Jak dokázat, že sekvence konverguje? Základní vlastnosti konvergentních sekvencí

Pro mnoho lidí je matematická analýza jen sbírkou nepochopitelných čísel, odznaků a definic, daleko od skutečného života. Svět, ve kterém existujeme, však stojí na číselných vzorcích, jejichž identifikace pomáhá nejen poznat okolní svět a vyřešit složité problémy, ale také zjednodušit každodenní praktické úkoly. Co znamená matematik, když říká, že číselná sekvence konverguje? To je třeba podrobněji diskutovat.

Co je nepostradatelné?

Představte si, že matryoshkas, které jsou umístěny jeden v druhém. Jejich rozměry, psané ve formě čísel, počínaje větším a končím menším, tvoří posloupnost. Pokud si představujete nekonečný počet takových jasných čísel, výsledná série bude fantasticky dlouhá. Jedná se o konvergentní číselnou sekvenci. A to má tendenci k nule, protože velikost každé další hnízdo panenka, katastrofálně klesající, se postupně změní na nic. Proto je snadné vysvětlit: co je nekonečné malý.

Podobným příkladem může být cesta, která se rozkládá do vzdálenosti. A vizuální rozměry vozu pohybující se po něm od pozorovatele, postupně se zmenšují, se změní na beztvarý bod, který se podobá bodu. Takže stroj, jako předmět, který se pohybuje neznámým směrem, se stává nekonečně malým. Parametry tohoto těla nikdy nebudou nulové v doslovném smyslu slova, ale vždy mají tuto hodnotu v konečném limitu. Proto se tato posloupnost opět sbližuje na nulu.

Všechno počítáme

Představte si nyní světovou situaci. Lékař předepsal přípravek, který užívá lék, počínaje deseti kapkami denně a přidáním dalších dvou v každý následující den. A tak lékař doporučil, aby pokračoval, dokud obsah lékové bubliny, jehož objem je 190 kapek, vyčerpá. Z výše uvedeného vyplývá, že počet takových, namalovaných na dnech, bude tvořit další číselné řady: 10, 12, 14 a tak dále.

Jak zjistit čas celého kurzu a počet členů sekvence? Zde můžete samozřejmě spočítat kapky primitivním způsobem. Je však mnohem jednodušší, s přihlédnutím k pravidelnosti, použít vzorec součtu aritmetického postupu s krokem d = 2. A s použitím takové metody je zřejmé, že počet pojmů číselné řady je 10. V tomto případě je₁₀ = 28. Číslo člena udává počet dnů užívání léku a 28 odpovídá počtu kapek, které by pacient měl konzumovat v poslední den. Probíhá tato posloupnost? Ne, protože navzdory skutečnosti, že je omezena zespodu o 10 a od výše - 28, taková číselná řada nemá žádný limit, na rozdíl od předchozích příkladů.

Jaký je rozdíl?

Pokusme se nyní vyjasnit: když se číselná řada ukáže být konvergentní sekvencí. Definice tohoto druhu, jak vyplývá z výše uvedeného, ​​je přímo spojena s pojmem konečného limitu, jehož přítomnost odhaluje podstatu této otázky. Takže jaký je základní rozdíl mezi výše zmíněnými příklady? A proč ve druhém z nich číslo 28 nemůže být považováno za hranici číselné řady X_n = 10 + 2 (n-1)?

Chcete-li objasnit tuto otázku, zvažte další sekvenci danou níže uvedeným vzorcem, kde n patří do množiny přirozených čísel.

Tato komunita členů je množinou obyčejných zlomků, jejichž čitatel je 1 a jmenovatel se neustále zvyšuje: 1, frac12- ...

Navíc každý po sobě jdoucí zástupce této série na místě na číselné čáře stále více přiblíží 0. A to znamená, že existuje sousedství, kde se body nudí kolem nuly, což je limit. A čím blíže jsou, tím blíže soustředí se na číselnou čáru. A vzdálenost mezi nimi je dramaticky snížena, čímž se změní na nekonečně malý. To je znamení, že se posloupnost sbližuje.

