Matematická matice. Násobení matric

Dokonce i matematici starověké Číny použili ve svých výpočtech záznam ve formě tabulek s určitým počtem řádků a sloupců. Pak podobné matematické objekty byly nazývány jako "magické čtverce". Přestože jsou známy případy použití tabulky forma trojúhelníků, které nebyly široce rozšířeny.

Dosavadní matematickou maticí se rozumí objem obdélníkového tvaru s daným počtem sloupců a symbolů, které určují velikost matice. V matematice tato forma psaní nalezla širokou aplikaci pro záznam v kompaktní formě systémů diferenciálních i lineárních algebraických rovnic. Předpokládá se, že počet řádků v matici, která se rovná počtu v systému rovnic, počet sloupců odpovídá kolik musí být neznámé definována v průběhu řešení.

Kromě toho, že samotná matice v průběhu jejího řešení vede k nalezení neznámých znaků zakotvených ve stavu systému rovnic, existuje řada algebraických operací, které lze provést na tomto matematickém objektu. Tento seznam obsahuje přidání matic se stejnými rozměry. Násobení matric s vhodnými rozměry (můžete vynásobit pouze matici, na jedné straně má počet sloupců rovné počtu řádků matice na druhé straně). Je také možné vynásobit matici vektorem nebo prvkem pole nebo základním kruhem (jinak skalární).

Vzhledem k násobení matic bychom měli pečlivě sledovat, že počet sloupců prvního přísně odpovídá počtu řádků druhé. V opačném případě nebude tato akce přes matrice určena. Podle pravidla, na které je matice vynásobena maticí, se každý prvek v nové matici rovná součtu produktů odpovídajících prvků z řádků první matice s prvky odebranými ze sloupců druhé.

Z důvodu srozumitelnosti uvažme příklad toho, jak vznikne násobení matice. Vezmeme matici A

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

vynásobte ji maticí B

3 -2

1 0

4 -3.

Prvek první řady prvního sloupce výsledné matice je 2 * 3 + 3 * 1 + (-2) * 4. Proto v prvním řádku ve druhém sloupci bude prvek rovný 2 * (-2) + 3 * 0 + (-2) * (-3) a tak dále, dokud nebude vyplněn každý prvek nové matice. Pravidlo násobení matic zahrnuje, že výsledek matice produktu s parametry v m x n matrice s poměrem n x k, se stává tabulku, která má s rozměry m x k. Po tomto pravidle můžeme konstatovat, že produkt tzv. Čtvercových matric stejného pořadí je vždy definován.

Z vlastností vlastněných násobení matic by měly být přiděleny jako základní skutečností, že tato operace není komutativní. To je součin matice M na N není rovná součinu N M. V případě čtvercových matic stejného řádu je pozorováno, že jejich vpřed a vzad produkt se vždy určuje, liší se pouze v důsledku toho, obdélníkové matice, jako určité podmínky nejsou vždy splněny.

Násobení matric má řadu vlastností, které mají jasné matematické důkazy. Asociativita násobení znamená správnost následujícího matematického výrazu: (MN) K = M (NK), kde M, N a K jsou matrice mající parametry, pro které je definováno násobení. Distributivity násobení předpokládá, že M (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = (LM) N + M (LN), kde L - počet.

Důsledkem vlastností maticového násobení, která se nazývá „asociativní“, to znamená, že se v produktu, který obsahuje mezi třemi nebo více faktorů, je umožněn vstup bez použití držáků.

Použití vlastnosti distributivity umožňuje otevřít závorky při zkoumání výrazů matice. Věnujeme pozornost, pokud otevřeme závorky, pak musíme zachovat pořadí faktorů.

Použití maticových výrazů umožňuje nejen kompaktní záznam těžkopádných systémů rovnic, ale také usnadňuje proces jejich zpracování a řešení.