Kvadratické rovnice - příklady s řešeními, singularity a vzorce

V moderní společnosti může být schopnost provádět akce s rovnicemi obsahujícími variabilní čtverce užitečná v mnoha oblastech činnosti a je v praxi široce využívána ve vědeckém a technickém vývoji. Důkazem toho může být návrh mořských a říčních plavidel, letadel a střel. Pomocí takových výpočtů jsou určeny trajektorie pohybu různých těles včetně kosmických objektů. Příklady s řešením kvadratických rovnic nacházejí uplatnění nejen v ekonomickém předpovědi, v návrhu a výstavbě budov, ale také v nejběžnějších každodenních podmínkách. Mohou být potřeba v turistikách, ve sportu, v obchodech při nakupování av jiných velmi běžných situacích.

Rozdělíme výraz na složkové faktory

Stupeň rovnice je určen maximální hodnotou stupně y proměnné, kterou daný výraz obsahuje. V případě, že se rovná 2, taková rovnice se nazývá kvadratický.

Pokud člověk mluví jazykem vzorce, pak tyto výrazy, ať už vypadají jakkoli, mohou být vždy redukovány na formu, když levá strana výrazu sestává ze tří pojmů. Mezi nimi: sekera² (Tj proměnná, postavený na náměstí s poměrem), bx (neznámé bez náměstí s koeficientem) a C (bez složka, která je obvyklá číslo). To vše je na pravé straně se rovná 0. V případě, kdy je takový polynom chybějící jeden ze svých základních pojmů, s výjimkou sekery², nazývá se neúplná kvadratickou rovnicí. Příklady s řešením těchto problémů, důležitost proměnných, ve kterých je snadné je najít, je třeba zvážit jako první.

Pokud výraz vypadá takto tak, že výrazy na pravé straně výrazu mají dvě, přesněji sekeru² a bx je nejjednodušší nalézt x tím, že se proměnná vyjme z hranatých závorek. Nyní naše rovnice vypadá takto: x (ax + b). Dále je zřejmé, že buď x = 0, nebo problém snižuje na nalezení proměnné z následujícího výrazu: ax + b = 0. To je diktováno jednou z vlastností násobení. Pravidlo říká, že produkt dvou faktorů dává výsledek 0, pouze pokud je jeden z nich nula.

Příklad:

8x² - 3x = 0

x (8x - 3) = 0

Postupujeme podle právě popsaného pravidla.

x = 0 nebo 8x - 3 = 0

V důsledku toho získáme dva kořeny rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohoto druhu mohou popisovat posun těl pod působením gravitace, začínat pohyb z určitého bodu považovaného za původ. Zde matematický zápis má následující podobu: y = v₀t + gt²/ 2. Dosazením potřebné hodnoty rovnítko pravou stranu 0 a najít možné neznámá, je možné znát čas, který uplynul od zrušení části těla do okamžiku jeho pádu, stejně jako mnoho jiných hodnot. Ale o tom budeme hovořit později.

Rozšíření výrazu na násobitele

Pravidlo popsané výše umožňuje vyřešit tyto problémy v komplikovanějších případech. Uvažujme příklady s řešením kvadratických rovnic tohoto typu.

X² - 33x + 200 = 0

Tento čtvercový trinom je dokončen. Za prvé, transformujeme výraz a rozšiřujeme ho na násobitele. Existují dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V důsledku toho máme dva kořeny 8 a 25.

Příklady s řešením kvadratických rovnic v 9. třídě umožňují tuto metodu najít proměnnou ve výrazech nejen druhého, ale i třetího a čtvrtého řádu.

Například: 2x³ + 2x² - 18x - 18 = 0. Pro rozšíření na pravé straně proměnnou faktorů, jejich tří závitů, tedy (x + 1), (X-3) a (x + 3).

Výsledkem je, že tato rovnice má tři kořeny: -3- -1-3.

Extrakce odmocniny

Jiným případem neúplné rovnice druhého řádu je výraz v jazyce písmen reprezentovaných takovým způsobem, že pravá strana je zkonstruována ze složek sekery² a c. Zde, abychom získali hodnotu proměnné, je volný termín převeden na pravou stranu a pak je odvozena druhá odmocnina z obou stran rovnosti. Je třeba poznamenat, že v tomto případě kořeny rovnice jsou obvykle dva. Výjimkou jsou pouze rovnosti, které neobsahují výraz c vůbec, kde je proměnná nula, a také varianty výrazů, když se pravá strana ukáže jako negativní. V druhém případě neexistují žádná řešení, protože výše uvedené akce nelze provést s kořeny. Je třeba vzít v úvahu příklady řešení kvadratických rovnic tohoto typu.

