Jednoduchá iterační metoda pro řešení systémů lineárních rovnic (SLAE)

Jednoduchá metoda iterace, nazývané také způsob postupného sbližování, - matematický algoritmus pro zjištění hodnoty neznámé hodnotě přes postupné vyjasnit jej. Podstatou této metody je, že, jak již název napovídá, se postupně vyjadřují počáteční aproximaci těch dalších, jsou stále více rafinované výsledky. Tato metoda se používá pro nalezení hodnoty proměnné v dané funkci, a řešení soustavy rovnic, jak lineární a nelineární.

Zvažme, jak je tato metoda implementována při řešení SLAE. Jednoduchá iterační metoda má následující algoritmus:

1. Ověřením konvergenčních podmínek v počátečním matrici. Konvergenční věta: v případě, že původní systém matice je diagonálně dominantní (tj, každý řádek prvků hlavní diagonále musí být větší co do velikosti, než je součet prvků bočních diagonály v absolutní hodnotě), metodu jednoduchých iterací - konvergentní.

2. Matrice původního systému nemá vždy diagonální převahu. V takových případech může být systém převeden. Rovnice, které splňují podmínky konvergence, zůstávají nedotčeny a při neuspokojivé tvorbě lineárních kombinací, tj. vynásobte, odečtěte, přidávejte vzájemné rovnice, dokud nebude dosažen požadovaný výsledek.

Pokud ve výsledném systému na hlavní diagonále existují nepohodlné koeficienty, pak do obou částí takové rovnice přidejte termíny formuláře c_i* x_i, jejichž znaky se musí shodovat se znaky diagonálních prvků.

3. Transformace získaného systému do normální podoby:

x^-= beta-^-+alfa- * x^-

To lze provést několika způsoby, například následujícím způsobem: z první expresní rovnice x₁ přes jiné neznámé, od druhého₂, od třetího₃ a tak dále. Používáme následující vzorce:

alfa-_ij= - (a_ij / a_(ii)

_i= b_i/ a_ii
Musíme znovu ověřit, zda výsledný systém normálního tvaru odpovídá stavu konvergence:

součet- (j = 1) | alfa-_ij| le-1, s i = 1,2, ... n

4. Začneme použít ve skutečnosti metodu postupných aproximací.

x⁽⁰⁾- počáteční aproximaci, kterou vyjádříme x⁽¹⁾, pak x⁽¹⁾ vyjadřujeme x⁽²⁾. Obecný vzorec v maticové podobě vypadá takto:

x⁽ⁿ⁾= beta-^-+alfa- * x^(n-1)

Vypočítáme, dokud nedosáhneme požadovanou přesnost:

max | x_i(k) -x_i(k + 1) le-ε

Takže v praxi analyzujeme metodu jednoduché iterace. Příklad:
Řešení SLAU:

4,5x1-1,7x2 + 3,5x3 = 2
3.1x1 + 2.3x2-1.1x3 = 1
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4 s přesností epsilon- = 10^-3

Uvidíme, zda diagonální prvky převažují v modulu.

Vidíme, že pouze třetí rovnice splňuje podmínku konvergence. První a druhá transformujeme, do první rovnice přidáme druhou:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3

Od třetí odečteme první:

-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2

Původní systém jsme přeměnili na ekvivalentní systém:

7,6x1 + 0,6x2 + 2,4x3 = 3
-2.7x1 + 4.2x2 + 1.2x3 = 2
1,8x1 + 2,5x2 + 4,7x3 = 4

Nyní zredukujeme systém na normální formu:

x1 = 0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2 = 0,4762 + 0,6429x1-0,2857x3
x3 = 0,8511-0,383x1-0,5319x2

Zkontrolujeme konvergenci iteračního procesu:

0,0789 + 0,3158 = 0,3947 le-1
0,6429 + 0,2857 = 0,9286 le-1
0,383 + 0,5319 = 0,9149 le-1, tj. podmínka je splněna.

0,3957
Počáteční aproximace x⁽⁰⁾ = 0,4762
0,8511

Nahrazujeme tyto hodnoty v rovnici normální formy, získáváme následující hodnoty:

0,08835
x⁽¹⁾= 0,486793
0,446639

Při nahrazení nových hodnot získáváme:

0,215243
x⁽²⁾= 0,405396
0,558336

Pokračujeme v výpočtech až do okamžiku, kdy přistupujeme k hodnotám, které splňují danou podmínku.

0,18813

x⁽⁷⁾= 0,441091

0,544319

0,188002

x⁽⁸⁾ = 0,44164

0,544428

Zkontrolujte správnost výsledků:

4,5 * 0,1880 -1,7 * 0,441 + 3,5 * 0,544 = 2,0003
3,1 * 0,1880 + 2,3 * 0,441-1,1x * 0,544 = 0,9987
1,8 * 0,1880 + 2,5 * 0,441 + 4,7 * 0,544 = 3,9977

Výsledky získané nahrazením hodnot nalezených v počátečních rovnicích zcela splňují podmínky rovnice.

Jak můžeme vidět, jednoduchá metoda iterace dává poměrně přesné výsledky, ale řešit tuto rovnici, jsme museli strávit spoustu času a to těžkopádné výpočty.