Systém nerovností je řešením. Systém lineárních nerovností

Nerovnosti a nerovnosti jsou jednou z témat, která se učí na střední škole v algebře. Na úrovni složitosti není to nejtěžší, protože má jednoduchá pravidla (o nich o něco později). Studenti mohou zpravidla snadno vyřešit systém nerovností. Důvodem je také fakt, že učitelé prostě "školí" své studenty na toto téma. A nemohou to udělat, protože se v budoucnu studuje s využitím jiných matematických veličin a kontroluje se také pro OGE a USE. Ve školních učebnicích je téma nerovností a nerovností podrobně popsána, takže pokud se chystáte studovat, je nejlepší se k nim uchýlit. Tento článek vysvětluje pouze velké materiály a v něm mohou být některé opomenutí.

Koncepce systému nerovností

Pokud se zaměříme na vědecký jazyk, pak můžeme definovat pojem "systém nerovností". Jedná se o matematický model, který představuje několik nerovností. Z tohoto modelu samozřejmě potřebuje řešení, a její schopnost působit jako společný odpověď pro všechny nerovnosti systému navržených v zaměstnání (obvykle v něm a psát, například: „Řešit soustavu nerovností 4 x + 1> 2 a 30 - x > 6 ... "). Nicméně, než se přesuneme k typům a metodám řešení, musíme něco vymyslet.

Systémy nerovností a systém rovnic

Při studiu nového tématu často vznikají nedorozumění. Na jedné straně je vše jasné a spíše chtít začít řešit úkoly, a na druhé straně - chvíle zůstávají v "stínu", ne docela dobře pochopí. Některé prvky znalostí, které již byly získány, mohou být také propojeny s novými. V důsledku tohoto "překrývání" často dochází k chybám.

Proto než začneme analyzovat naše téma, měli bychom si vzpomenout na rozdíly mezi rovnicemi a nerovnostmi, jejich systémy. K tomu je třeba znovu vysvětlit, jaké jsou matematické pojmy. Rovnice je vždy rovnost, a vždy je něco rovného (v matematice je toto slovo označeno znaménkem "="). Nerovnost je model, ve kterém je jedno nebo více, nebo méně než jiné, nebo obsahuje prohlášení, že nejsou stejné. V prvním případě je tedy vhodné hovořit o rovnosti a ve druhém případě je zřejmé, že z titulu může vyplývat nerovnost původních údajů. Systémy rovnic a nerovností se prakticky neliší od sebe a metody jejich řešení jsou stejné. Jediným rozdílem je, že v prvním případě používáme rovnost, zatímco v druhé nerovnosti se používá.

Typy nerovností

Existují dva typy nerovností: číselné a neznámé proměnné. První typ je množstvím (číslo), nerovné k sobě navzájem, například 8> 10. Druhé - této nerovnosti, který obsahuje neznámé proměnné (označený písmenem abecedy, obvykle X). Tato proměnná vyžaduje její zjištění. V závislosti na tom, kolik z nich, v matematickém modelu významných nerovností s jednou (tvoří soustavu nerovností s jednou proměnnou) nebo více proměnných (tvoří soustavu nerovností s více proměnných).

Poslední dva typy, pokud jde o stupeň jejich konstrukce a úroveň složitosti řešení, jsou rozděleny na jednoduché a složité. Jednoduché jsou také nazývány lineárními nerovnostmi. Na druhou stranu jsou rozděleny na přísné a nestranné. Striktní výslovně "říkají", že jedna hodnota musí být nutně méně nebo více, takže je to ve své čisté podobě nerovnost. Můžeme uvést několik příkladů: 8 x + 9> 2, 100 - 3 x> 5 atd. Non-jednoduché zahrnují rovnost. To znamená, že jedna hodnota může být větší než nebo rovna jiné veličiny (znaménko „ve-“) nebo méně než nebo rovno jiné veličiny (znaménko „mimorezortní“). Další lineární nerovnosti v proměnné není v kořenovém adresáři na náměstí, není dělitelné ničím, což je důvod, proč se jim říká „jednoduchý“. Mezi složité patří neznámé proměnné, jejichž zjištění vyžaduje více matematických operací. Ty se často nacházejí ve čtvercovém, kostkách nebo pod kořenem může být modulární, špalek, frakční, atd. Ale protože naším úkolem je pochopit, že je třeba pro řešení systémů nerovností, hovoříme o systému lineárních nerovností. Nicméně předtím byste měli říct pár slov o jejich vlastnostech.

