Typy matric. Zvětšený pohled na matici. Snižování matice do stupňovité a trojúhelníkové formy

Matrix je speciální matematický předmět. Zobrazuje se ve tvaru obdélníkového nebo čtvercového stolu, složeného z určitého počtu řádků a sloupců. V matematice existuje široká škála typů matric, které se liší velikostí nebo obsahem. Čísla řádků a sloupců se nazývají příkazy. Tyto objekty se používají v matematice k organizaci záznamu systémů lineárních rovnic a k pohodlnému hledání jejich výsledků. Rovnice používající matici jsou řešeny metodou Karl Gauss, Gabriel Kramer, neplnoletými a algebraickými doplňky a také mnoha dalšími metodami. Základní dovednost při práci s maticemi je snížení na standardní zobrazení. Nicméně, pro začátek, pojďme se podívat na to, jaké matematické matematiky mohou poskytnout.

Zero type

Všechny komponenty tohoto typu matice jsou nuly. Mezitím je počet jeho řádků a sloupců zcela odlišný.

Typ čtverce

Počet sloupců a řádků tohoto typu matice je stejný. Jinými slovy je to tabulka s tvarem "čtverec". Počet jeho sloupců (nebo řádků) se nazývá objednávka. Zvláštní případy jsou existence matrice druhého řádu (2x2 matice), čtvrtého řádu (4x4), desátého (10x10), sedmnáctého (17x17) a tak dále.

Vektorový sloupec

Jedná se o jeden z nejjednodušších druhů matic obsahujících pouze jeden sloupec, který obsahuje tři číselné hodnoty. Představuje řadu volných výrazů (čísel nezávislých na proměnných) v systémech lineárních rovnic.

Vektorový řetězec

Pohled podobný předchozímu. Skládá se ze tří číselných prvků, uspořádaných v jedné řadě.

Diagonální typ

Číselné hodnoty v diagonální podobě matice berou pouze součásti hlavní diagonály (zvýrazněné zeleně). Hlavní diagonální čára začíná prvkem v pravém horním rohu a končí číslem ve třetím sloupci třetí řady. Zbývající komponenty jsou nulové. Typ diagonály je pouze čtvercová matice nějakého pořadí. Mezi maticemi úhlopříčky lze vybrat skalární matici. Všechny jeho součásti mají stejné hodnoty.

Matrice identity

Poddruh diagonální matice. Všechny její číselné hodnoty jsou jednotky. Pomocí jediného typu maticových tabulek proveďte základní transformace nebo najděte matici, která je inverzní k původní.

Kanonický typ

Kánonická forma matice je považována za jednu ze základních, redukce je často nezbytná pro práci. Počet řádků a sloupců v kanonické matici je jiný, nemusí nutně patřit k druhému čtverci. Je to poněkud podobná jednotkové matici, ale v jeho případě ne všechny součásti hlavní diagonály mají hodnotu rovnou jedné. Hlavní diagonální jednotky mohou být dvě, čtyři (všechny závisí na délce a šířce matice). Nebo jednotky nemohou vůbec existovat (pak se považuje za nulu). Zbývající komponenty kanonického typu, jako jsou prvky diagonály a jednotky, jsou nulové.

Trojúhelníkový typ

Jeden z nejdůležitějších typů matice, používaný při hledání jeho determinantu a při provádění jednoduchých operací. Trojúhelníkový typ je odvozen od diagonálního typu, takže matice je také čtvercová. Trojúhelníková forma matice je rozdělena na horní trojúhelníkový a dolní trojúhelník.

V horní trojúhelníkové matici (obr. 1) mají pouze prvky, které jsou nad hlavním úhlopříčkem, hodnotu rovnou nule. Součásti samotné diagonály a části matice pod ní obsahují číselné hodnoty.

V dolním trojúhelníku (obr. 2) naopak jsou prvky umístěné ve spodní části matice rovna nule.

Kroková matice

Pohled je nutný k nalezení hodnosti matice a také pro elementární akce na ní (spolu s trojúhelníkovým typem). Kroková matice je pojmenována tak, že obsahuje charakteristické "kroky" nul (jak je znázorněno na obrázku). V stupňovitém typu se vytváří úhlopříčka nula (ne nutně hlavní) a všechny prvky pod danou diagonálou mají také hodnoty rovnající se nule. Předpokladem je následující: Pokud je v matici kroků nulový řetězec, zbývající řádky pod ním také neobsahují číselné hodnoty.

