Cramerova metoda a její aplikace

Cramerova metoda je jednou z přesných metod pro řešení systémů lineárních algebraických rovnic (SLAE). Její přesnost je způsobena použitím determinantů matice systému, stejně jako určitými omezeními, která byla stanovena v průběhu důkazu věty.

Systém lineárních algebraických rovnic s koeficienty patřit k, například, množství R - reálná čísla neznámých x1, x2, ..., xn je soubor výrazů

ai2 x1 + ai2 x2 + hellip-ain xn = bi pro i = 1, 2, hellip-, m, (1)

kde aij, bi jsou reálná čísla. Každý z těchto výrazů se nazývá lineární rovnice, aij - koeficienty pro neznámé, dvojzásobné koeficienty rovnic.

Roztok (1) podle n-rozměrný vektor x ° = (x1 °, x2 °, hellip-, Xn ° C), při které substituce do systému pro neznámých X1, X2, ..., xn, každý z řádků v systému se stává nejlepší rovnost.

Systém je považován za společný, pokud má alespoň jedno řešení a je nekompatibilní, pokud se jeho řešení shoduje s prázdnou sadou.

Je třeba připomenout, že s cílem nalézt řešení soustav lineárních rovnic použitím metody Cramer, matricové systémy musí být čtvercové, což v podstatě znamená, že stejný počet neznámých a rovnic v systému.

Abychom mohli použít Cramerovu metodu, co je matice systémy lineárních algebraických rovnic a jejich popis. A za druhé, abychom porozuměli tomu, co se nazývá determinant matice, a poznat dovednosti výpočtu.

Předpokládejme, že vlastníte tyto znalosti. Úžasné! Poté si jen pamatujete vzorce, které určují metodu Cramerovy. Pro zjednodušení zápisu používáme následující poznámku:

• Det je hlavní determinant systémové matice;

• deti je determinant matrice získané z hlavní matice systému, jestliže nahradíme i-tý sloupec matrice sloupcovým vektorem, jehož elementy jsou pravé strany systémů lineárních algebraických rovnic;

• n je počet neznámých a rovnic v systému.

Potom Cramerovo pravidlo pro výpočet i-té složky xi (i = 1, ... n) n-dimenzionálního vektoru x může být zapsáno ve formě

xi = deti / Det, (2).

Det je přísně nulový.

Unikátnost řešení systému, kdy je společně poskytuje stav nerovnosti hlavní determinantu systému na nulu. V opačném případě, pokud součet (XI), čtvercový, striktně pozitivní, pak Slae čtvercová matice je nemožný. K tomu může dojít zejména tehdy, když se alespoň jeden z dětí liší od nuly.

Příklad 1. Řešte trojrozměrný systém LAA pomocí Cramerových vzorců.
x1 + 2x2 + 4x3 = 31,
5 x 1 + x 2 + 2 x 3 = 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Řešení. Napište řádek matice systému po řádku, kde Ai je i-tý řádek matice.
A1 = (1 2 4), A 2 = (5 1 2), A 3 = (3 -1 1).
Kolonka volných koeficientů b = (31 29 10).

Hlavním determinantem systému Det je
Det = A11 A22 A33 A12 A23 A31 + + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12-12 + 2 - 10 = -27.

Pro výpočet det1 použijeme náhradu a11 = b1, a21 = b2, a31 = b3. Pak
de1 = b1 a22 a33 + a12 a23 b3 + a31 b2 a32 - a13 a22 b3 - b1 a32 a23 - a33 b2 a12 = ... = -81.

Podobně, pro výpočet det2, použijeme substituci a12 = b1, a22 = b2, a32 = b3 a podle toho pro výpočet det3 - a13 = b1, a23 = b2, a33 = b3.
Potom můžete zkontrolovat, zda det2 = -108 a det3 = -135.
Podle Cramerovy rovnice nalezneme x1 = -81 / (-27) = 3, x2 = -108 / (-27) = 4, x3 = -135 / (-27) = 5.

Odpověď: x ° = (3,4,5).

Na základě podmínek pro použitelnost tohoto pravidla může být Cramerova metoda řešení lineárních rovnic nepřímo používána, například s cílem prověřit systém pro možný počet řešení v závislosti na hodnotě některého parametru k.

Příklad 2. Určete, jaké hodnoty parametru k nerovnosti | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 |<= 0 má přesně jedno řešení.

Řešení.
Tato nerovnost může být na základě definice modulu funkce splněna, pouze pokud jsou obě výrazy současně nulové. Proto tento problém snižuje nalezení řešení lineárního systému algebraických rovnic

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Řešení tohoto systému je jedinečné, pokud je jeho hlavním určujícím faktorem
Det = k ^ {2} + 1 je nenulový. Je zřejmé, že tato podmínka platí pro všechny reálné hodnoty parametru k.

Odpověď: pro všechny reálné hodnoty parametru k.

K problémům tohoto typu, mnoho praktických problémů z terénu matematiky, fyziky nebo chemie.