Podobně jsou barevné obdélníky znázorněné na obrázku, když jsou odstraněny v prostoru, vizuálně složitější, přičemž hypotetický limit se stává zanedbatelným.

Nekonečně velké sekvence

Po analýze definice konvergentní sekvence se nyní obráťte na opačné příklady. Mnoho z nich bylo od doby dávno známé. Nejjednodušší varianty divergentních sekvencí jsou série přirozených a sudých čísel. Oni jsou nazýváni nekonečně velkým jiným způsobem, protože jejich členové, neustále rostoucí, se stále více blíží k pozitivnímu nekonečnu.

Příklady takových může být jakýkoli z aritmetických a geometrických postupů s krokem a jmenovatelem větší než nula. Odlišné sekvence jsou kromě toho považovány za číselné řady, které vůbec nemají žádný limit. Například X_n= (-2)^n-1.

Fibonacci sekvence

Praktické využití výše zmíněných číselných řad pro lidstvo je nepochybné. Existuje však spousta dalších nádherných příkladů. Jednou z nich je sekvence Fibonacci. Každý z jeho členů, který začíná jednotkou, je součtem předchozích. První dva jeho zástupci jsou 1 a 1. Třetí 1 + 1 = 2, čtvrtý 1 + 2 = 3, pátý 2 + 3 = 5. Dále podle stejné logiky následují čísla 8, 13, 21 a tak dále.

Tento počet čísel se zvyšuje bez omezení a nemá konečný limit. Má však ještě jednu pozoruhodnou vlastnost. Poměr každého z nich na další předchozí počtu jeho hodnoty stále blíže k 0, 618. Je možno objasnit rozdíl mezi konvergentní a divergentní sekvencí, protože v případě, že číslo zápisu získaného kvocientu, přičemž uvedený číselný systém bude mít konečný limitu rovnou 0,618.

Sekvence koeficientů Fibonacci

Výše uvedená číselná řada je pro praktické účely široce používána pro technickou analýzu trhů. Toto však není omezeno na jeho schopnosti, které Egypťané a Řekové věděli a mohli v praxi uplatnit v dávných dobách. Dokazují to pyramidy a postavený Parthenon. Číslo 0, 618 je skutečně konstantním koeficientem známého starého zlatého úseku. Podle tohoto pravidla lze libovolný segment rozdělit tak, že poměr mezi jeho částmi se shoduje s poměrem mezi větším segmentem a celkovou délkou.

Vytváříme řadu těchto vztahů a snažíme se analyzovat tuto sekvenci. Číselné řady se získají takto: 1- 0,5-0,67-0,6-0,625-0,615-0,619 a tak dále. Pokračujeme tak, abychom se ujistili, že mez konvergentní sekvence je skutečně 0,618. Je však nutné si uvědomit další vlastnosti tohoto vzoru. Zde se zdá, že čísla se rozpadají a vůbec ne v pořadí zvýšení nebo poklesu. To znamená, že tato konvergentní sekvence není monotonická. O tom, proč je to tak, jak jít dál.

Monotónnost a omezení

Členové číselné řady s nárůstem počtu mohou být zřetelně sníženi (pokud x₁x₂x₃hellip-> x_nhellip-) nebo zvýšení (pokud x₁₂₃n1ge-x₂ge-x₃ge-hellip-ge-x_nge-hellip- nebo x₁le-x₂le-x₃le-hellip-le-x_nle-hellip-), potom konvergentní sekvence je monotónní také, ale ne v přísném smyslu. Dobrým příkladem první z těchto možností je číselná řada daná následujícím vzorcem.

Po zapsání čísla dané série můžete zjistit, že kterýkoli z jejích členů, který se blíží 1 bez omezení, nikdy tuto hodnotu nikdy nepřekročí. V tomto případě mluvíme o ohraničení konvergentní sekvence. K tomu dochází vždy, když je kladné číslo M, což je vždy větší než jakákoliv podmínka série v absolutní hodnotě. Je-li číselná řada monotonická a má limit a proto se shoduje, má nutně tuto vlastnost. A naopak nemusí být pravda. To je naznačeno teorémem o ohraničení konvergentní sekvence.

