Kde je použita metoda nejmenších čtverců

Metoda nejmenších čtverců (OLS) umožňuje odhadnout různá množství pomocí výsledků sady měření obsahujících náhodné chyby.

Charakteristika OLS

Základní myšlenkou této metody je, že kritéria přesnosti pro řešení tohoto problému je považován za součet čtverců chyb, které se snaží minimalizovat. Pomocí této metody můžete použít jak numerický, tak analytický přístup.

Zejména jako numerická implementace metoda nejmenších čtverců zahrnuje provádění co nejvíce rozměrů neznámé náhodné proměnné, jak je to možné. Kromě toho, čím více výpočtů, tím přesnější je řešení. Na této sérii výpočtů (počátečních dat) se získá další sada předpokládaných řešení, z nichž je vybráno nejlepší. Je-li soubor řešení parametrizován, metoda metody nejmenších čtverců se zmenší na nalezení optimální hodnoty parametrů.

Jako analytický přístup k implementaci OLS na množinu počátečních dat (rozměrů) a předpokládanou sadu řešení, některé funkční závislost (funkční), která může být vyjádřena vzorem získaným jako hypotéza, která vyžaduje potvrzení. V tomto případě metoda nejmenších čtverců snižuje na nalezení minimální hodnoty této funkce na množině čtvercových chyb původních dat.

Všimněte si, že ne samotné chyby, ale čtverce chyb. Proč? Faktem je, že odchylky měření od přesných hodnot jsou často pozitivní i negativní. Při určování průměru chyby měření jednoduché shrnutí může vést k nesprávnému závěru o kvalitě odhadu, jelikož vzájemné zničení pozitivních a záporných hodnot sníží výkon vzorku sady měření. A v důsledku toho i přesnost hodnocení.

Aby se to stalo, a shrňte čtverce odchylek. Ještě více, aby se vyrovnal rozměr naměřené veličiny a konečný odhad, ze součtu chybových čtverců, druhá odmocnina.

Některé aplikace MNC

MNC je široce používána v různých oblastech. Například, v pravděpodobnosti a metody matematické statistiky pro stanovení takové charakteristiky náhodných proměnných, jako je standardní odchylka, která určuje šířku rozsahu hodnot náhodné proměnné.

V matematická analýza a různé oblasti fyziky, které tento přístroj používají k odvozování nebo potvrzení hypotéz, jsou OLS používány zejména k vyhodnocení přibližné reprezentace funkcí definovaných na numerických souborech pomocí jednodušších funkcí, které připouštějí analytické transformace.

Dalším uplatněním této metody je oddělení užitečného signálu od šumu, který mu vzniká při filtračních potížích.

Další oblastí aplikace MNC je ekonometrie. Zde je tato metoda používána tak široce, že pro ni byly identifikovány některé speciální úpravy.

Většina ekonometrických problémů, tak či onak, je snížen na řešení soustavy lineárních ekonometrických rovnic popisujících chování některých systémů - strukturálních modelů. Hlavním prvkem každého takového modelu je časová řada, která je sbírkou některých charakteristik, jejichž hodnoty závisí na čase, stejně jako na řadě dalších faktorů. V tomto případě může existovat soulad mezi vnitřními (endogenními) charakteristikami modelu a vnějšími (exogenními) charakteristikami. Tato korespondence je obvykle vyjádřena ve formě systémů lineárních ekonomických rovnic.

Charakteristickým znakem takových systémů je existenci vzájemných vztahů mezi jednotlivými proměnnými, které na jedné straně komplikují a na druhé straně redefinují. Jaký je důvod pro nejistotu při výběru řešení takových systémů. Dalším faktorem, který komplikuje řešení těchto problémů, je závislost modelových parametrů na čase.

Hlavním účelem ekonometrických problémů - identifikace modelu, který je definice strukturálních vztahů ve zvoleném modelu, stejně jako vyhodnocení řady parametrů.

Obnova závislostí v časových řadách skládajících se z modelu může být provedena zejména pomocí přímého OLS a některých jeho modifikací, stejně jako řady dalších metod. Zvláštní modifikace MNC při řešení těchto problémů jsou speciálně vyvinutá pro řešení určitých problémů vznikajících v procesu numerického řešení systémů rovnic.

Zejména jeden z těchto problémů souvisí s přítomností počátečních omezení parametrů, které je třeba vyhodnotit. Například příjem soukromého podniku lze vynaložit na spotřebu nebo na její vývoj. Následkem toho je známo, že součet částí těchto dvou typů nákladů je 1. V systému ekonometrických rovnic mohou tyto části vstoupit nezávisle na sobě. Proto je možné odhadnout různé typy výdajů pomocí OLS bez zohlednění počátečního omezení a následně opravit získaný výsledek. Tato metoda řešení se nazývá metoda nepřímých nejmenších čtverců.

Nepřímá metoda nejmenších čtverců (CIOC) se používá pro výslovně definovaný strukturální model. KIOC algoritmus předpokládá následující akce:

1) transformace strukturního modelu na jednodušší, redukovanou formu zavedením dalšího vztahu;

2) odhad s pomocí obvyklých OLS snížených koeficientů pro každou rovnici zjednodušeného modelu;

3) získané koeficienty jednoduché formy modelu jsou transformovány do parametrů počátečního strukturálního modelu.

Je třeba poznamenat, že u superidentifikovaných systémů se KMNC nepoužívají, protože v tomto případě není možné specifikovat jednoznačné odhady parametrů konstrukčního modelu. U takových modelů lze použít ještě jednu modifikaci nejmenších čtverců: dvoustupňová metoda nejmenších čtverců (DMAC).

Algoritmus DMNK je následující:

1) na základě zjednodušeného modelu vypočítat pro superidentifikovanou rovnici hodnoty vnitřních proměnných, které jsou obsaženy v pravé straně rovnice;

2) nahradit získané hodnoty proměnných do místa odpovídajících skutečných proměnných v počátečním modelu a znovu použít konvenční nejmenší čtverce.

Podrobný popis nepřímých a dvoukrokových metod nejmenších čtverců je uveden v mnoha učebnicích o ekonometrii. Zvláštností těchto metod, stejně jako OLS, ve své univerzálnosti jim umožňuje posoudit koeficienty jakéhokoli strukturálního modelu v jakékoliv doména.