Lineární a homogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Příklady řešení

Myslím, že bychom měli začít s historií takového slavného matematického nástroje jako diferenciálních rovnic. Stejně jako všechny diferenciální a integrální kameny byly tyto rovnice vynalezeny Newtonem na konci 17. století. Tento velmi objev považoval za tak důležitý, že dokonce zašifroval zprávu, která dnes může být takto přeložena: "Všechny zákony přírody jsou popsány diferenciálními rovnicemi." Může se to zdát přehnané, ale je to pravda. Veškeré zákony fyziky, chemie, biologie mohou být popsány těmito rovnicemi.

Významným přínosem pro vývoj a tvorbu teorie diferenciálních rovnic byly matematici Euler a Lagrange. Již v 18. století objevili a vyvíjeli to, co je nyní studováno na vysokoškolských kurzech.

Nový milník ve studiu diferenciálních rovnic začal Henri Poincare. Vytvořil "kvalitativní teorii diferenciálních rovnic", který v kombinaci s teorií funkcí komplexní proměnné významně přispěl k založení topologie - vědy o prostoru a jeho vlastnostech.

Co jsou diferenciální rovnice?

Mnoho se bojí jedné fráze "diferenciální rovnice". Nicméně v tomto článku budeme podrobně vysvětlovat celou podstatu tohoto velmi užitečného matematického aparátu, který ve skutečnosti není tak složitý, jak se zdá z názvu. Abychom mohli začít hovořit o diferenciálních rovnicích prvního řádu, je třeba nejprve seznámit se základními pojmy, které jsou s touto definicí spojeny. A začneme s diferenciálem.

Diferenciál

Mnoho lidí tuto koncepci zná ze školy. Budeme se však zabývat podrobněji. Představte si funkční graf. Můžeme ji zvýšit do takové míry, že některý z jeho segmentů bude mít formu přímky. Na tom vzít dva body, které jsou nekonečně blízko sebe. Rozdíl v jejich souřadnicích (x nebo y) je nekonečně malý. To se nazývá diferenciál a je označen znaky dy (rozdíl y) a dx (rozdíl x). Je velmi důležité pochopit, že diferenciál není konečné množství a to je jeho význam a základní funkce.

A nyní musíme zvážit následující prvek, který je užitečný pro vysvětlení konceptu diferenciální rovnice. Toto je derivát.

Derivát

Všichni jsme pravděpodobně slyšeli ve škole a v tomto pojetí. Říká se, že derivát je rychlost růstu nebo pokles funkce. Většina této definice se však stává nepochopitelnou. Pokusme se vysvětlit derivát prostřednictvím rozdílů. Vraťme se k nekonečně malému dílu s dvěma body, které jsou v minimální vzdálenosti od sebe. Ale i pro tuto vzdálenost má funkce čas do určité míry změnit. A popsat tuto změnu a přijít s derivátu, který by jinak byl napsán jako poměr diferenciálů: f (x) ‚= df / dx.

Teď musíme zvážit základní vlastnosti derivátu. Existují pouze tři:

1. Derivát součtu nebo rozdílu může být reprezentován jako součet nebo rozdíl derivátů: (a + b) `= a` + b `a (a-b)` = a`-b `.
2. Druhá vlastnost souvisí s násobením. Derivát produktu je součtem produktů jedné funkce na derivátu druhého: (a * b) `= a` * b + a * b `.
3. Derivát rozdílu může být napsán ve formě následující rovnice: (a / b) `= (a` * b-a * b `) / b².

Všechny tyto vlastnosti jsou užitečné při hledání řešení diferenciálních rovnic prvního řádu.

Existují také dílčí deriváty. Předpokládejme, že máme funkci z, která závisí na proměnných x a y. Pro výpočet částečného odvození této funkce, řekněme, s ohledem na x, musíme brát proměnnou y jako konstantu a jednoduše rozlišovat.