Použití takových pozorování v praxi je velmi užitečné. Uvádíme konkrétní příklad zkoumáním vlastností sekvence X_n = n / n + 1 a prokázat jeho konvergenci. Skutečnost, že je monotonická, je snadné ukázat, protože (x_n+1 - x_n) je kladné číslo pro všechny hodnoty n. Limit sekvence se rovná číslu 1, což znamená, že jsou splněny všechny podmínky výše uvedené věty, také nazývané Weierstrassova věta. Věta o ohraničení konvergentní sekvence tvrdí, že pokud má limit, pak je v každém případě omezen. Uvádíme však následující příklad. Číselné řady X_n = (-1)ⁿ je ohraničen od dolní části -1 a od výše 1. Ale tato posloupnost není monotónní, nemá žádný limit a proto se neslouží. To znamená, že ohraničení neznamená vždy existenci limitu a konvergence. K tomu je třeba se vyrovnat s dolní a horní hranicí, jako u koeficientů Fibonacci.

Čísla a zákony vesmíru

Nejjednodušší varianty konvergentní a divergentní sekvence jsou možná číselné řady X_n = n a X_n = 1 / n. První z nich je přirozená řada čísel. Je, jak již bylo řečeno, nekonečně velké. Druhá konvergentní sekvence je ohraničená a její výrazy v rozsahu se blíží nekonečně malému. Každá z těchto vzorcích reprezentuje jednu stranu mnohostranného vesmíru pomoci osobě v jazyce čísel a symbolů, aby si představit, a výpočet něco nepoznatelný, nepřístupné po omezenou vnímání.

Zákony vesmíru, od zanedbatelné až po neuvěřitelně velký, rovněž vyjadřuje zlatý poměr 0,618. Vědci věří, že je položen na základě podstaty věcí a je používán přírodou k tomu, aby vytvářel své části. Již bylo zmíněno dříve vztah mezi následnými a předchozími členy Fibonacciho, nedokončí tuto ukázku úžasných vlastností tohoto unikátního seriálu. Pokud vezmeme v úvahu kvocient z předchozího členu v následné jednou, dostaneme číslo mezi 0,5 a 0, 33- 0.4- 0,375- 0,384- 0,380- 0,382 a tak dále. Zajímavé je, že tato omezená posloupnost konverguje, není monotónní, ale postoj některých členů krajní sousedící čísla vždy dopadá být přibližně 0382, který lze použít také v architektuře, technickou analýzu a dalších průmyslových odvětvích.

Existují další zajímavé koeficienty řady Fibonacci, všechny hrají v přírodě zvláštní roli a také jsou pro praktické účely používány člověkem. Matematici jsou si jisti, že se vesmír vyvíjí podle nějakého druhu "zlaté spirály", vytvořené z těchto koeficientů. S jejich pomocí lze vypočítat mnoho fenoménů, které se vyskytují na Zemi a ve vesmíru, počínaje nárůstem počtu určitých bakterií a končícím pohybem vzdálených komet. Podobný kód se řídí, jak se ukázalo, kódem DNA.

Ubývající geometrická progrese

Existuje věta, která potvrzuje jedinečnost limitu konvergentní sekvence. To znamená, že nemůže mít dvě nebo více omezení, což je nepochybně důležité pro nalezení matematických vlastností.

Zvažme některé případy. Jakékoliv číselné řady složené z členů aritmetické progrese se liší, s výjimkou případu s nulovým krokem. Totéž platí o geometrický průběh, jehož jmenovatel je větší než 1. Limity takových číselných řad jsou "plus" nebo "mínus" nekonečna. Je-li jmenovatel menší než -1, vůbec neexistuje žádný limit. Existují další možnosti.