Tak jsme zkoumali nejdůležitější typy matric potřebných pro práci s nimi. Nyní se podíváme na problém transformace matice do požadované formy.

Redukce na trojúhelníkový tvar

Jak přinést matici do trojúhelníkové formy? Nejčastěji v úlohách je nutné transformovat matici do trojúhelníkového tvaru, abychom zjistili její determinant, který se nazývá determinant jiným způsobem. Při provádění tohoto postupu je nesmírně důležité "zachovat" hlavní diagonál matrice, protože determinant trojúhelníkové matice je přesně produktem prvků její hlavní diagonály. Budu také upozorňovat na alternativní metody pro nalezení determinantu. Determinant čtvercového typu se nalézá pomocí zvláštních vzorců. Můžete například použít metodu trojúhelníku. U jiných matic použijte metodu rozkladu pro řádek, sloupec nebo prvek. Můžete také použít metodu pro nezletilé a doplněk algebraické matice.

Podívejme se podrobně na proces redukce matice na trojúhelníkový tvar na příkladech některých úkolů.

Přiřazení 1

Je nutné nalézt determinant předložené matice metodou její redukce na trojúhelníkovou formu.

Matrix, která nám byla dána, je čtvercová matice třetího řádu. Proto jej proměnit v trojúhelníkový tvar, musíme vytvořit dvě složky prvního sloupce a jednu složku druhého sloupce nula.

Chcete-li ji přenést do trojúhelníkové podoby, spusťte transformaci z levého dolního rohu matice - od čísla 6. Chcete-li ji změnit na nulu, násobte první řádek o tři a odčtěte jej od posledního řádku.

Důležité! Horní řádek se nemění, ale zůstává stejný jako v původní matici. Není třeba zaznamenat řádek, který je čtyřikrát větší než původní. Ale hodnoty řádků, jejichž součásti musí být nulové, se neustále mění.

Dále učiníme další hodnotu, prvek druhého řádku prvního sloupce, 8. Vynásobíme první řádek čtyřmi a odečteme jej od druhého řádku. Získáváme nulu.

Zbývá pouze poslední hodnota - prvek třetího řádku druhého sloupce. Toto číslo je (-1). Chcete-li jej změnit na nulu, odečtěte druhý od prvního řádku.

Proveďte kontrolu:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Odpověď na úkol: -22.

Aktivita 2

Je nutné nalézt determinant matrice metodou její redukce na trojúhelníkovou formu.

Předložená matice patří do čtvercového typu a je maticí čtvrtého řádu. Proto je nutné nulovat tři složky prvního sloupce, dvě složky druhého sloupce a jednu složku třetího sloupce.

Začneme tím, že jej snížíme z prvku v levém dolním rohu od čísla 4. Musíme toto číslo změnit na nulu. Nejvýhodnější je to, když vynásobíte čtyři horní čáry a odečtete je od čtvrtého. Zapisujeme výsledek první fáze transformace.

Součást čtvrtého řádku je tedy nulová. Přejdeme na první prvek třetího řádku na číslo 3. Provedeme podobnou operaci. Vynásobte první tři řádky třemi, odčtěte je od třetího řádku a zapište výsledek.

Dále vidíme číslo 2 ve druhém řádku. Opakujte operaci: násobte horní řádek o dva a odečtěte od druhého.

Podařilo se nám změnit všechny prvky prvního sloupce uvedené čtvercové matice na nulu, s výjimkou čísla 1 - prvku hlavní diagonály, který nevyžaduje transformaci. Nyní je důležité ponechat výsledné nuly, takže provedeme konverze s řetězci, nikoliv s sloupci. Přejděme do druhého sloupce předložené matice.

Znovu začněte od dolní části - od druhého sloupce posledního řádku. Toto číslo je (-7). V tomto případě je však výhodnější začít s číslem (-1) - prvkem druhého sloupce třetího řádku. Chcete-li jej změnit na nulu, odečteme druhý od třetího řádku. Pak vynásobte druhou řadu sedmi a odečtěte ji od čtvrtého. Máme nulu místo prvku umístěného ve čtvrtém řádku druhého sloupce. Nyní přejděte ke třetímu sloupci.