Vlastnosti nerovností

Následující ustanovení se vztahují na vlastnosti nerovností:

1. Označení nerovnosti se změní, pokud se operace používá k obrácení stran (například pokud t₁ le-t₂, pak t₂ ge-t₁).
2. Obě části nerovnosti umožňují přidávat na stejné číslo (například pokud t₁ le-t₂, pak t₁ + počet le-t₂ + číslo).
3. Dvě nebo více nerovností, které mají znaménko jednoho směru, dovolují přidávat levou a pravou stranu (například pokud t₁ge- t₂, t₃ge- t₄, pak t₁ + t₃ge- t₂ + t₄).
4. Obě části nerovnosti umožňují násobení nebo dělení stejným kladným číslem (například pokud t₁ le-t₂ a číslo le-0, pak číslo middot-t₁ ge-číslo middot-t₂).
5. Dvě nebo více nerovností, které mají pozitivní výrazy a znaménko jednoho směru, umožňují, aby se jeden sám sebe rozmnožil (například pokud t₁ le-t₂, t₃ le-t₄, t₁, t₂, t₃, t₄ ge-0 pak t₁ middot-t₃ le-t₂ middot-t₄).
6. Obě části nerovnosti umožňují násobení nebo dělení stejným záporným číslem, změna znaménka nerovnosti (například pokud t₁ le-t₂ a číslo le-0, pak číslo middot-t₁ ge-číslo middot-t₂).
7. Všechny nerovnosti mají vlastnost přechodu (například pokud t₁ le-t₂ a t₂ le-t₃, pak t₁ le-t₃).

Nyní, po prozkoumání hlavních ustanovení teorie týkající se nerovností, můžeme přistoupit přímo k úvahám o pravidlech pro řešení jejich systémů.

Řešení systémů nerovností. Obecné informace. Řešení

Jak bylo uvedeno výše, řešením je hodnota proměnné, která je vhodná pro všechny nerovnosti daného systému. Řešením systémů nerovností je implementace matematických akcí, které nakonec vedou k řešení celého systému nebo dokazují, že nemá žádné řešení. V tomto případě řekněte, že proměnná odkazuje na prázdnou číselnou množinu (napsaná takto: písmeno označující proměnnou isin- (znamení "patří") ø (znaménko "prázdná sada"), například x isin- ø (přečtěte si takto: "Proměnná" x "patří do prázdné sady"). Existuje několik způsobů, jak vyřešit systémy nerovností: grafické, algebraické, způsob substituce. Stojí za zmínku, že se vztahují k matematickým modelům, které mají několik neznámých proměnných. V případě, že existuje pouze jedna, je vhodná metoda intervalů.

Grafická metoda

Umožňuje vyřešit systém nerovností s několika neznámými hodnotami (od dvou a vyšších). Díky této metodě je systém lineárních nerovností řešen poměrně snadno a rychle, proto je to nejběžnější metoda. Je to proto, že konstrukce grafu snižuje množství písemných matematických operací. Zvláště je příjemné, aby se trochu odtrhlo od rukojeti, zvednout tužku s pravítkem a pokračovat v dalších činnostech s jejich pomocí, když se hodně práce dělá a chtějí malou rozmanitost. Tato metoda se však nelíbí skutečností, že se musíte zbavit úkolu a přepnout svou duševní činnost na kresbu. Nicméně je to velmi účinný způsob.

K vyřešení systému nerovností pomocí grafické metody musí být všechny podmínky každé nerovnosti přeneseny na levou stranu. Znaky jsou obráceny, vpravo by měly být napsány nula, pak musíte zapsat každou nerovnost samostatně. V důsledku toho nerovnosti přinášejí funkce. Potom můžete získat tužku a pravítko: nyní bude nutné nakreslit graf každé přijaté funkce. Celá sada čísel, která bude v intervalu mezi nimi, bude řešením systému nerovností.

Algebraická metoda

Umožňuje řešit systém nerovností dvěma neznámými proměnnými. Nerovnost také musí mít stejné znaménko nerovnosti (např. E. musí obsahovat, buď pouze znak „více“, nebo jen znak „menší než“ a tak dále.) Přes jeho omezení, tato metoda je také složitější. Aplikuje se ve dvou fázích.

První zahrnuje záchranu jedné z neznámých proměnných. Nejprve je musíte zvolit, poté zkontrolovat přítomnost čísel před touto proměnnou. Pokud tomu tak není (pak je proměnná bude vypadat jako jediného písmene), potom se nic nezmění, pokud je (druh proměnné, například, takže - 5R a 12y), pak je třeba se přesvědčit, že v každé nerovnosti čísla před vybrané proměnné byl stejné. K tomu, násobit každý člen nerovnosti společný faktor, například, v případě, že první nerovnost zaznamenané 3R, 5R a druhý, je nutné, aby všechny členy prvního nerovnosti vynásobené 5, a druhý - na 3. Get 15R a 15R, v daném pořadí.

