Co je rovnost? První znamení a zásady rovnosti

"Rovnost" je téma, které žáci stále studují na základní škole. Ona také doprovází její "nerovnosti". Tyto dvě pojmy jsou úzce propojeny. Kromě toho jsou spojeny s takovými termíny jako rovnice, identita. Takže, co je rovnost?

Pojem rovnosti

Pod tímto pojmem rozumíme prohlášení, v jejichž záznamu je znaménko "=". Rovnosti jsou rozděleny na pravdivé a falešné. Pokud je v položce místo = is <,>, pak hovoříme o nerovnostech. Mimochodem, první znamení rovnosti říká, že obě části výrazu jsou ve výsledku nebo záznamu totožné.

Vedle pojmu rovnosti, škola také studuje téma "Číselné rovnosti". Tímto výrazem rozumíme dva numerické výrazy, které stojí na obou stranách znamení. Například 2 * 5 + 7 = 17. Obě části záznamu jsou stejné.

V číselných výrazech tohoto typu lze použít závorky, které ovlivňují pořadí akcí. Existují tedy 4 pravidla, která je třeba vzít v úvahu při výpočtu výsledků číselných výrazů.

1. Pokud v záznamu nejsou žádné závorky, pak se akce provádějí z vyššího stupně: III → II → I. Pokud existuje několik akcí jedné kategorie, jsou prováděny zleva doprava.
2. Pokud jsou v záznamech závorky, je akce provedena v závorce a potom je třeba vzít v úvahu kroky. Možná bude v závorce několik kroků.
3. Je-li výraz zastoupen jako zlomek, pak musí být nejprve vypočítán čitatel, poté jmenovatel, pak čitatel dělený jmenovatelem.
4. Pokud jsou v záznamech vnořené závorky, nejprve se vyhodnotí výraz v závorkách.

Takže teď je jasné, co je rovnost. V budoucnu budou brány v úvahu koncepty rovnice, identity a způsoby jejich výpočtu.

Vlastnosti numerických rovnic

Co je rovnost? Studium tohoto konceptu vyžaduje znalost vlastností numerických identit. Následující textové vzorce vám umožní lépe studovat toto téma. Samozřejmě, tyto vlastnosti jsou vhodnější pro studium matematiky v horních třídách.

1. Numerická rovnost nebude narušena, pokud se v obou částech přidá stejné číslo do stávajícího výrazu.

A = B harr-A + 5 = B + 5

2. Rovnice nebude narušena, pokud se obě její části násobí nebo rozdělí na stejné číslo nebo výraz, které se liší od nuly.

P = O harr- P ∙ 5 = O ∙ 5

P = O harr-P: 5 = 0: 5

3. Přidáním do obou částí identity stejnou funkci, která má smysl pro všechny přípustné hodnoty proměnné, získáme novou rovnost, která odpovídá původní hodnotě.

F (X) = Psi-(X) harr- F (X) + R (X) = Psi-(X) + R (X)

4. Jakýkoli termín nebo výraz lze přenést na druhou stranu rovného znaménka, přičemž se mění znaky naopak.

X + 5 = Y-20 harr- X = Y - 20 - 5 harr- X = Y - 25

5. Vynásobením nebo dělením obou stran rovnice do stejné funkce, lišící se od nuly a smysluplné pro každou hodnotu X od ODZ, získáváme novou rovnici, která se rovná původní hodnotě.

F (X) = Psi- (X) harr- F (X) ∙ R (X) = Psi- (X) ∙ R (X)

F (X) = Psi-(X) harr- F (X): G (X) = Psi-(X): G (X)

Výše uvedená pravidla výslovně poukazují na zásadu rovnosti, která existuje za určitých podmínek.

Pojem poměr

V matematice existuje taková věc jako rovnost vztahů. V tomto případě je implicitní určení poměru. Pokud rozdělíte A na B, výsledkem je poměr čísla A k číslu B. Podíl je rovnost dvou vztahů:

Někdy je tento poměr zapsán následovně: A: B = C: D. To znamená základní vlastnost poměru: A * D = D * C, kde A a D jsou extrémními podmínkami poměru a B a C jsou průměrné.

Identity

Identita je rovnost, která bude pravdivá pro všechny přípustné hodnoty těch proměnných, které vstupují do úlohy. Identity mohou být reprezentovány jako abecední nebo numerické rovnosti.

Stejně rovnocenné jsou výrazy obsahující v obou částech rovnice neznámou proměnnou, která je schopna rovnat dvě části stejného celku.

Pokud nahradíme jeden výraz jiným výrazem, který se mu bude rovnat, pak mluvíme o transformaci identity. V tomto případě lze použít vzorce redukovaného množení, zákony aritmetických a jiných identit.

Pro snížení podílu je nutné provádět identické transformace. Například je uveden zlomek. Abychom získali výsledek, měli bychom použít vzorce zkráceného množení, faktorizace, zjednodušení výrazů a redukce frakcí.

Mělo by se vzít v úvahu, že tento výraz bude stejný, pokud není jmenovatel rovný 3.

5 způsobů, jak dokázat totožnost

Chcete-li prokázat totožnost, musíme tyto výrazy převést.

Já jsem

Na levé straně je nutné provádět ekvivalentní transformace. V důsledku toho se získá pravá strana a můžeme říci, že totožnost je prokázána.

II

Všechny akce pro převod výrazu se vyskytují na pravé straně. Výsledkem provedených manipulací je levá strana. Pokud jsou obě části totožné, pak je totožnost prokázána.

Metoda III

"Transformace" se vyskytují v obou částech výrazu. Je-li výsledkem dvě identické části, totožnost je prokázána.