Integrální

Dalším důležitým pojmem je integrál. Ve skutečnosti je to přímý protiklad derivátu. Integraly jsou několika typů, ale pro řešení nejjednodušších diferenciálních rovnic potřebujeme nejnebezpečnější neurčité integrály.

A tak, Co je integrál? Předpokládejme, že máme určitou závislost f na x. Bereme z ní integrální a získat funkce f (x) (to je často označována jako primitivní), což je derivát původní funkci. Takže F (x) `= f (x). Z toho také vyplývá, že integrál derivátu se rovná původní funkci.

Při řešení diferenciálních rovnic je velmi důležité pochopit smysl a funkci integrálu, protože je velmi často nutné je nalézt k řešení.

Rovnice jsou různé v závislosti na jejich povaze. V další části budeme uvažovat o typech diferenciálních rovnic prvního řádu a poté se naučíme jak je vyřešit.

Třídy diferenciálních rovnic

"Difuzory" jsou rozděleny podle pořadí derivátů, které se na nich podílejí. Existuje tedy první, druhý, třetí nebo více řádů. Mohou být také rozděleny do několika tříd: běžných a částečných derivátů.

V tomto příspěvku se zabýváme obyčejnými diferenciálními rovnicemi prvního řádu. Příklady a metody jejich řešení budou také diskutovány v následujících částech. Budeme zvažovat pouze ODE, protože to jsou nejběžnější typy rovnic. Obyčejní jsou rozděleni do poddruhů: s oddělitelnými proměnnými, homogenní a heterogenní. Dále se dozvíte, jak se navzájem liší, a naučte se, jak je vyřešit.

Navíc tyto rovnice lze kombinovat tak, že po získání systému diferenciálních rovnic prvního řádu. Takové systémy také budeme zvažovat a naučíme se je vyřešit.

Proč považujeme pouze první objednávku? Protože musíte začít s jednoduchým a je prostě nemožné popsat všechno související s diferenciálními rovnicemi v jednom článku.

Rovnice s oddělitelnými proměnnými

Jedná se pravděpodobně o nejjednodušší diferenciální rovnice prvního řádu. Jedná se o příklady, které lze psát jako: y `= f (x) * f (y). Abychom tuto rovnici vyřešili, potřebujeme vzorec pro reprezentaci derivátu jako poměr diferenciálů: y `= dy / dx. Pomocí této rovnice získáme následující rovnici: dy / dx = f (x) * f (y). Nyní se můžeme obrátit na způsob řešení standardních příkladů: rozdělíme proměnné na jednotlivé části, to znamená, že přenášíme vše od proměnné y do části, ve které se nachází dy, a děláme to také s proměnnou x. Získáme rovnici formu dy / f (y) = f (x) dx, která je řešena tím, že se integrály z obou stran. Nezapomeňte na konstantu, která musí být nastavena po převzetí integrálu.

Řešení jakéhokoli "difuzéru" je funkce závislostí x na y (v našem případě), nebo pokud existuje numerický stav, pak je odpověď ve formě čísla. Podívejme se na konkrétní příklad celého směru řešení:

y `= 2y * sin (x)

Převádíme proměnné v různých směrech:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Teď vezmeme integrály. Všechny se nacházejí ve zvláštní tabulce integrálů. A my dostaneme:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

V případě potřeby můžeme vyjádřit "yorek" jako funkci "X". Teď můžeme říci, že naše diferenciální rovnice je řešena, pokud není daná podmínka. Může být zadána podmínka, například y (n / 2) = e. Poté právě nahrazujeme hodnotu těchto proměnných v řešení a zjistíme, že hodnota je konstantní. V našem příkladu je to 1.

Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu

Nyní přejděte k složitější části. Homogenní diferenciální rovnice prvního řádu mohou být zapsána do obecné podoby takto: y `= z (x, y). Je třeba poznamenat, že správná funkce dvou proměnných je homogenní a nemůže být rozdělena do dvou závislostí: z z x a z z y. Abychom zjistili, zda je rovnice homogenní nebo ne, je to poměrně jednoduché: děláme substituci x = k * x a y = k * y. Teď řezáme všechny k. Pokud jsou všechna tato písmena zredukována, rovnice je homogenní a můžete ji bezpečně vyřešit. Běžíme dopředu, řekněme: princip řešení těchto příkladů je také velmi jednoduchý.

Musíme udělat náhradu: y = t (x) * x, kde t je funkce, která závisí také na x. Pak můžeme vyjádřit derivát: y `= t` (x) * x + t. Nahradíme to do původní rovnice a zjednodušíme její příklad s oddělujícími proměnnými t a x. Vyřešíme to a získáme závislost t (x). Když jsme ji obdrželi, jednoduše nahradíme y = t (x) * x v naší předchozí náhradě. Pak získáme závislost y na x.

Aby to bylo jasnější, pojďme například: x * y `= y-x * e^{y / x}.

Při kontrole s náhradou je vše sníženo. Proto je rovnice skutečně homogenní. Nyní provést další substituci, jsme se hovoří o: y = t (x) * x a y `= t` (x) * x + t (x). Po zjednodušení získáme následující rovnici: t `(x) * x = -e^t. Výsledný příklad řešíme oddělenými proměnnými a získáme: e^-t= ln (C * x). Zbývá jen nahradit t tím, že y / x (protože pokud y = t * x, pak t = y / x) a dostaneme odpověď: e^{-y / x}= ln (x * C).

Lineární diferenciální rovnice prvního řádu

Je na čase zvážit další široké téma. Budeme analyzovat nehomogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Jak se liší od předchozích dvou? Zjistíme to. Lineární diferenciální rovnice první řady mohou být psány v obecné podobě podle následující rovnice: y `+ g (x) * y = z (x). Je vhodné upřesnit, že z (x) a g (x) mohou být konstantní veličiny.

A nyní příklad: y `- y * x = x².

Existují dva způsoby řešení a my se budeme zabývat oběma v pořádku. První je metoda variace libovolných konstant.

Abychom rovnici vyřešili tímto způsobem, je nejprve nutné rovnotit pravou stranu na nulu a vyřešit výslednou rovnici, která po přenosu součástí bude mít podobu:

y `= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x²/ 2 + C;

y = e^{x2 / 2}* y^C= C₁* e^{x2 / 2}.

Teď musíme nahradit konstantu C₁ na funkci v (x), kterou musíme najít.

y = v * e^{x2 / 2}.

Tento derivát nahradíme:

y `= v` * e^{x2 / 2}-x * v * e^{x2 / 2}.

A nahrazujeme tyto výrazy v původní rovnici:

v `* e^{x2 / 2} - x * v * e^{x2 / 2} + x * v * e^{x2 / 2} = x².

Je zřejmé, že na levé straně se zruší dva termíny. Pokud se to v některých příkladech nestalo, pak jste udělali něco špatného. Pojďme pokračovat:

v `* e^{x2 / 2} = x².

Nyní řešíme obvyklou rovnici, ve které musíme oddělit proměnné:

dv / dx = x²/ e^{x2 / 2};

dv = x²* e^{-x2 / 2}dx.

Abychom získali integrálu, budeme muset integrovat součásti. To však není téma našeho článku. Pokud vás to zajímá, můžete se naučit, jak to udělat sami. Není to složité a s dostatečnou schopností a pozorností netrvá dlouho.

Podívejme se na druhou metodu řešení nehomogenních rovnic: Bernoulliho metodu. Který přístup je rychlejší a jednodušší - je to na vás.

Takže při řešení této rovnice potřebujeme náhradu: y = k * n. Zde k a n jsou některé funkce v závislosti na x. Pak derivát bude vypadat takto: y `= k` * n + k * n `. Nahrazujeme obě substituce do rovnice:

k `* n + k * n` + x * k * n = x².

