Co je aritmetika? Hlavní teorém aritmetiky. Binární aritmetika

Co je aritmetika? Kdy lidstvo začalo používat čísla a pracovat s nimi? Kde kořeny takových běžných pojmů, jako jsou čísla, frakce, odčítání,

Snad aritmetika není tak hluboká jako ostatní vědy, ale co by se s nimi stalo, zapomenout na základní tabulku násobení? Obvyklé logické myšlení s použitím čísel, zlomků a dalších nástrojů nebylo pro lidi snadné a dlouhou dobu nebylo pro naše předky dostupné. Ve skutečnosti, před vývojem aritmetiky, žádná oblast lidského poznání nebyla skutečně vědecká.

Aritmetika je abeceda matematiky

Aritmetika je věda čísel, s níž se každá osoba začíná seznámit s fascinujícím světem matematiky. Jak uvedl M. Lomonosov, aritmetika je brána stipendia, která nám otevírá cestu ke světové znalosti. Ale má pravdu, může být znalost světa oddělena od znalostí čísel a dopisů, matematiky a řeči? Snad ve starých dnech, ale ne v moderním světě, kde rychlý vývoj vědy a techniky diktuje jeho zákony.

Slovo "aritmetický" (řecký "arithmos") řeckého původu znamená "číslo". Studuje číslo a vše, co s nimi může být spojeno. Jedná se o svět čísel: různé akce na čísla, číselné pravidla, řešení problémů, které zahrnují násobení, odčítání a tak dále.

Obecně se uznává, že prvním krokem je aritmetický matematiky a pevný základ pro složitější jeho částí, jako jsou například algebry, matematické analýzy, vyšší matematiky a t. D.

Hlavním předmětem aritmetiky

Základem aritmetiky je celé číslo, jehož vlastnosti a zákonitosti jsou považovány za vyšší aritmetický nebo teorie čísel. Ve skutečnosti síla celé budovy - matematika závisí na tom, jak dobře je správný přístup při zvažování tak malého bloku jako přirozeného čísla.

Proto otázka, co je aritmetika, můžete jednoduše odpovědět: je to věda čísel. Ano, o obvyklých sedmi, devíti a všem této různorodé komunitě. A stejně, jak nemůžete psát dobré a průměrné básně bez elementární abecedy, bez aritmetiky, nemůžete ani vyřešit základní problém. To je důvod, proč všechny vědy pokročily až po vývoji aritmetiky a matematiky, a to především předpoklady.

Aritmetická - fantomová věda

Co je aritmetika - přírodní věda nebo fantom? Ve skutečnosti, jak argumentovali starověcí řečtí filozofové, neexistují čísla ani čísla v realitě. Je to jen fantom, který je vytvořen v lidském myšlení při zvažování životního prostředí a jeho procesů. Ve skutečnosti, co je číslo? Nikde jinde nevidíme něco takového, které by mohlo být nazýváno číslem, spíše číslo je způsob lidské mysli ke studiu světa. A možná je to studium sami zevnitř? Filozofové o tom tvrdí po mnoho staletí v řadě, a proto nevydáme vyčerpávající odpověď. Ať tak či onak, je aritmetický by tak pevně, aby jejich postavení v moderním světě nikdo nemůže být považována za společensky přizpůsobený bez vědomí jejích základů.

Jak se objevilo přirozené číslo

Samozřejmě, že hlavním předmětem ovládán aritmetickým je přirozené číslo, jako je 1, 2, 3, 4, hellip-, 152 ... atd. Aritmetika přirozených čísel je výsledkem počítání běžných objektů, například kráv na louce. Přesto definice "hodně" nebo "malého" jednou přestala vyhovovat lidem a musel jsem vymyslet lepší techniky počítání.

Ale skutečný průlom se stalo, když lidská myšlenka dosáhla bodu, že je možné označit stejné "dvě" číslo a 2 kilogramy a dvě cihly a dvě části. Faktem je, že potřebujete abstrakovat z forem, vlastností a významu objektů, pak můžete provést některé akce s těmito objekty ve formě přirozených čísel. Tak vznikla aritmetika čísel, která se dále rozvíjela a rozšiřovala a zaujímala stále větší pozice v životě společnosti.

Takové hluboké pojmy čísel, jako nulové a záporné číslo, zlomky, označení čísel v číslech a jinými způsoby mají nejbohatší a nejzajímavější historii vývoje.

Aritmetické a praktické Egypťany

Dva z nejstarších lidských společníků ve studiu okolního světa a řešení každodenních problémů jsou aritmetika a geometrie.

