Rovnice - co to je? Definice pojmu, příklady

Během školní matematiky dítě nejprve slyší termín "rovnice". Co je to, zkusme to dohlédnout dohromady. V tomto článku budeme zvažovat typy a metody řešení.

Matematika. Rovnice

Za prvé, nabízíme pochopit samotný pojem, co to je? Jak říká mnoho učebnic matematiky, rovnice jsou některé výrazy, mezi nimiž je nutně rovnocenné znaménko. V těchto výrazech jsou písmena, tzv. Proměnné, jejichž význam musí být nalezen.

Co je proměnná? Je to atribut systému, který mění jeho význam. Jasným příkladem proměnných jsou:

• teplota vzduchu;
• růst dítěte;
• hmotnost a tak dále.

V matematice jsou označeny písmeny, například, x, a, b, c ... Obvykle úloha v matematice zní takto: najít hodnotu rovnice. To znamená, že musíte najít hodnotu těchto proměnných.

Odrůdy

Rovnice (kterou jsme rozložili v předchozím odstavci) můžeme mít následující podobu:

• lineární;
• čtverec;
• kubický;
• algebraické;
• transcendentální.

Pro podrobnější seznámení se všemi druhy budeme zvažovat každý zvlášť.

Lineární rovnice

Toto je první způsob, jakým se školáci seznámí. Jsou vyřešeny poměrně rychle a jednoduše. Takže, lineární rovnice, co to je? Toto je výraz formy: ax = c. Není tedy příliš jasné, a tak uveďme některé příklady: 2x = 26-5x = 40-1.2x = 6.

Podívejme se na příklady rovnic. K tomu je třeba shromáždit všechny známé údaje z jedné strany a neznámé údaje v druhé: x = 26/2 x = 40/5 x = 6 / 1,2. Zde jsme použili elementární pravidla matematiky: a * c = e, z tohoto c = e / a - a = e / c. Pro dokončení řešení rovnice provádíme jednu akci (v našem případě rozdělení) x = 13-x = 8-x = 5. Byly to příklady násobení, nyní se podívejme na odečtení a přidání: x + 3 = 9 - 10x-5 = 15. Známé údaje jsou přeneseny na jednu stranu: x = 9-3-x = 20/10. Provedeme poslední akci: x = 6-x = 2.

Rovněž jsou možné varianty lineárních rovnic, kde se používá více než jedna proměnná: 2x-2y = 4. S cílem vyřešit, je nutné přidat každý díl 2Y, dostaneme 2x-2y + 2y = 4-2u, jak jsme viděli, na levé straně znaménko rovná a -2u + 2y snížena, tak nám zůstává: 2x = 4 -2y. Poslední krok rozdělí každou část na dvě, dostaneme odpověď: X se rovná dvěma minus hra.

Problémy s rovnicemi se vyskytují i ​​na Ahmessovi papyri. Zde je jedna z úkolů: číslo a čtvrtá část udávají celkem 15. Abychom to vyřešili, napíšeme následující rovnici: x plus jedna čtvrtina x se rovná patnácti. Vidíme další příklad lineární rovnice, na výsledek řešení dostaneme odpověď: x = 12. Tento problém však lze vyřešit jiným způsobem, totiž egyptským nebo, jak se nazývá jiným způsobem, předpokladem. V papyrusu se používá toto řešení: vezměte čtyři a čtvrtou část, to znamená jednu. Stručně řečeno, dávají pět, nyní patnáct musí být rozděleno do součtu, dostaneme tři, poslední tři akce násobená čtyřmi. Dostáváme odpověď: 12. Proč se rozdělíme o patnáct až pět v rozhodnutí? Takže víme, kolikrát patnáct, to je výsledek, který musíme dostat, méně než pět. To byl způsob, jak vyřešit problémy ve středověku, byl nazýván metodou falešnosti.

Čtvercové rovnice

Kromě výše uvedených příkladů existují i ​​další. Které? Kvadratická rovnice, co je? Mají formu sekery²+bx + c = 0. Chcete-li je vyřešit, musíte se seznámit s určitými pojmy a pravidly.

Nejprve musíme hledat diskriminaci podle vzorce: b²-4ac. Existují tři možnosti řešení řešení:

• diskriminační je větší než nula;
• méně než nula;
• se rovná nule.

V první verzi můžeme získat odpověď ze dvou kořenů, které jsou podle obecného vzorce -B + kořeni discriminant dělená dvojnásobek první koeficient, tj 2a.

Ve druhém případě nemá rovnice kořeny. Ve třetím případě je kořen nalezen podle vzorce: -b / 2a.

Zvažte příklad kvadratické rovnice pro podrobnější známost: tři x-čtverce mínus čtrnáct x mínus pět se rovná nule. Za prvé, jak je psáno výše, při pohledu diskriminační, v našem případě je rovna 256. Všimněte si, že výsledné číslo je větší než nula, a proto bychom se měli dostat odpověď, skládající se ze dvou kořenů. Nahradíme přijatý diskriminátor do vzorce pro nalezení kořenů. V důsledku toho máme: X je rovno pět a mínus jedna třetina.

Zvláštní případy v kvadratických rovnicích

Jsou to příklady, u kterých jsou některé hodnoty nula (a, b nebo c) a možná i několik.

Například, pojďme následující rovnici, která je čtvercová: dva x ve čtverečku se rovná nule, tady vidíme, že b a c jsou nulové. Pokusíme se je vyřešit, protože to rozdělíme obě části rovnice na dvě, máme: x²= 0. V důsledku toho dostaneme x = 0.