Druhá fáze řešení. Potřebujeme přenést levou stranu každé nerovnosti na pravou stranu, změnou znaménka každého výrazu na pravý, naopak, na nulu. Pak přichází nejzajímavější: zbavit se zvolené proměnné (jiným způsobem se nazývá "zkrácení") při skládání nerovností. Získáváme nerovnost s jednou proměnnou, která musí být vyřešena. Potom byste měli dělat totéž, pouze s jinou neznámou proměnnou. Získané výsledky budou řešením systému.

Náhradní metoda

Umožňuje vyřešit systém nerovností, pokud je to možné, zadat novou proměnnou. Obvykle se tato metoda používá, když se neznámá proměnná v jednom pojmu nerovnosti zvýší na čtvrté síly a v druhém termínu má čtverec. Tato metoda je proto zaměřena na snížení stupně nerovností v systému. Nerovnost vzorku x⁴ - x² - 1 le-0 tímto způsobem je řešeno následovně. Je zavedena nová proměnná, např. T. Napíšu: "Nechť t = x²", pak je model přepsán v nové podobě. V našem případě dostaneme t² - t-1 le-0. Tato nerovnost musí být vyřešena metodou intervalů (o to trochu později), pak opět zpět k proměnné X, pak dělat totéž s jinou nerovností. Získané odpovědi budou řešením systému.

Metoda intervalů

Jedná se o nejjednodušší způsob, jak vyřešit systémy nerovností, a zároveň je univerzální a rozšířený. Používá se na střední škole i ve vysokoškolském vzdělávání. Jeho podstatou spočívá ve skutečnosti, že student hledá intervaly nerovnosti na číselné čáře, která je nakreslena v zápisníku (to není graf, ale jen obyčejný řádek s čísly). Tam, kde se protínají intervaly nerovností, bylo nalezeno řešení systému. Chcete-li použít metodu interval, musíte provést následující kroky:

1. Všechny podmínky každé nerovnosti jsou vedeny na levé straně s obrácením znamení (nula je zapsána vpravo).
2. Nerovnosti jsou vypsány odděleně, rozhodnutí každého z nich je určeno.
3. Na číselné čáře jsou křižovatky nerovností. Všechna čísla na těchto křižovatkách budou řešením.

Který způsob použití?

Je zřejmé, že ten, který se zdá nejvíce snadné a pohodlné, ale existují případy, kdy úkoly vyžadují určitou metodu. Častěji než ne napsáno, že je třeba řešit buď prostřednictvím plánu nebo intervalech. Algebraický Způsob substituce a používá jen zřídka nebo nepoužívá vůbec, protože jsou složité a matoucí, a také větší použitelnost pro řešení soustavy rovnic, spíše než nerovnosti, takže by měly být použity k tomu grafy a intervaly. Přinášejí srozumitelnost, která neumožňuje pouze efektivní a rychlé provádění matematických operací.

Pokud něco nefunguje

Při studiu tématu algebry mohou samozřejmě existovat problémy s pochopením. A to je normální, protože náš mozek je navržen tak, aby nebyl schopen pochopit složitý materiál najednou. Často je třeba znovu přečíst odstavec, pomoci učiteli nebo cvičit úlohu při řešení typických úkolů. V našem případě vypadají například takto: "Řešení systému nerovností 3 x + 1 ge-0 a 2 x-1> 3. Osobní touha, pomoc cizím lidem a praxe pomáhají porozumět jakémukoli složitému tématu.

Změny?

A také velmi dobře hodí reshebnik, ne podvádění úkoly a svépomoc. Ty lze nalézt v systému nerovností s rozhodnutím podívat se na ně (jako šablony), aby se pokusili pochopit, jak autor řešení vypořádal s úkolem, a zkuste provést jako nezávislým způsobem.

Závěry

Algebra je jedním z nejobtížnějších předmětů ve škole. No, co s tím můžu dělat? Matematika byla vždy toto: dává se někomu snadno, ale někomu s obtížemi. Ale v každém případě je třeba si uvědomit, že obecný vzdělávací program je postaven tak, aby se s ním mohl každý student zabývat. Kromě toho musíme mít na paměti velké množství asistentů. Některé z nich byly zmíněny výše.