3x²- 48 = 0

3x² = 48

V tomto případě jsou kořeny rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet parcely pozemku

Potřeba takových výpočtů se objevila v dávných dobách, protože rozvoj matematiky v mnoha ohledech v těchto vzdálených časech byl způsoben potřebou přesně určit oblasti a obvody země.

Příklady s řešením kvadratických rovnic, sestavených na základě problémů tohoto druhu, bychom měli také vzít v úvahu.

Předpokládejme tedy, že existuje obdélníkový kus půdy, jehož délka je o 16 metrů delší než šířka. Je nutné zjistit délku, šířku a obvod lokality, pokud je známo, že její plocha je 612 m².

Abychom se dostali k podnikání, nejprve vytvoříme potřebnou rovnici. Nechť x je šířka úseku, pak její délka bude (x + 16). Z písemné znamená, že plocha je dána vztahem x (x + 16), který pod podmínkou našeho problému je 612. To znamená, že X (x + 16) = 612.

Řešení úplných kvadratických rovnic a tento výraz je právě takový, nemůže být provedeno předchozím způsobem. Proč? Ačkoli její levá strana stále obsahuje dva faktory, jejich výrobek vůbec není roven 0, proto se zde používají i jiné metody.

Diskriminační

Nejprve provedeme nezbytné transformace, pak vzhled tohoto výrazu vypadá takto: x² + 16x - 612 = 0. To znamená, že jsme dostali výraz ve tvaru odpovídajícím výše uvedenému standardu, kde a = 1, b = 16, c = -612.

To může být příkladem řešení kvadratických rovnic skrze diskriminaci. Zde se provedou potřebné výpočty podle schématu: D = b² - 4ac. Toto pomocné množství nejen umožňuje najít neznámá množství v rovnici druhého řádu, ale určuje počet možných variant. V případě, že D> 0, existují dva z nich, pro D = 0 existuje jeden kořen. V případě, kdy D<0, neexistují šance na řešení rovnice vůbec.

O kořenech a jejich složení

V našem případě je diskriminující: 256-4 (-612) = 2704. To znamená, že odpověď na náš problém existuje. Pokud známe například diskriminační, musí být řešení kvadratických rovnic pokračováno aplikací níže uvedeného vzorce. Umožňuje vypočítat kořeny.

To znamená, že v daném případě: x₁= 18, x₂= -34. Druhé provedení tohoto dilematu nemusí být řešení, protože velikost napojovací plochý úsek nemůže být měřena v negativních hodnotách, pak x (tj., Šířka části) je 18 m Proto počítáme délku :. 18 + 16 = 34, a obvod 2 (34+ 18) = 104 (m²).

Příklady a úkoly

Pokračujeme ve studiu kvadratických rovnic. Příklady a podrobné řešení několika z nich budou uvedeny níže.

1) 15x² + 20x + 5 = 12x² + 27x + 1

Převádíme vše na levou stranu rovnice, provádíme transformaci, tj. Získáváme formu rovnice, která se nazývá standard a rovná se jí na nulu.

15x² + 20x + 5 - 12x² - 27x - 1 = 0

Při jejich přidání definujeme diskriminační: D = 49 - 48 = 1. Takže naše rovnice bude mít dva kořeny. Vypočítáme je podle výše uvedeného vzorce, a to znamená, že první z nich bude 4/3 a druhá bude.

2) Nyní vyřešte hádanky jiného druhu.

Zjistíme, zda jsou kořeny x² - 4x + 5 = 1? Abychom získali vyčerpávající odpověď, redukujeme polynom na odpovídající známou formu a vypočítáme diskriminaci. Ve výše uvedeném příkladu není nutné vytvořit kvadratickou rovnici, protože podstatou problému vůbec není. V tomto případě D = 16 - 20 = -4, což znamená, že ve skutečnosti neexistuje žádný kořen.

Vieta větu

Je výhodné vyřešit kvadratické rovnice výše uvedenými vzorci a diskriminační, když je druhá odmocnina odvozena z hodnoty druhého. Ale není to vždycky. Existuje však mnoho způsobů, jak získat hodnoty proměnných v tomto případě. Příklad: řešení kvadratických rovnic podle Vietovy věty. Je pojmenován na počest Francois Vieta, kdo žil ve 16. století ve Francii a dělal vynikající kariéru kvůli jeho matematickému nadání a souvislostem u soudu. Jeho portrét můžete vidět v článku.

