Gaussova metoda: příklady řešení a speciální případy

Metoda Gauss, nazývaná také metodou postupné eliminace neznámých proměnných, je pojmenována podle významného německého vědce K.F. Gauss, který během svého života získal neoficiální titul "král matematiky". Tato metoda byla však známa již dávno před narozením evropské civilizace již v prvním století. BC. e. starověcí čínští vědci jej používali ve svých spisech.

Gaussova metoda je klasickou metodou řešení systémy lineárních algebraických rovnic (SLAU). Je ideální pro rychlé řešení ohraničených matric.

Samotná metoda se skládá ze dvou pohybů: přímý a reverzní. Přímý běh je postupné odlévání SLAU do trojúhelníkové formy, tj. Nulovacích hodnot umístěných pod hlavním úhlopříčkem. Reverzní pohyb znamená postupné zjištění hodnot proměnných, které vyjadřují každou proměnnou skrze předchozí.

Naučit se, jak používat Gaussovu metodu v praxi, je jednoduché, stačí znát základní pravidla násobení, doplnění a odečítání čísel.

Abychom demonstrovali algoritmus pro řešení lineárních systémů touto metodou, pojďme zvážit jeden příklad.

Takže vyřešit pomocí Gaussovy metody:

x + 2y + 4z = 3
2x + 6y + 11z = 6
4x-2y-2z = -6

Musíme se zbavit proměnné x ve druhém a třetím řádku. Chcete-li to provést, přidáme první, násobí -2 a -4. Máme:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-10y-18z = -18

Nyní vynásobte druhý řádek o 5 a přidejte jej do třetího řádku:

x + 2y + 4z = 3
2y + 3z = 0
-3z = -18

Přinesli jsme náš systém do trojúhelníkového pohledu. Teď jsme se obrátili. Začneme posledním řádkem:
-3z = -18,
z = 6.

Druhý řádek:
2y + 3z = 0
2y + 18 = 0
2y = -18,
y = -9

První řádek:
x + 2y + 4z = 3
x-18 + 24 = 3
x = 18-24 + 3
x = -3

Nahrazením získaných hodnot proměnných v počátečních datech jsme přesvědčeni o správnosti řešení.

Tento příklad lze vyřešit mnoha jinými substitucemi, ale odpověď by měla být stejná.

Stává se, že na prvním řádku jsou prvky s příliš malými hodnotami. Není to děsivé, ale je to docela složité. Řešením je gaussů s výkyvným na koloně. Jeho podstatou je následující: první řádek maximálně snažil modulo prvek, sloupek, ve kterém se nachází, vyměnit místo s 1. sloupci, to je naše maximum element se stane prvním prvkem hlavní diagonále. Následuje standardní proces výpočtu. Pokud je to nutné, postup pro výměnu sloupců lze opakovat.

Další modifikovaná Gaussova metoda je Jordan-Gaussova metoda.

Používá se při řešení čtverce SLAU při hledání inverzní matice a pořadí matice (počet nenulových řádků).

Podstatou této metody je, že původní systém se transformuje do jednotkové matice pomocí transformací s dalším vyhledáváním hodnot proměnných.

Její algoritmus je následující:

1. Systém rovnic je redukován, jako v Gaussově metodě, na trojúhelníkový tvar.

2. Každý řádek je rozdělen určitým číslem tak, aby se získala jednotka na hlavní diagonále.

3. Poslední řádek se vynásobí určitým počtem a odečte se od předposlední tak, aby se nedostala na hlavní diagonále 0.

4. Operace 3 se postupně opakuje pro všechny řádky, dokud se nakonec nevytvoří jednotková matice.