Předpokládá se, že dějiny aritmetiky pocházejí z Antického východu: v Indii, Egyptě, Babylonu a Číně. Tak, papyrus Rinda egyptského původu (pojmenovaný tak, protože patřil k stejnojmennému majiteli), datoval do XX století. BC, s výjimkou dalších hodnotných dat, obsahuje rozklad jedné frakce součtem zlomků s různými jmenovateli a čitatelem rovným jednomu.

Například: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365.

Ale jaký je důvod tak komplexního rozkladu? Faktem je, že egyptský přístup netoleroval abstrahované myšlení o číslech, naopak, výpočty byly provedeny pouze pro praktické účely. To znamená, že egyptský se bude zabývat takovou věcí, jako jsou výpočty, výhradně za účelem vybudování hrobu, například. Bylo nutné vypočítat délku okraje konstrukce, a to donutilo osobu, aby se posadila na papyrus. Zdá se, že egyptský pokrok ve výpočtech byl způsoben spíše masivním konstruktivem než láskou vědy.

Z tohoto důvodu výpočty nalezené na papyru nemohou být nazývány úvahy o zlomcích. S největší pravděpodobností je to praktické zadávání zakázek, které v budoucnu pomohlo vyřešit problémy s zlomky. Starověcí Egypťané, kteří nevěděli násobící tabulky, produkovali spíše dlouhé výpočty, rozložené do mnoha dílčích úkolů. Možná je to jedna z těch dílčích úkolů. Není těžké zjistit, že výpočty s takovými přípravky jsou velmi namáhavé a málo vyhlídky. Snad proto z tohoto důvodu nevidíme velký přínos starověkého Egypta k rozvoji matematiky.

Starověké Řecko a filozofická aritmetika

Mnoho znalosti starověkého Východu byly úspěšně zvládl již staří Řekové, je známo, že fanoušky abstraktní, abstraktní a filozofické reflexe. Praxe z nich zajímá ne méně, ale je těžké najít nejlepší teoretiky a myslitelé. To má prospěch vědě, protože není možné se ponořit do aritmetiky, aniž bychom ji porušili realitou. Samozřejmě můžete množit 10 krav a 100 litrů mléka, ale daleko nebude úspěšné.

Hluboce přemýšlející o tom, že Řeci zanechali v historii významnou známku a jejich díla nás dosáhli:

• Euclid a "Začátek".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zeno.
• Anaxagoras.

A samozřejmě, otočí veškerou filozofii Řeků, a zejména stoupenci případů Pythagorova věta byla tak vášnivá o čísla, která jim záhadou svět harmonie v úvahu. Čísla byla tak studována a studována, že někteří z nich a jejich páry byly přiřazeny zvláštní vlastnosti. Například:

• Perfektní čísla jsou ty, které se rovna součtu všech jejich dělitelů, s výjimkou čísla samotného (6 = 1 + 2 + 3).
• Přátelské čísla jsou taková čísla, z nichž jedna je rovna součtu všech dělitelů druhého a naopak (Pythagoreans jen znal jeden takový pár: 220 a 284).

Řekové, kteří věřili, že věda potřebovala být milována a nebyla s ní kvůli zisku, dosáhla velkého úspěchu, zkoumala, hrála a přidávala čísla. Je třeba poznamenat, že ne všechny jejich výzkumy našly široké uplatnění, některé z nich zůstaly pouze "pro krásu".

Východní myslitelé středověku

Podobně ve středověku aritmetika dluží svůj vývoj východním současníkům. Indiáni nám dali čísla, které aktivně používáme, jako "nulu" a poziční volbu systémy výpočtů, známý modernímu vnímání. Od al-kashy, která pracovala v 15. století v Samarkandě, jsme zdědili desetinná místa, bez něhož je obtížné si představit moderní aritmetiku.

V mnoha ohledech, Evropa seznámil s úspěchy na východě byla umožněna díky práci italského vědce Leonardo Fibonacci, který napsal knihu „Liber Abaci“, seznámení s orientálními inovacemi. Stala se základním kamenem vývoje algebry a aritmetiky, výzkumu a vědecké činnosti v Evropě.

Ruská aritmetika

A nakonec se aritmetika, která našla své místo a zakořenila v Evropě, začala šířit do ruských zemí. První ruská aritmetika byla vydána v roce 1703 - byla to kniha o aritmetice Leonty Magnitsky. Dlouhou dobu zůstala jediným učebním manuálem pro matematiku. Obsahuje počáteční momenty algebry a geometrie. Údaje použité v příkladech jsou první v ruské učebnici aritmetiky arabštiny. Ačkoli se arabské číslice objevovaly dříve, na rytinách ze 17. století.