Vzor, který pozoroval slavný Francouz, byl následující. Dokázal, že kořeny rovnice v součtu jsou číselně stejné jako -p = b / a a jejich produkt odpovídá q = c / a.

Nyní se podívejme na konkrétní úkoly.

3x² + 21x - 54 = 0

Pro jednoduchost překládáme výraz:

x² + 7x - 18 = 0

Použijeme větu Viety, to nám dá následující: součet kořenů je -7 a jejich produkt je -18. Proto získáme, že kořeny rovnice jsou čísla -9 a 2. Po provedení kontroly zjistíme, že tyto hodnoty proměnných skutečně odpovídají výrazu.

Graf a rovnice paraboly

Koncepty kvadratické funkce a kvadratické rovnice jsou úzce příbuzné. Příklady toho již byly uvedeny dříve. Nyní zvažte některé matematické hádanky trochu víc. Každá rovnice popsaného typu může být zobrazena. Podobná závislost, naznačená grafem, se nazývá parabola. Jeho různé typy jsou uvedeny na obrázku níže.

Každá parabola má vrchol, tj. Bod, ze kterého vystupují její větve. Pokud> 0, jdou vysoko do nekonečna a když a<0, jsou čerpány. Nejjednodušším příkladem takové závislosti je funkce y = x². V tomto případě v rovnici x²= 0, neznámé může mít pouze jednu hodnotu, tj. X = 0, což znamená, že existuje pouze jeden kořen. To není překvapující, protože zde D = 0, protože a = 1, b = 0, c = 0. Kořenový vzorec (přesněji jeden kořen) kvadratické rovnice je napsán jako: x = -b / 2a.

Vizuální zobrazení funkcí pomáhá vyřešit všechny rovnice, včetně čtvercových. Tato metoda se nazývá grafická. A hodnota proměnné x je souřadnice úsečků v bodech, kde čára grafu protíná 0x. Souřadnice vrcholu lze nalézt ze vzorce x₀ = -b / 2a. A nahrazením získané hodnoty do počáteční rovnice funkce lze najít y₀, to je druhá souřadnice vrcholu paraboly, patřící k ose souřadnic.

Průnik větví paraboly s osou úsečky

Existuje mnoho příkladů s řešením kvadratických rovnic, ale existují obecné zákony. Zvažte je. Je zřejmé, že průsečík grafu s osou 0x pro a> 0 je možný pouze v případě, že y₀ přijímá záporné hodnoty. A pro<0 souřadnice y₀ musí být pozitivní. U uvedených variant D> 0. Jinak D<0. A když D = 0, vrchol paraboly je umístěn přímo na ose 0x.

Podle paraboly paraboly lze také určit kořeny. Konverzace je také pravdivá. To znamená, že pokud získáte intuitívní obraz kvadratické funkce, není snadné, můžete rovnováhu pravé strany výrazu na 0 a vyřešit výslednou rovnici. Pokud znáte průsečík s osou 0x, je snadnější vykreslit graf.

Z historie

S pomocí rovnic obsahujících proměnnou, čtvercovou, ve starých dnech nejen matematické výpočty a určovaly oblasti geometrických tvarů. Takové výpočty byly potřebné pro starodávné objevy v oblasti fyziky a astronomie, stejně jako pro sestavování astrologických prognóz.

Jak předpokládají moderní vědci, jedno z prvních řešení kvadratických rovnic bylo obsazeno obyvateli Babylonu. Stalo se to čtyř století před nástupem naší éry. Samozřejmě, jejich výpočty se radikálně lišily od těch, které byly nyní přijaty a ukázaly se být mnohem primitivnější. Například mezopotámští matematici neměli představu o existenci záporných čísel. Nepochybně jim byly i další jemnosti, jaké zná každý školák současnosti.

Možná, ještě před učenci Babylonu, se moudrý muž z Indie Baudhayama zabýval řešením kvadratických rovnic. Stalo se to asi osm století před nástupem Kristovy éry. Pravda, rovnice druhého řádu, metody řešení, které citoval, byly nejjednodušší. Kromě toho se čínští matematici zajímali o podobné otázky v dávných dobách. V Evropě se začaly řešit čtvercové rovnice teprve na počátku 13. století, ale později byly ve své práci používány takovými velkými vědci jako Newton, Descartes a mnoho dalších.