V tomto sloupci musíme nulovat pouze jedno číslo - 4. To je jednoduché: stačí přidat třetí řádek na poslední řádek a uvidíte požadovanou nulu.

Po provedených transformacích jsme navrhovanou matici zmenšili na trojúhelníkový tvar. Nyní, abychom našli svou determinantu, je nutné pouze vynásobit výsledné prvky hlavní diagonály. Máme: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. V důsledku toho je řešení číslo 160.

Takže teď otázka přenesení matice na trojúhelníkový pohled nebude pro vás obtížná.

Snížení na stupňovanou formu

Při elementárních operacích na matricích je stupňovitá forma méně nárokována než trojúhelníkový. Nejčastěji se používá k nalezení hodnosti matice (tj. Počtu jejích nenulových řádků) nebo k určení lineárně závislých a nezávislých řádků. Stupňovitá forma matice je však univerzálnější, protože je vhodná nejen pro čtvercový typ, ale i pro všechny ostatní.

Chcete-li matici přenést do stupňovité podoby, musíte nejprve najít její determinant. K tomu je vhodné použít výše uvedené metody. Účelem nalezení determinantu je: zjistit, zda je možné jej převést na krokovou podobu matice. Pokud je determinant větší nebo menší než nula, můžete bezpečně pokračovat v úkolu. Pokud se rovná nule, není možné provést redukci matice do stupňovité podoby. V takovém případě je třeba zkontrolovat, zda v záznamu nebo v maticových transformacích existují chyby. Pokud taková nepřesnost neexistuje, úkol nelze vyřešit.

Podívejme se, jak přenést matici na step-podobnou podobu na příkladech několika úkolů.

Přiřazení 1. Najděte hodnost této maticové tabulky.

Před námi je čtvercová matice třetího řádu (3x3). Víme, že k nalezení hodnosti je nutné ji přenést na step-like formu. Proto nejprve musíme najít determinant matice. Použijeme metodu trojúhelníku: DETA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinant je 12. Je větší než nula, takže matice může být redukována na step-podobnou formu. Přeměňme na její transformace.

Začněme levým sloupcem třetího řádku - číslo 2. Vynásobíme horní řádek dvěma a odečteme od třetího řádku. Díky této operaci zmizely jak požadovaný prvek, tak číslo 4 - prvek druhého sloupce třetí řady.

Dále vynulujeme prvek druhého řádku prvního sloupce - číslo 3. Za tímto účelem vynásobíme horní řádek třemi a odečteme od druhého řádku.

Vidíme, že v důsledku redukce byla vytvořena trojúhelníková matice. V našem případě nelze pokračovat v transformaci, protože zbývající součásti nelze snížit na nulu.

Takže jsme dospěli k závěru, že počet řádků obsahujících číselné hodnoty v této matici (nebo její hodnosti) je 3. Odpověď na úkol: 3.

Přiřazení 2. Určete počet lineárně nezávislých řádků dané matice.

Musíme najít linky, které nelze přeměnit na nulu. Ve skutečnosti musíme najít počet nenulových řádků nebo reprezentovanou matici matice. Abychom to učinili, zjednodušíme to.

Vidíme matici, která nepatří k čtvercovém typu. Měří 3x4. Začneme odlévání z levého dolního rohu - číslo (-1).

Přidejte první řádek do třetího řádku. Dále odečteme druhou z nich, abychom převedli číslo 5 na nulu.

Další konverze jsou nemožné. Z toho vyplývá, že počet lineárně nezávislých řádků v něm a odpověď na úkol je 3.

Nyní casting matrice na stupňovanou formu není pro vás nemožným úkolem.

Na příkladech těchto zadání jsme analyzovali redukci matice na trojúhelníkový tvar a stupňovitý pohled. Aby se požadované hodnoty matricových tabulek snížily na nulu, je třeba v některých případech ukázat fantazii a správně změnit jejich sloupce nebo řetězce. Přeji vám úspěch v matematice a při práci s matricemi!