Kniha samotná je zdoben obrazy Archimedes a Pythagoras, a na první straně - obraz aritmetiky jako žena. Ona sedí na trůnu, pod ním je psán v hebrejské slovo pro jménu Boha, a na schodech, které vedou k oltáři, vepsaných se slovem „divize“, „zvýšení“, „sčítání“, a tak dále. D. Lze si pouze představit, jakou hodnotu zradila Takové pravdy, které jsou nyní považovány za samozřejmé.

Učebnice o délce 600 stránek popisuje jak základy, jako tabulka přidávání a násobení, tak aplikace pro navigační vědy.

Není divu, že autor zvolil obraz řeckých myslitelů pro jeho knihu, protože on sám byl okouzlen krásou aritmetiky, řka: „Aritmetika je chislitelnitsa tam jsi fér, nezavistnoehellip-“. Tento přístup k aritmetice je zcela opodstatněný, protože je jeho rozšířeným úvodem, který lze považovat za začátek rychlého vývoje vědeckého myšlení v Rusku a všeobecného vzdělávání.

Několik prvočíselných čísel

Prvotní číslo je přirozené číslo, která má pouze 2 pozitivní děliče: 1 a sama. Všechna ostatní čísla, bez počítání 1, se nazývají kompozitní. Příklady prvočísel: 2, 3, 5, 7, 11 a všechny ostatní, které nemají jiné děliče kromě čísla 1 a samy.

Co se týče čísla 1, je to na zvláštním účtu - existuje přesvědčení, že to musí být považováno za jednoduché ani složité. Jednoduché na první pohled jednoduché číslo skrývá řadu nevyřešených záhad uvnitř sebe.

Eukleidův věta říká, že nekonečný počet prvočísel, a Eratosthenes přišel s speciální aritmetické „síto“, což eliminuje komplikované čísla, takže jen jednoduchý.

Jeho podstatou je zdůraznit první nezveřejněné číslo a v budoucnu odstranit ty, které jsou vícenásobné. Opakujte tento postup mnohokrát a získáte tabulku prvních čísel.

Hlavní teorém aritmetiky

Z pozorování na primární čísla je třeba speciálně zmínit základní teorém aritmetiky.

Základní aritmetika teorém říká, že libovolné celé číslo větší než 1, nebo jednoduchý nebo může být rozložen do součin prvočísel až do pořadí opakování faktorů, jediná cesta.

Hlavní věta aritmetiky se ukázala být poněkud těžkopádná a její chápání již není podobné nejjednodušším základům.

Na první pohled jsou primární čísla elementární koncepce, ale ne. Fyzika také jednou považovala atom za elementární, dokud nenajde celý vesmír uvnitř. Krásný příběh matematika Don Tsagira "První padesát milionů prvočísel" se věnuje prvotním číslům.

Od "tří jablek" až po deduktivní zákony

Který skutečně lze nazvat posílen základ celé vědy - zákony aritmetiky. Už jako dítě vše aritmetický tvář, studuje počet nohou a paží na panenky, počet kostek, jablka, a tak dále. D. Takže budeme studovat aritmetika, který pak postupuje do složitějších pravidel.

Celý náš život nás obeznámen s pravidly aritmetiky, které se pro běžného člověka staly nejužitečnějšími věcmi. Studium čísel je "aritmetický-dítě", který zavádí osobu do světa čísel ve formě čísel v raném dětství.

Vyšší aritmetika je deduktivní věda, která studuje zákony aritmetiky. Většina z nich víme, i když možná nevíme, jaké jsou jejich přesné formulace.

Zákon přidání a násobení

Jakékoliv dvě přirozená čísla a a b mohou být vyjádřena jako + b, což je také přirozené číslo. Pokud jde o doplnění, platí následující zákony:

• Komutativní, že suma se nemění z permutace summands v místech, nebo a + b = b + a.
• Asociativní, že suma není závislá na způsobu seskupování summands v místech, nebo + (b + c) = (a + b) + c.

Pravidla aritmetiky, jako je přidání, jsou některé z elementárních, ale používají je všechny vědy, nemluvě o každodenním životě.

Každé dvě přirozená čísla a a b mohou být vyjádřena v produktu a * b nebo a * b, což je také přirozené číslo. Stejné komutativní a asociativní zákony platí pro produkt, pokud jde o přidání:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Je zajímavé, že existuje zákon, který kombinuje sčítání a násobení, také nazývané distributivní nebo distributivní právo:

a (b + c) = ab + ac

Tento zákon nás skutečně učí pracovat s hranatými závorami a odhalovat je, abychom mohli pracovat s mnohem složitějšími formulemi. To jsou přesně ty zákony, které nás vedou přes bizarní a složitý svět algebry.

