Logaritmy: příklady a řešení

Jak je dobře známo, při vynásobení výrazů silami se vždy přidávají jejich exponenty (a^b

Definice v matematice

Logaritmus je výrazem formy: log_ab = c, to znamená, že logaritmus jakékoliv nezáporné celé číslo (tj. jakékoliv pozitivní), „b“ na své základně „a“ je považován za stupeň „c“, která je nutná k vytvoření základní „a“, „B“, aby se získala hodnota výsledků. Pojďme analyzovat logaritmus na příkladech, řekněme, existuje logový výraz₂8. Jak najít odpověď? Je to velmi jednoduché, musíte najít stupeň, aby získal 2 z požadovaného stupně 8. Po provedení některých výpočtů ve vaší mysli získáte číslo 3! A je to pravda, protože 2 v síle 3 dává číslo 8 v odpovědi.

Odrůdy logaritmu

Pro mnoho žáků a studentů, toto téma se zdá složitá a matoucí, ale ve skutečnosti, logaritmy nejsou tak hrozné, hlavní věc - aby pochopili obecný význam ně vzpomenout jim vlastnosti a některá pravidla. Existují tři samostatné typy logaritmických výrazů:

1. Přirozený logaritmus je ln a, kde základem je číslo Euler (e = 2,7).
2. Desetinný logaritmus je lg a, kde základna je číslo 10.
3. Logaritmus libovolného čísla b na základně a> 1.

Každá z nich je řešena standardním způsobem, včetně zjednodušení, redukce a následné redukce na jeden logaritmus pomocí logaritmických vět. Chcete-li získat správné hodnoty logaritmů, pamatujte si jejich vlastnosti a pořadí jejich akcí při jejich řešení.

Pravidla a některá omezení

V matematice existuje několik pravidel - omezení, která jsou přijímána jako axiom, to znamená, že nejsou předmětem diskuse a jsou pravdivé. Například nemůžete rozdělit čísla na nulu a je stále nemožné extrahovat kořen dokonce stupně od záporných čísel. Logaritmy mají také vlastní pravidla, po nichž se člověk může snadno naučit pracovat i s dlouhými a velkými logaritmickými výrazy:

• báze „a“ musí být vždy větší než nula, a nemusí být roven 1, jinak by výraz ztratí svůj význam, protože „1“ a „0“ na jakékoli úrovni je vždy rovna jejich hodnoty;
• pokud a> 0, pak a^b0, ukáže se, že "c" by mělo být větší než nula.

Jak řešit logaritmy?

Například při zadání odpovědi na rovnici 10^x= 100. Je to velmi jednoduché, je třeba zvolit určitý stupeň, který je zvýšen na číslo deset, dostaneme 100. Je to, samozřejmě, kvadratický stupeň! 10²= 100.

A nyní pojmenujte tento výraz ve formě logaritmického výrazu. Získáváme protokol₁₀100 = 2. Při řešení logaritmu se všechny akce prakticky shromažďují, aby se zjistilo, do jaké míry musí být zavedena logaritmus, aby bylo dosaženo daného čísla.

Chcete-li přesně určit hodnotu neznámého stupně, musíte se naučit pracovat s tabulkou stupňů. Vypadá to takto:

Jak uvidíte, některé exponenty lze intuitivně uhodnout, pokud existuje technická orientace a znalost násobící tabulky. U velkých hodnot je však požadována tabulka stupňů. Může být použita i těmi, kteří vůbec nerozumějí v komplexních matematických tématech. Levý sloupec obsahuje čísla (základ a), horní řádek čísel je hodnota stupně c, ke kterému je číslo a zvýšeno. Na průsečíku v buňkách jsou hodnoty čísel, která jsou odpovědí (a^c= b). Vezměte například první buňku s číslem 10 a vložte ji do čtverce, získáme hodnotu 100, která je uvedena na průsečíku našich dvou buněk. Všechno je tak jednoduché a snadné, že i pravý humanista pochopí!

Rovnice a nerovnosti

Ukazuje se, že za určitých podmínek je exponentem logaritmus. V důsledku toho mohou být všechny matematické numerické výrazy psány ve formě logaritmické rovnosti. Například 3⁴= 81 může být zapsáno ve formě logaritmu čísla 81 se základem 3 rovným čtyřem (log₃81 = 4). Pro záporné pravomoci jsou pravidla stejná: 2^-5= 1/32 zapisujeme ve formě logaritmu, získáme log₂ (1/32) = -5. Jedna z nejzajímavějších částí matematiky je téma "logaritmů". Příklady a řešení rovnic budou zvažovány níže, bezprostředně po prozkoumání jejich vlastností. A teď se podívejme, jak nerovnosti vypadají a jak je odlišit od rovnic.

Následuje následující výraz: log₂(X-1)> 3 - to je logaritmická nerovnost, jako neznámá hodnota „X“ je logaritmus. A také ve výrazu jsou porovnávána dvě množství: logaritmus požadovaného počtu na základě dvou je větší než číslo tři.

Nejdůležitější rozdíl mezi logaritmických rovnic a nerovností, že rovnice s logaritmy (například - logaritmu₂x = radic-9) znamená v odpovědi jednu nebo několik definovaných číselných hodnot, zatímco při řešení nerovnosti jsou definovány jak rozsah přípustných hodnot, tak body nespojitosti této funkce. V důsledku toho odpověď není jednoduchá sada jednotlivých čísel jako v reakci rovnice, ale souvislá série nebo množina čísel.

