Reálná čísla a jejich vlastnosti

Pythagoras tvrdil, že počet leží na základně světa na stejné úrovni jako hlavní prvky. Platón věřil, že číslo spojuje fenomén a noumenon, pomáhá poznávat, měřit a vyvozovat závěry. Aritmetika pochází ze slova "arithmos" - číslo, počátek začal v matematice. Může popisovat jakýkoli objekt - od elementárního jablka až po abstraktní prostory.

Potřeby jako faktor rozvoje

V počátečních fázích utváření společnosti potřebám lidí omezená potřeba bodování - .. obilí pytel, dva obilí vaku, atd. Za tímto účelem byla přirozená čísla, větší počet, který je nekonečný sled pozitivních celých čísel N.

Později s vývojem matematiky jako vědy vznikla potřeba samostatného pole celých čísel Z - zahrnuje záporné veličiny a nulu. Jeho vzhled na domácí úrovni byl vyvolán skutečností, že na oddělení primárních účtů bylo nutné nějakým způsobem opravit dluhy a ztráty. Na vědecké úrovni umožnily záporné čísla vyřešit prvoky lineární rovnice. Mimo jiné bylo nyní možné zobrazit triviální souřadnicový systém, protože se objevil referenční bod.

Dalším krokem bylo, že je zapotřebí zadat zlomková čísla, protože věda neostávala, stále více nových objevů vyžadovalo teoretický základ pro nový růst. Takže tam byla pole racionální čísla Q.

Nakonec racionálnost přestala uspokojovat požadavky, protože všechny nové závěry vyžadovaly zdůvodnění. Objevilo se pole skutečných čísel R, Euclidovy práce na nesměřitelnosti určitých veličin kvůli jejich iracionalitě. To znamená, že starověcí řečtí matematici umístili číslo nejen jako konstanta, ale také jako abstraktní hodnotu, která se vyznačuje poměrem nesrovnatelných veličin. Díky skutečnosti, že se objevily reálná čísla, byly "hodnoty" jako "pi" a "e" "viděny", bez nichž by moderní matematika nemohla proběhnout.

Poslední inovace byla komplexní číslo C. Odpověděl na řadu otázek a vyvrátil předtím zavedené postuláty. Kvůli rychlému vývoji algebry byl výsledek předvídatelný - s reálnými počty, řešení mnoha problémů bylo nemožné. Například díky komplexním číslům, teorie strun a chaosu se rozšířily rovnice hydrodynamiky.

Teorie množin. Cantor

Koncept nekonečnosti byl po celou dobu kontroverzní, protože nemohl být ani dokázán ani vyvrácen. V kontextu matematiky, která fungovala s přísně ověřenými postuláty, se to nejvíce projevilo, obzvláště vzhledem k tomu, že teologický aspekt stále měl váhu ve vědě.

Nicméně, díky práci matematika Georg Cantor, všechno padlo na místě s plynutím času. Dokázal, že nekonečné množiny existují nekonečné množiny a skutečnost, že pole R je větší než pole N, nechá oba nemají konec. V polovině 19. století jeho myšlenky byly hlasitě nazývány bludy a zločiny proti klasickým, neotřesitelným kánonům, ale čas na ně kladl vše.

Základní vlastnosti pole R

Reálná čísla mají nejen stejné vlastnosti jako dílčí úkoly, které jsou v nich obsaženy, ale jsou doplněny i dalšími vlivem hmotnosti jejich prvků:

• Nula existuje a patří do pole R. c + 0 = c pro libovolné c v R.
• Nula existuje a patří do pole R. c x 0 = 0 pro libovolné c v R.
• Poměr c: d pro d ne-0 existuje a je reálné pro všechny c, d v R.
• Pole R je uspořádáno, tj. Pokud c le d, d le c, potom c = d pro libovolné c, d v R.
• Přidání v poli R je komutativní, tj. C + d = d + c pro libovolné c, d v R.
• Násobení v poli R je komutativní, tj. Cx d = dx c pro libovolné c, d v R.
• Přidání v poli R je asociativní, tj. (C + d) + f = c + (d + f) pro všechny c, d, f v R.
• Násobení v poli R je asociativní, tj. (C x d) x f = c x (d x f) pro všechny c, d, f v R.
• Pro každé číslo z pole R existuje opačné číslo tak, že c + (-c) = 0, kde c, -c od R.
• Pro každé číslo v poli R existuje inverzní tak, že c x c^-1 = 1, kde c, c^-1 od R.
• Jednotka existuje a patří R, takže c x 1 = c, pro libovolný c v R.
• Platí distribuční zákon tak, že c x (d + f) = c x d + c x f pro všechny c, d, f v R.
• V poli R není nula rovna jedné.
• Pole R je přechodné: pokud c le d, d le-f, pak c le-f pro všechny c, d, f v R.
• V poli R je vzájemné uspořádání a doplnění: pokud c le-d, pak c + f le-d + f pro všechny c, d, f v R.
• V poli R je pořadí a násobení vzájemně provázané: pokud je 0 le-c, 0 le-d, pak 0 le-c x d pro libovolné c, d od R.
• Negativní i kladná reálná čísla jsou kontinuální, to znamená, že pro všechny c, d v R existuje f v R takové, že c lef ledu.

Modul v poli R

Reálná čísla zahrnují takovou věc jako modul. Označuje se jako | f | pro každý f v R. | f | = f, pokud je 0 le-f a | f | = -f pokud 0> f. Pokud budeme považovat modul za geometrickou hodnotu, pak je to ujetá vzdálenost - nezáleží na tom, jestli jste "prošli" nulou v mínusu nebo dopředu na plus.

Komplexní a reálná čísla. Co je běžné a jaké jsou rozdíly?

Celkově jsou složitá a reálná čísla jedna a ta, kromě toho, že imaginární jednotka i, jejíž čtverec je -1, se připojila k první. Prvky polí R a C lze znázornit následujícím způsobem:

• c = d + f x i, kde d, f patří do pole R, a i je imaginární jednotka.

Pro získání c od R v tomto případě se f jednoduše považuje za rovnou nule, to znamená, že zůstává pouze reálná část čísla. Protože pole složitých čísel má stejnou sadu vlastností jako pole reálných čísel, f x i = 0, je-li f = 0.

S ohledem na praktické rozdíly, například v poli R kvadratická rovnice Není vyřešen, pokud je diskriminační záporný, zatímco pole C neukládá takové omezení kvůli zavedení imaginární jednotky i.

Výsledky

"Cihly" axiomů a postuláty, na nichž se matematika zakládá, se nemění. Některé z nich v souvislosti s nárůstem informací a zaváděním nových teorií uvádějí následující "cihly", které se v budoucnu mohou stát základem pro další krok. Například přirozená čísla, přestože jsou podmnožinou skutečného pole R, neztrácejí jejich význam. Na nich je založena veškerá elementární aritmetika, s níž začíná poznávání člověka světa.

Z praktického hlediska vypadají reálná čísla jako přímka. Na něm můžete zvolit směr, označit původ a krok. Přímá linka se skládá z nekonečného počtu bodů, z nichž každá odpovídá jedinému reálnému číslu, ať už je racionální nebo ne. Z popisu je zřejmé, že mluvíme o konceptu, na němž oba matematika obecně a matematická analýza zejména.