Zákon aritmetického řádu

Pořádkové právo používá každodenní lidskou logiku, srovnává hodiny a počítá faktury. A přesto je třeba formalizovat ve formě konkrétních formulací.

Pokud máme dvě přirozená čísla a a b, pak jsou možné následující možnosti:

• a je b nebo a = b;
• a je menší než b, nebo a < b;
• a je větší než b nebo a> b.

Z těchto tří možností může být spravedlivé pouze jedno. Základní zákon, který řídí řád, říká: pokud a < b a b < c, pak a< c.

Existují také zákony týkající se pořadí s násobením a přidáním: pokud a< b, potom a + c < b + c a ac< bc.

Zákony aritmetiky nás naučí pracovat s čísly, znaky a závorkami a přeměňovat vše na harmonickou symfonii čísel.

Polohové a polohové systémy výpočtu

Můžeme říci, že čísla jsou matematickým jazykem, z jehož pohodlí závisí hodně. Existuje mnoho počítačových systémů, které se podobně jako abecedy různých jazyků liší od sebe.

Zvažte číselný systém, pokud jde o vliv polohy na kvantitativní hodnotu číslice v této pozici. Například, římský systém je nonpositional kde každé číslo kódovaný určitou sadu speciálních znaků: I / V / X / L / C / D / M jsou, v tomto pořadí, čísla 1/5/10/50/100/500 / 1000. V takovém systému číslo nezmění svou kvantitativní definici v závislosti na tom, co stojí: první, druhá atd. Chcete-li získat další čísla, je třeba přidat základní. Například:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Další známe číselná soustava arabskými číslicemi je poziční. V takovém systému je počet vypouštění definuje počet číslic, například tři číslice čísla: 333, 567, atd Hmotnost kteréhokoliv z výboje závisí na poloze, na kterém obrázek představuje jeden nebo jiné, jako například na obrázku 8 v druhé poloze má hodnotu 80. To je typický pro desítkové soustavě, existují další poziční systém, jako je binární.

Binární aritmetika

Jsme obeznámeni s desítkovým systémem výpočtu, který se skládá z jednočíselných a vícedístných čísel. Číslice vlevo v multi-místném čísle je desetkrát větší než vpravo. Takže jsme četli 2, 17, 467 atd. Úplně odlišná logika a přístup pro sekci, která se nazývá "binární aritmetika". Není to překvapující, protože binární aritmetika není vytvořena pro lidskou logiku, ale pro počítač. Jestliže aritmetika čísel nastala při počítání objektů, které později abstrahovaly od vlastností objektu k "holé" aritmetice, pak to nefunguje s počítačem. Aby mohli sdílet své znalosti s počítači, člověk musel vymyslet tento model výpočtu.

Binární aritmetické práce s binární abecedou, která se skládá pouze z 0 a 1. A použití této abecedy se nazývá binární systém počtu.

Rozdíl mezi binární aritmetikou a desítkovou hodnotou znamená, že důležitost pozice vlevo již není 10, ale dvakrát. Binární čísla mají formu 111, 1001 atd. Jak porozumět takovým číslům? Takže zvážit číslo 1100:

1. První číslice nalevo - 1 * 8 = 8, pamatujeme si, že čtvrtá číslice, a proto musí být vynásobena 2, získáme pozici 8.
2. Druhá číslice je 1 * 4 = 4 (pozice 4).
3. Třetí číslice je 0 * 2 = 0 (pozice 2).
4. Čtvrtá číslice je 0 * 1 = 0 (pozice 1).
5. Takže naše číslo je 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To znamená, že přechod na novou kategorii na levé straně jeho významu v binárním systému se násobí 2 a desetinná - do 10. Takový systém má jednu nevýhodu: je to příliš velký růst bitů, které jsou nutné pro záznam čísla. Příklady reprezentace desetinných čísel ve formě dvoubitových lze vidět v následující tabulce.

Desetinná čísla v binární formě jsou zobrazena níže.

Používají se také osmičkové a hexadecimální systémy výpočtu.

Tato tajemná aritmetika

Jaký je aritmetický, „dva plus dva“, nebo neprozkoumané tajemství čísel? Jak můžete vidět, aritmetika, může, a zdá se na první pohled jednoduché, ale není zřejmé, klamavá snadné. Je možné studovat dětí, a společně s tetou sova z kreslených „Arithmetic-dítě“, a můžete se ponořit do hlubokého vědeckého výzkumu téměř filozofické objednávky. V historii šla od počítání předmětů k uctívání krásy čísel. Jedna věc je jistá: s vytvořením základních postulátů aritmetiky, to vše věda může spolehnout na její silné rameno.