Základní teorémy o logaritmech

Při řešení primitivních úloh pro zjištění hodnot logaritmu nemusí být jeho vlastnosti známy. Nicméně, pokud jde o logaritmických rovnic a nerovností v první řadě, je třeba jasně pochopit a uvést do praxe všechny základní vlastnosti logaritmů. Později se seznámíme s příklady rovnic, nejprve podrobněji analyzujeme jednotlivé vlastnosti.

1. Základní identita je následující: a^logaB= B. Platí pouze tehdy, jestliže a je větší než 0, nikoliv jedna a B je větší než nula.
2. Logaritmus produktu lze znázornit v následujícím vzorci: log_d(s₁* s_{2) =} log_ds₁ + log_ds_2. V tomto případě je povinná podmínka: d, s₁ a s₂ > 0-ane-1. Pro tento vzorec logaritmu můžeme doložit příklady a řešení. Předpokládejme, že log_as₁ = f₁ a log_as₂ = f₂, pak a^f1= s₁, a^f2= s_2. Získáváme to₁* s₂ = a^f1* a^f2= a^{f1 + f2} (vlastnosti pravomocí) a pak definice: log_a(s₁* s₂) = f₁+ f₂ = log_as1 + log_as_2, což mělo být prokázáno.
3. Logaritmus kvocientu je: log_a(s_{1 /}s₂) = log_as₁- log_as_2.
4. Věta ve tvaru vzorce má následující podobu: log_a^q bⁿ = protokol n / q_ab.

Tento vzorec se nazývá "vlastnost logaritmu". To se podobá vlastnostem obyčejných stupňů a není překvapující, protože všechny matematiky jsou založeny na logických postulátech. Podívejme se na důkaz.

Předpokládejme, že log_ab = t, získáme a^t= b. Zvedáme obě strany na výkon m: a^tn = bⁿ;

ale protože a^tn= (a^q).^{nt / q} = bⁿ, proto log_a^q bⁿ = (n * t) / t, pak log_a^q bⁿ = protokol n / q_ab. Věta je prokázána.

Příklady problémů a nerovností

Nejběžnější typy problémů na téma logaritmy jsou příklady rovnic a nerovností. Najdeme je téměř ve všech problémových knihách a jsou součástí povinné části mathových zkoušek. Chcete-li vstoupit na univerzitu nebo přijmout vstupní testy v matematice, musíte vědět, jak správně řešit tyto úkoly.

Bohužel neexistuje jediný plán nebo schéma pro řešení a určení neznámé hodnoty logaritmu, ovšem určitá pravidla mohou být aplikována na každou matematickou nerovnost nebo logaritmickou rovnici. Především je nutné zjistit, zda je možné zjednodušit výraz nebo vést k obecnému názoru. Pokud používáte své vlastnosti správně, můžete zjednodušit dlouhé logaritmické výrazy. Poznejme je.

Při řešení logaritmických rovnic by mělo určit, jaký druh logaritmu před námi: příklad výrazu může obsahovat přirozený logaritmus nebo desetinné.

Zde jsou některé příklady desítkové logaritmy: ln100, ln1026. Jejich řešení se snižuje na skutečnost, že je nezbytné určit stupeň, ve kterém bude základna 10 rovna 100 a 1026. Pro řešení přirozených logaritmů je třeba aplikovat logaritmické identity nebo jejich vlastnosti. Podívejme se na příklady řešení logaritmických problémů různých typů.

Jak používat vzorce logaritmu: s příklady a řešeními

Zvažujeme příklady použití základních věty o logaritmech.

1. Vlastnost logaritmu produktu může být použita v úlohách, kde je nutné rozložit velkou hodnotu čísla b na jednodušší faktory. Například log₂4 + log₂128 = log₂(4 * 128) = log₂512. Odpověď je 9.
2. log₄8 = log_2² 2³ = 3/2 log₂2 = 1,5 - jak vidíte, při použití čtvrté vlastnosti stupně logaritmu bylo možné na první pohled vyřešit složitý a nevyřešitelný výraz. Je nutné pouze rozložit základnu na násobitele a poté vzít hodnoty stupně od znaménka logaritmu.

Přiřazení z USE

Logaritmy se často nacházejí v přijímacích zkouškách, zejména v mnoha logaritmických problémech v USE (státní zkouška pro všechny absolventy škol). Obvykle jsou tyto úkoly jsou přítomny nejen v části A (nejjednodušší testovací zkoušky), ale i v části C (nejsložitější a objemná úloha). Zkouška znamená přesné a dokonalé znalosti tématu "Přírodní logaritmy".

Příklady a řešení problémů jsou převzaty z oficiálních variant USE. Podívejme se, jak jsou tyto úkoly řešeny.

Dané log₂(2x-1) = 4. Řešení:
přepište výraz a mírně jej zjednodušíte pomocí protokolu₂(2x-1) = 2², podle definice logaritmu zjistíme, že 2x-1 = 2⁴, tedy 2x = 17-x = 8,5.

Níže uvádíme několik doporučení, po kterých můžete snadno vyřešit všechny rovnice obsahující výrazy, které jsou pod znakem logaritmu.

• Všechny logaritmy nejlépe vedou k jednomu důvodu, takže řešení není těžkopádné a matoucí.
• All projevu ve znamení logaritmu je zobrazen jako pozitivní, tak při vytváření multiplikační exponent výraz, který stojí ve znamení logaritmu, a jako svého vzniku zůstává pod logaritmus výrazu musí být kladná.