvek matice podle tohoto čísla (nebo vektoru). Transpozice je velmi zajímavý proces. Je to velmi zajímavé, když je někdy vidět v reálném životě, například při změně orientace tabletu nebo telefonu. Ikony na ploše jsou matice a když se pozice změní, je transponována a stává se širší, ale snižuje její výšku.

Budeme analyzovat ještě takový proces, jako násobení matric. Přestože to není užitečné, bude to užitečné ji znát. Vynásobte dvě matice, pouze pokud se počet sloupců jedné tabulky rovná počtu řádků druhé. Teď vezmeme prvky řady jedné matice a prvky příslušného sloupce druhé. Násobíme je navzájem a pak je přidáme (to je například produkt prvků a₁₁ a a_12. v b_12. a b₂₂ bude: a₁₁* b_12. + a_12.* b₂₂). Získáme tedy jeden prvek tabulky a je vyplněn stejným způsobem.

Nyní můžeme začít zvážit, jak je systém lineárních rovnic řešen.

Gaussova metoda

Toto téma začíná probíhat ve škole. Víme dobře pojetí "systému dvou lineárních rovnic" a můžeme je vyřešit. Ale co když počet rovnic je větší než dva? To nám pomůže Gaussova metoda.

Samozřejmě je vhodné tuto metodu použít, pokud vytvoříme matici ze systému. Ale nemůžete to změnit a vyřešit v jeho čisté podobě.

Tak jak tento systém řeší systém lineárních Gaussových rovnic? Mimochodem, ačkoli tato metoda je pojmenována po něm, ale to bylo objeveno ve starověku. Gauss navrhuje následující: provádět operace s rovnicemi, aby nakonec vedly celý agregát do step-like formy. To znamená, že je nutné, aby shora dolů (pokud byly řádně uspořádány) od první rovnice až po poslední, by se snížila o jednu neznámou. Jinými slovy, musíme to udělat tak, abychom získali tři rovnice: první - tři neznámá, druhá - dvě, třetí - jedna. Pak z poslední rovnice najdeme první neznámou, nahradíme její hodnotu ve druhé nebo první rovnici a pak najdeme zbývající dvě proměnné.

Cramerova metoda

Pro zvládnutí této metody je životně důležité mít dovednosti sčítání, odčítání matric a také být schopni najít determinanty. Proto, pokud to uděláte špatně nebo nevíte, budete se muset učit a cvičit.

Jaká je podstata této metody a jak ji dosáhnout tak, aby se získal systém lineárních Cramerových rovnic? Je to velmi jednoduché. Musíme vybudovat matice čísel (téměř vždy) koeficientů soustavy lineárních rovnic. K tomu, jednoduše vzít počtu neznáma, a my zajistíme tabulky v pořadí, v jakém jsou zaznamenány v systému. Pokud je před číslem znak ";", napište negativní koeficient. Takže jsme udělali první matici koeficientů neznámých, ne včetně čísla po rovnítko (samozřejmě, že rovnice má být snížena na kanonický tvar, kdy právo je jen číslo a levá - všechny neznámé s koeficienty). Potom musíme vytvořit několik dalších matic, jednu pro každou proměnnou. Chcete-li to provést, nahraďte každý sloupec v první matici sloupcem s číslem sloupce za znaménkem rovnosti. Získáme tedy několik matric a najdeme jejich determinanty.

Poté, co jsme zjistili determinanty, je to malá věc. Máme počáteční matici a existuje několik odvozených matic, které odpovídají různým proměnným. Abychom získali systémová řešení, dělíme determinant získané tabulky na determinant počáteční tabulky. Výsledné číslo je hodnota jedné z proměnných. Podobně najdeme i všechny neznámé.

Jiné metody

Existuje několik dalších metod pro získání řešení systémů lineárních rovnic. Například takzvaná metoda Gauss-Jordan, která se používá k nalezení řešení systému kvadratických rovnic, se také vztahuje k použití matric. Existuje také metoda Jacobi pro řešení systému lineárních algebraických rovnic. Je nejvhodnější pro počítač a používá se v oblasti výpočetní techniky.

Komplexní případy

Složitost obvykle vzniká, pokud počet rovnic je menší než počet proměnných. Pak můžeme určitě říci, že buď systém je neslučitelný (tj. Nemá žádné kořeny), nebo počet jeho řešení má tendenci k nekonečnu. Pokud máme druhý případ, musíme zapsat obecné řešení systému lineárních rovnic. Obsahuje alespoň jednu proměnnou.

Závěr

Tak jsme skončili. Shrneme: analyzovali jsme systém a matici a naučili jsme se najít obecné řešení systému lineárních rovnic. Kromě toho jsme zvažovali další možnosti. Zjistili, jak je řešen systém lineárních rovnic: Gaussova metoda a Cramerova metoda. Mluvili jsme o komplikovaných případech a jiných způsobech hledání řešení.

Ve skutečnosti je toto téma mnohem rozsáhlejší a pokud chcete lépe pochopit, doporučujeme přečíst si více odborné literatury.