Další případ 16x²-9 = 0. Zde je pouze b = 0. Vyřešíme rovnici, přeneseme volný koeficient na pravou stranu: 16x²= 9, nyní rozdělíme každou část na šestnáct: x²= devět šestnácté. Vzhledem k tomu, že ve čtverci máme x, kořen 9/16 může být buď negativní nebo pozitivní. Odpověď je napsána následovně: X se rovná plus / minus tři čtvrtiny.

Variant odpovědi je možný, protože kořenová rovnice to neplatí. Podívejme se na příklad: 5x²+80 = 0, zde b = 0. Chcete-li vyřešit volný termín, hodte ho na pravou stranu, poté následujte tyto akce: 5x²= -80, nyní rozdělte každou část na pět částí: x²= mínus šestnáct. Je-li libovolné číslo čtverečné, nemáme zápornou hodnotu. Proto je naší odpovědí: kořenová rovnice to neplatí.

Rozklad trinomialu

Úloha kvadratických rovnic může také znít jiným způsobem: rozložit čtvercový trinom na multiplikátory. To lze provést pomocí následujícího vzorce: a (x-x₁) (x-x₂). K tomu, stejně jako v jiné variantě úkolu, je třeba najít diskriminaci.

Zvažte následující příklad: 3x²-14x-5 rozšiřte trinomial na multiplikátory. Najít Diskriminační pomocí již známý vzorec, je zjištěno, že je 256. Nyní na vědomí, že 256 je větší než nula, a proto rovnice bude mít dva kořeny. Najdeme je, stejně jako v předchozím odstavci, máme: x = pět a minus jedna třetina. Použijeme vzorec pro rozšíření trinomu na násobitele: 3 (x-5) (x + 1/3). Ve druhém držáku máme rovnítko, protože vzorec stojí mínus, a kořen, i negativní, s použitím základní znalosti matematiky, ve výši máme znaménko plus. Pro jednoduchost vynásobíme první a třetí termín rovnice, abychom se zbavili zlomku: (x-5) (x + 1).

Rovnice, které redukují na kvadratický

V tomto odstavci se naučíme řešit složitější rovnice. Začněme příkladem:

(x² - 2x)² - 2 (x² - 2x) - 3 = 0. Vidíme duplicitní prvky: (x² - 2x), vhodný k nám pro řešení jej nahradit jiné proměnné, a pak řešit obyčejné kvadratickou rovnici, prostě na vědomí, že v tomto úkolu dostaneme čtyři kořeny, nemělo by vás vystrašit. Označujeme opakování proměnné a. Získáváme: a²-2a-3 = 0. Dalším krokem je nalezení diskriminace nové rovnice. Získáme 16, najdeme dva kořeny: mínus jeden a tři. Vzpomínáme si, že jsme provedli náhradu, nahrazujeme tyto hodnoty, nakonec máme rovnice: x² - 2x = -1 - x² - 2x = 3. Řešíme je v první odpovědi: x se rovná jedné, v druhé: x je rovno mínus jedna a tři. Napsali jsme odpověď takto: plus / mínus jeden a tři. Odpověď se píše zpravidla vzestupně.

Kubické rovnice

Uvažujme ještě jednu možnou variantu. Budeme diskutovat o kubických rovnicích. Mají formu: sekeru ³ + b x ² + cx + d = 0. Příklady rovnic budeme zvažovat níže, ale na začátku malou teorii. Mohou mít tři kořeny, protože existuje vzorec pro nalezení diskriminátoru pro kubickou rovnici.

Zvažte příklad: 3x³+4x²+2x = 0. Jak to řešit? Abychom to udělali, vložili jsme x do závorek: x (3x²+4x + 2) = 0. Jediné, co musíme udělat, je vypočítat kořeny rovnice v závorkách. Distributor kvadratické rovnice v závorkách je menší než nula, na tomto základě má výraz root: x = 0.

Algebra. Rovnice

Pokračujeme k dalšímu formuláři. Nyní stručně zvážíme algebraické rovnice. Jedna z úkolů zní takto: metodu seskupování rozloží se na násobitele 3x⁴+2x³+8x²+2x + 5. Nejpohodlnějším způsobem je následující seskupení: (3x⁴+3x²) + (2x³+2x) + (5x²+5). Poznamenáváme, že Sx² od prvního výrazu jsme představili součet 3x² a 5x². Teď odstraníme z každého úhlu společný faktor 3x²(x2 + 1) + 2x (x²+1) + 5 (x²+1). Vidíme, že máme společný násobitel: x na čtverec plus jeden, vybíráme to z hranatých závorek: (x²+1) (3x²+2x + 5). Další rozklad není možný, protože obě rovnice mají negativní diskriminaci.

Transcendentální rovnice

Navrhujeme zabývat se tímto typem. Jsou to rovnice, které obsahují transcendentální funkce, jmenovitě logaritmické, trigonometrické nebo exponenciální. Příklady: 6sin²x + tgx-1 = 0, x + 5lgx = 3 a tak dále. Jak jsou řešeny, dozvíte se z průběhu trigonometrie.

Funkce

Posledním krokem je zvážit koncept funkční rovnice. Na rozdíl od předchozích verzí tento typ není vyřešen a na něm je vytvořen graf. Pro to je rovnice dobře analyzována, najít všechny body potřebné pro konstrukci, vypočítat minimální a maximální body.