Aritmetická progrese

Problémy s aritmetickým vývojem existovaly již ve starověku. Objevili se a požadovali řešení, protože měli praktickou potřebu.

Například v jednom z papyrů starověkého Egypta, která má matematický obsah, - papyrus Rhind (XIX století BC) - obsahuje takový problém: rozdělit deset opatření obilí pro deset lidí, za předpokladu, je-li rozdíl mezi každým z nich je jedna osmina z opatření ".

A v matematických pracích starých Řeků existují elegantní teorémy související s aritmetickým vývojem. Tak, Alexandru Alexandra (II. Století BC), ve výši mnoha zajímavých úkolů a přidal čtrnáct knih na „začátek“ Euclid formuloval názor: „V aritmetické posloupnosti, které mají sudý počet členů, množství členů ve druhé polovině více než součet prvních členů do více na čtverec 1/2 z počtu pojmů. "

Vezmeme libovolnou sérii přirozených čísel (větší než nula): 1, 4, 7, hellip-n-1, n, hellip-, který se nazývá číselné pořadí.

Označuje sekvenci a. čísla sekvencí se nazývají jeho členů, a je obvykle označován písmeny s indexy, které ukazují na sériové číslo prvku (a1, a2, a3 hellip- číst «první», «2 nd», «3 mytí“ a tak dále).

Sekvence může být nekonečná nebo konečná.

A jaký je aritmetický postup? Pod tím rozumí pořadí čísel, získaný přidáním předchozího čísla (n) se stejným číslem d, což je rozdíl v postupu.

Pokud d<0, pak máme klesající postup. Pokud d> 0, potom se takový postup považuje za rostoucí.

Aritmetický postup je považován za konečný, pokud se berou v úvahu jen některé z jeho prvních termínů. S velkým počtem členů je to nekonečný pokrok.

Libovolná aritmetická progrese je dána následujícím vzorcem:

a = kn + b, přičemž b a k jsou nějaká čísla.

Absolutně pravdivé sdělení, které je naopak: v případě, že sekvence dána podobným vzorcem, je to přesně aritmetické posloupnosti, který má vlastnosti:

1. Každý člen progrese je aritmetickým prostředkem předchozího a následujícího.
2. : V případě, počínaje od druhého, každý člen - aritmetický průměr z předchozího období, a následné, tedy pokud je podmínka splněna, potom je tato sekvence aritmetickým průběhem. Tato rovnost je také znakem progrese, proto se zpravidla nazývá charakteristickou vlastností progrese.
   Podobně věta je pravda, že odráží tuto vlastnost: Sekvence - aritmetický progrese, pouze pokud tato rovnice platí pro některý z členů sekvence, počínaje druhou.

Charakteristickou vlastností jakákoliv čísla pro čtyři aritmetické posloupnosti může být vyjádřena + hod = ak + al, v případě n + m = k + l (m, n, k - počet progrese).

Při aritmetické progresi lze nalézt jakýkoli nezbytný (N-th) termín použitím následujícího vzorce:

a = a1 + d (n-1).

Například: první člen (a1) v aritmetické posloupnosti je dána a rovná se tři, a rozdíl (d) je roven čtyřem. Najděte patnáctý člen tohoto postupu. a45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Vzorec = ak + d (n - k) pro stanovení n-tý termín aritmetické progrese skrz každý z jeho k-tého členu za předpokladu, je-li znám.

Součet podmínky aritmetický progrese (za předpokladu, že první členy n konečný postup) se vypočítá následujícím způsobem:

Sn = (al + an) n / 2.

Pokud je rozdíl mezi aritmetickou prognózou a prvním termínem znám, pak je pro výpočet vhodný jiný vzorec:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Součet aritmetické progrese, který obsahuje n pojmy, se vypočítá takto:

Sn = (al + a) * n / 2.

Výběr vzorce pro výpočty závisí na podmínkách úloh a počátečních datech.

Přirozená čísla jakékoli číslo, jako je 1,2,3, ..., n, ...- nejjednodušší příklad aritmetické posloupnosti.

Vedle aritmetického postupu je také geometrická progrese, která má své vlastnosti a vlastnosti.