Geometrická progrese a její vlastnosti

Geometrická progrese je důležitá v matematice jako věda a v aplikovaném smyslu, protože má extrémně široký rozsah, dokonce iv vyšší matematika, řekněme v teorii série. První informace o vývoji nás dosáhly ze starověkého Egypta, a to zejména ve formě známého úkolu z papyru Rhindu o sedmi osobách majících sedm koček. Variance tohoto úkolu byly opakovaně opakovaně v jiných časech v jiných zemích. Dokonce i velký Leonardo z Pise, známý jako Fibonacci (XIII. Století), se k ní obrátil ve své "Knih Abaku".

Takže geometrický vývoj má dávnou historii. To představuje číselnou sekvenci s nenulovou prvního členu, a každý další, počínaje druhým je určen vynásobením předchozí opakování vzorec na konstantní nenulové číslo, které se nazývá jmenovatel progrese (obvykle označený pomocí dopis q).
Je zřejmé, že to může být nalezeno dělením každého po sobě jdoucího člena sekvence předchozím, tj. Z 2: z 1 = ... = z n: z n-1 = .... Proto pro určení postupu (z n) stačí, že je známa hodnota jeho prvního termínu y 1 a jmenovatele q.

Předpokládejme například, že z 1 = 7, q = - 4 (q < 0), získáme následující geometrický postup: 7, - 28, 112, - 448, .... Jak vidíme, získaná sekvence není monotónní.

Připomeňme si, že libovolná sekvence je monotonická (zvyšující se / klesající), když každá z jejích po sobě jdoucích pojmů je větší než / menší než předchozí. Například sekvence 2, 5, 9, ... a -10, -100, -1000, ... jsou monotónní, z nichž druhá je sestupná geometrická progrese.

V případě, kdy je q = 1, v postupu jsou všechny termíny rovny a nazývá se konstantní.

Sekvence byla progrese tohoto typu, musí splňovat následující nutné a postačující podmínkou, a to: od druhého, každý z jeho členů by měla být geometrický průměr sousedních členů.

Tato vlastnost nám dovoluje najít libovolné termíny postupu dvou známých blízkých.

N-tý termín geometrické progrese lze snadno nalézt ze vzorce: z n = z 1 * q ^ (n-1), známe první termín z 1 a jmenovatele q.

Od té doby číselné pořadí má součet, několik jednoduchých výpočtů nám poskytne vzorec, který nám umožní vypočítat součet prvních termínů postupu, a to:

S n = - (z n * q - z 1) / (1 - q).

Výměna hodnotu vzorce její exprese z n z 1 * q ^ (n-1), aby se získala druhá sumární vzorec progrese: s n = - z1 * (q ^ n - 1) / (1 - Q).

Stojí za pozornost následující zajímavá skutečnost: jílová tableta nalezená během výkopů Starobylý Babylon, který pochází z VI. BC, pozoruhodně obsahuje součet 1 + 2 + 22 + ... + 29, rovnající se 2 v desátém stupni mínus 1. Řešení tohoto jevu ještě nebylo nalezeno.

Zaznamenáváme ještě jednu vlastnost geometrického postupu - konstantní produkt jeho pojmů, rozmístěný ve stejné vzdálenosti od konců sekvence.

Zvláštní důležitost z vědeckého hlediska je pojem nekonečného geometrického postupu a výpočet jeho součtu. Za předpokladu, že (y n) je geometrický vývoj s jmenovatelem q, který splňuje podmínku | q |< 1, pak jeho součet je limit, ke kterému souvisí součet jeho prvních termínů, které jsou nám známy, s neomezeným nárůstem n, tj. Když se blíží k nekonečnu.

Najděte tuto částku na konci pomocí vzorce:

S n = y 1 / (1 - q).

A jak ukázala praxe, za zdánlivou jednoduchostí tohoto pokroku je skrytý obrovský potenciál. Například pokud budeme vytvářet posloupnost čtverců následujícím algoritmem, spojujícím středy boček předchozího, pak jejich oblasti tvoří nekonečný geometrický průběh s jmenovatelem 1/2. Stejný průběh tvoří oblast trojúhelníků, které jsou získány v každé fázi výstavby a její součet se rovná ploše původního čtverce.