Skupina:

k `* n + k * (n` + x * n) = x².

Teď musíme nulovat to, co je v závorkách. Teď, když kombinujeme dvě výsledné rovnice, získáme systém prvotřídních diferenciálních rovnic, které musíme řešit:

n `+ x * n = 0;

k `* n = x².

První rovnice je řešena jako obyčejná rovnice. K tomu musíte oddělit proměnné:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Vezmeme integrál a dostaneme: ln (n) = x²/ 2. Pak, pokud vyjádříme n:

n = e^{x2 / 2}.

Nyní nahrazujeme výslednou rovnost do druhé rovnice systému:

k `* e^{x2 / 2}= x².

A přeměňujeme stejnou rovnost jako v první metodě:

dk = x²/ e^{x2 / 2}.

Rovněž nebudeme demontovat další akce. Stojí za to říci, že zpočátku řešení diferenciálních rovnic prvního řádu způsobuje značné obtíže. Nicméně, s hlubším ponořením do předmětu, začíná se zlepšovat a zlepšovat.

Kde jsou použité diferenciální rovnice?

Velmi aktivní diferenciální rovnice se používají ve fyzice, protože téměř všechny základní zákony jsou psány v diferenciální formě a vzorce, které vidíme, jsou řešením těchto rovnic. V chemii jsou používány ze stejného důvodu: základní zákony se odvozují s jejich pomocí. V biologii se diferencované rovnice používají k modelování chování systémů, například dravec-kořist. Mohou být také použity k vytvoření chovatelských vzorků, například kolonie mikroorganismů.

Jak pomohou diferenciální rovnice v životě?

Odpověď na tuto otázku je jednoduchá: žádný způsob. Pokud nejste vědec ani inženýr, je pravděpodobné, že je budete používat. Nicméně, pro obecný vývoj, neubližuje vědět, co je diferenciální rovnice a jak je řešena. A pak otázka syna nebo dcery "jaká je diferenciální rovnice?" Nedělejte vás do slepé uličky. No, pokud jste vědec nebo inženýr, pochopíte důležitost tohoto tématu v jakékoli vědě. Ale nejdůležitější je, že teď je otázka "jak řešit diferenciální rovnici prvního řádu?" můžete vždy dát odpověď. Souhlasíte, je vždy příjemné, když pochopíte, co se lidé obávají pochopit.

Hlavní problémy studie

Hlavním problémem v pochopení tohoto tématu je špatná schopnost integrovat a diferencovat funkce. Pokud nerozumíte derivátům a integracím špatně, pravděpodobně byste se měli naučit, zvládnout různé metody integrace a diferenciace a teprve poté začít studovat materiál, který byl popsán v článku.

Někteří lidé jsou překvapeni, že dx mohou být přeneseny, jak bylo dříve (ve škole) tvrdil, že frakce dy / dx je nedělitelná. Zde si musíte přečíst literaturu o derivátu a pochopit, že je poměr nekonečně malých veličin, které lze manipulovat při řešení rovnic.

Mnoho lidí si okamžitě neuvědomuje, že řešení diferenciálních rovnic prvního řádu je často funkcí nebo neintegrálním integrálem a tato iluze jim dává spoustu potíží.

Co jiného lze studovat pro lepší porozumění?

Nejlepší je začít další ponoření do světa diferenciálního počtu z odborných učebnic, například v matematické analýze pro studenty matematických oborů. Pak můžete jít do specializované literatury.

Za zmínku stojí, že kromě diferenciálních rovnic existují také integrální rovnice, takže vždy budete mít něco, na co se bude snažit a co studovat.

Závěr

Doufáme, že po přečtení tohoto článku máte představu o tom, jaké jsou diferenciální rovnice a jak je správně řešit.

V každém případě je matematika v každém případě užitečná pro nás v životě. Rozvíjí logiku a pozornost, bez níž je každý člověk bez rukou.