IV

Pravá část je odečtena z levé strany. V důsledku ekvivalentních transformací by výsledek měl být nulový. Pak můžeme mluvit o totožnosti výrazu.

V cestě

Levá strana je odečtena od pravé strany. Všechny ekvivalentní transformace jsou v odpovědi sníženy na nulu. Pouze pak můžeme hovořit o totožnosti rovnosti.

Základní vlastnosti identit

V matematice se často používají vlastnosti rovnosti pro urychlení procesu výpočtu. Díky základním algebraickým identitám bude proces výpočtu některých výrazů trvat několik minut místo dlouhých hodin.

• X + Y = Y + X
• X + (Y + C) = (X + Y) + C
• X + 0 = X
• X + (-X) = 0
• X · (Y + C) = X · Y + X · C
• X · (Y - C) = X · Y - X · C
• (X + Y) ∙ (C + E) = X ∙ C + X ∙ E + Y ∙ C + Y ∙ E
• X + (Y + C) = X + Y + C
• X + (Y-C) = X + Y-C
• X - (Y + C) = X - Y - C
• X - (Y - C) = X - Y + C
• X · Y = Y · X
• X ∙ (Y ∙ C) = (X ∙ Y) ∙ C
• X ∙ 1 = X
• X ∙ 1 / X = 1, kde X ne- 0

Vzorce zkráceného násobení

V podstatě jsou vzorce se sníženým násobením rovnost. Pomáhají vyřešit mnoho problémů v matematice díky své jednoduchosti a snadné manipulaci.

• (A + B)² = A² + 2 ∙ А ∙ В + В² - čtverec součtu dvojic čísel;
• (A-B)² = A² - 2 ∙ А ∙ В + В² - čtverec rozdílu dvojice čísel;
• (C + B) ∙ (C - B) = C² - v² - rozdíl čtverců;
• (A + B)³ = A³ + 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² + V³ - kostka součtu;
• (A-B)³ = A³ - 3 ∙ A²∙ B + 3 ∙ A ∙ B² - v³ - kostka rozdílu;
• (P + B) ∙ (P² - P ∙ В + В²) = P³ + V³ - součet kostek;
• (P - B) ∙ (P² + P ∙ B + B²) = P³ - v³ - rozdíl mezi kostkami.

Vzorce zkráceného násobení se často používají, je-li třeba přenést polynom na obvyklý tvar a zjednodušit ho všemi možnými způsoby. Prezentované vzorce jsou prokázány jednoduše: stačí otevřít závorky a dát takové podmínky.

Rovnice

Po prozkoumání otázky, co je rovnost, můžete pokračovat k dalšímu bodu: že taková rovnice. Rovnice je rovnost, v níž jsou přítomna neznámá množství. Řešením rovnice je zjištění všech hodnot proměnné, za kterých budou obě části celého výrazu rovny. Také existují úkoly, ve kterých není nalezení řešení rovnice možné. V tomto případě se říká, že neexistují žádné kořeny.

Pravidly rovnost s neznámymi dávají celá čísla jako řešení. Existují však případy, kdy kořen je vektor, funkce a další objekty.

Rovnice je jedním z nejdůležitějších pojmů v matematice. Většina vědeckých a praktických problémů neumožňuje měřit nebo vypočítávat žádnou hodnotu. Proto je nutné vytvořit poměr, který splní všechny podmínky úkolu. V procesu vytváření takového vztahu se objevuje rovnice nebo systém rovnic.

Obvykle je řešení rovnosti s neznámou redukováno na transformaci složité rovnice a poznamenat ji k jednoduchým formám. Je třeba si uvědomit, že konverze musí být provedeny s ohledem na obě části, jinak bude mít výstup špatný výsledek.

4 způsoby řešení rovnice

Řešením rovnice rozumíme nahrazení dané rovnosti jinou, která je rovnocenná první. Taková náhrada je známá jako transformace identity. Chcete-li vyřešit rovnici, musíte použít jednu z metod.

1. Jeden výraz je nahrazen jiným výrazem, který bude nutně stejný jako první. Příklad: (3 ∙ x + 3)²= 15 ∙ x + 10. Tento výraz lze převést na hodnotu 9 × x²+18 ∙ x + 9 = 15 ∙ x + 10.

2. Vykonávání členů rovnosti s neznámým z jedné strany na druhou. V takovém případě musíte značku správně změnit. Nejmenší chyba zničí celou práci. Jako příklad použijte předchozí "vzorek".

9 × x² + 12 × x + 4 = 15 × x + 10

9 × x² + 12 ∙ x + 4 - 15 ∙ x - 10 = 0

9 × x² - 3 x - 6 = 0

Dále je rovnice řešena pomocí diskriminačního systému.

3. Násobení obou částí rovnosti stejným číslem nebo výrazem, které nejsou rovno 0. Je však třeba připomenout, že pokud nová rovnice není rovnocenná s rovnicí před transformací, pak se počet kořenů může výrazně změnit.

4. Zarovnání obou částí rovnice. Tato metoda je prostě úžasná, zvláště když v rovnici existují iracionální výrazy, druhá odmocnina a výraz pod ním. Existuje jedna nuance: pokud zvednete rovnici rovnoměrně, pak můžete mít cizí kořeny, které zkreslují podstatu úkolu. A pokud je nesprávné extrahovat kořen, pak bude význam problému v problému nejasný. Příklad: │7 ∙ x│ = 35 → 1) 7 ∙ x = 35 a 2) - 7 ∙ x = 35 → rovnice bude vyřešena správně.

Tento článek tedy uvádí pojmy jako jsou rovnice a identity. Všichni pocházejí z koncepce "rovnosti". Díky různým druhům ekvivalentních výrazů je řešení některých problémů velmi usnadněno.