Zvažte číselné řady uvedené vzorcem X_n = (1/4)^n-1. Na první pohled je snadné pochopit, že tato konvergentní sekvence je omezená, protože je přísně klesající a v žádném případě nedokáže přijmout záporné hodnoty.

Napište několik řádků v řadě.

Ukázalo se: 1 - 0,25 - 0,0625 - 0,015625 - 0,00390625 a tak dále. Je dost jednoduchých výpočtů, abychom pochopili, jak rychle daný geometrický postup od jmenovatelů 0<1 уменьшается. В то время как знаменатель членов неограниченно возрастает, сами они превращаются в бесконечно малое. Это значит, что предел числового ряда равен 0. Данный пример ещё раз демонстрирует ограниченность сходящейся последовательности.

Základní sekvence

Auguste Louis Cauchy, francouzský vědec, ukázal světu mnoho prací spojených s matematickou analýzou. Uváděl definice takových pojmů jako diferenciál, integrál, limit a kontinuita. Rovněž zkoumal základní vlastnosti konvergentních sekvencí. Abychom pochopili podstatu jeho myšlenek, je třeba zobecnit některé důležité detaily.

Na samém začátku článku bylo zjištěno, že existují některé sekvence, u nichž existuje okolí, kde se body reprezentující určitý počet členů na číselné ose jazyce skuchivatsya obložením všechny hustší. V tomto případě je vzdálenost mezi nimi zvýšením počtu dalšího zástupce všech klesá, stává nekonečně malý. Tak se zdá, že v této oblasti jsou seskupeny nekonečný počet zástupců sérii, zatímco, jak za nimi existuje konečný počet. Takové sekvence se označují jako zásadní.

Slavné kritérium Cauchyho, které vytvořil francouzský matematik, jednoznačně naznačuje, že existence takové vlastnosti je dostatečná k tomu, aby dokázala, že se sekvence sbližuje. Konverzace je také pravdivá.

Je třeba poznamenat, že tento závěr francouzského matematika je z větší části čistě teoretický zájem. Jeho použití v praxi je považováno za poměrně složité, proto je třeba určit konvergenci sérií, je mnohem důležitější prokázat existenci posloupnosti konečných limitů. Jinak se to považuje za odlišné.

Při řešení problémů je třeba brát v úvahu i základní vlastnosti konvergentních sekvencí. Jsou uvedeny níže.

Nekonečné částky

Takový známý výzkumníci starověku, jak Archimedes, Euclid, Eudoxus použitého množství Nekonečné číselné řady pro výpočet délky křivky, objemy prostorových těles a tvarů. Zejména je tak možné naučit oblast segmentem paraboly. Za tímto účelem, je součet řady čísel se použije exponenciálně s q = 1/4. Podobným způsobem byly objemy a plochy jiné libovolné tvary. Tato možnost se nazývá metoda „vyčerpání“. Předpokládá se, že test složitých forem tělesa je rozdělen na kousky, což je číslo, se snadno měřitelné parametry. Z tohoto důvodu bylo snadné spočítat jejich ploch a objemů, pak se vyvinul.

Mimochodem, podobné úkoly jsou moderním školákům velmi známé a nacházejí se v úkolech USE. Unikátní způsob, který našli daleko předkové, je dnes nejjednodušší verzí řešení. Dokonce i v případě, že části, na které je číselný údaj rozdělen, pouze dva nebo tři, přidání jejich oblastí stále představuje součet číselných řad.

Hodně později se starodávní řečtí vědci Leibniz a Newton, založený na zkušenostech moudrých předchůdců, naučili zákony integrálního výpočtu. Znalost vlastností sekvencí jim pomohla řešit diferenciální a algebraické rovnice. V současné době teorie sérií vytvořená úsilím mnoha generací talentovaných vědců dává šanci vyřešit obrovské množství matematických a praktických problémů. A studium číselných sekvencí je hlavním úkolem vyřešenou matematickou analýzou od okamžiku jeho vzniku.