Vlastnosti logaritmu nebo překvapivé - další ...

Potřeba výpočtu se okamžitě objevila u člověka, jakmile se mu podařilo kvantifikovat okolní objekty. Lze předpokládat, že logika kvantitativního hodnocení postupně vedla k potřebě výpočtů, jako je "dodatečné odečtení". Tyto dvě elementární akce jsou zpočátku základní - všechny ostatní manipulace s čísly, známé jako násobení, rozdělení, exponentiace a tak dále. - Jedná se o jednoduchou "mechanizaci" některých výpočetních algoritmů, které jsou založeny na nejjednodušší aritmetice - "add-subtract". Ať už to bylo cokoli, tvorba algoritmů pro výpočet je velkým úspěchem myšlení a jejich autoři navždy opouštějí svůj vzhled v paměti lidstva.

Před šesti nebo sedmi stoletími v oblasti námořní navigace a astronomie se zvýšila potřeba velkých objemů výpočtů, což není překvapující, protože to je středověk známý pro rozvoj navigace a astronomie. V přesném souladu s výrazem "potřeba vytváří větu" několika matematiků, vznikla myšlenka - nahradit velmi namáhavou operaci násobení dvou čísla (myšlenka nahrazení rozdělení odčítáním byla zvažována dvojím způsobem). Pracovní verze nového systému výpočtů byla popsána v roce 1614 v práci John Napier s velmi pozoruhodným názvem "Popis úžasné tabulky logaritmů". Jistě, další vylepšení nového systému pokračovalo, ale základní vlastnosti logaritmu byly sestaveny společností Nepper. Myšlenka výpočetního systému pomocí logaritmů byla, že pokud se vytvoří určitá řada čísel geometrická progrese, pak jejich logaritmy také tvoří progres, ale aritmetický. Za přítomnosti předkompilovaných tabulek byla nová výpočtová technika zjednodušena výpočty a první logaritmický pravítko (1620 rok) se stal pravděpodobně první starou a velmi účinnou kalkulačkou - nepostradatelným inženýrským nástrojem.

Pro průkopníky je cesta vždy nerovná. Zpočátku byla základna logaritmu provedena neúspěšně a přesnost výpočtů nebyla vysoká, ale již v roce 1624 byly publikovány revidované tabulky s desetinnou základnou. Vlastnosti logaritmů jsou odvozeny od v podstatě stanovení: logaritmus b - C je číslo, které, je-li stupeň logaritmu základny (číslo A), což vede k řadě b. Možnost klasický záznam vypadá takto: Loga (b) = C -, které zní takto: b logaritmu, k základně A je počet C. Za účelem provedení akce za použití ne zcela normální, logaritmické číslo, musíte vědět, soubor pravidel, která je známá jako „vlastnosti logaritmy ". V zásadě mají všechna pravidla společný důsledek - jak přidat, odčítat a transformovat logaritmy. Nyní se naučíme, jak to udělat.

Logaritmická nula a jedna

1. logA (1) = 0, logaritmus čísla 1 se rovná 0 z jakéhokoli důvodu - je to přímý důsledek zvýšení počtu na nulový výkon.

2. logA (A) = 1, logaritmus stejného čísla se základnou je 1 je také dobře známá pravda pro libovolné číslo v prvním stupni.

Přidání a odečítání logaritmů

3. logA (m) + logA (n) = logA (m * n) - součet logaritmu několika čísel se rovná logaritmu jejich produktu.

4. loga (m) - loga (n) = loga (m / n) - rozdíl logaritmů čísel, podobně jako předchozí, je rovna logaritmu poměru těchto čísel.

5. logA (1 / n) = - logA (n), logaritmus inverzního čísla se rovná logaritmu tohoto čísla se znaménkem mínus. Je snadné vidět, že je to výsledek předchozího výrazu 4 pro m = 1.

Je snadné vidět, že pravidla 3-5 předpokládají v obou částech rovnosti stejnou základnu logaritmu.

Exponenty v logaritmických výrazech

6. logA (mn) = n * logA (m), logaritmus počtu n je roven logaritmu tohoto čísla vynásobenému exponentem stupně n.

7. log (Ac), (b) = (1 / c) * loga (b), se čte jako „logaritmu B, v případě, že základna má tvar Ac, rovnající se součinu logaritmus se základem B a počet reverzní c».

Vzorec pro změnu základny logaritmu

8. loga (b) = - logC (b) / logc (A), logaritmus B do báze A v místě přechodu k základní C, se vypočítá jako podíl na logaritmus se základem b C a C je logaritmus se základem číslo rovnající se předchozí báze A, vyznačující se tím, se znaménkem mínus.

Výše uvedené logaritmy a jejich vlastnosti umožňují zjednodušit výpočet velkých číselných polí s řádnou aplikací, čímž se zkracuje doba numerických výpočtů a poskytne se přijatelná přesnost.

Není vůbec překvapující, že ve vědě a technologii se vlastnosti logaritmu čísel používají pro přirozenější reprezentaci fyzických jevů. Například je všeobecně známo použití relativních hodnot - decibelů pro měření intenzity zvuku a světla ve fyzice, absolutní hvězdné magnitudy v astronomii, Hodnota pH v chemii atd.

Účinnost logaritmické výpočty snadno zkontrolovat, zda přijmout, například, a násobit pětimístné číslo 3 „ručně“ (ve sloupci), pomocí tabulky logaritmů na jeden list papíru a logaritmické pravítko. Stačí říci, že ve druhém případě budou výpočty trvat asi 10 sekund. Co je nejvíce překvapující je, že v moderní kalkulaci tyto výpočty nebudou trvat déle.