Co jsou dokonalá čísla v matematice?

Jsme konfrontováni s čísly doslova každou chvíli našeho pozemského života. Dokonce i starověcí Řekové měli gematrii (numerologie). Pro reprezentaci čísel byly použity písmena abecedy. Každé jméno nebo psané slovo odpovídá určitému číslu. Pro dnešní vědu matematika dosáhla velmi vysokého stupně vývoje. Čísla použitá v různých výpočtech jsou tak početná, že jsou seskupeny. Zvláštní místo mezi nimi zaujímá dokonalá čísla.

Původy

Ve starověkém Řecku lidé porovnávali vlastnosti čísel podle jejich jména. Diváci čísel dostali zvláštní roli v numerologii. V souvislosti s tím ideální (dokonalá) čísla byla ta, která se rovnala součtu jejich dělitelů. Ale starí Řekové nezahrnuli toto číslo do dělitelů. Abychom lépe porozuměli tomu, co jsou perfektní čísla, ukažme to příkladem.

Na základě této definice je nejméně ideální číslo 6. Po tom bude 28. Pak 496.

Pythagoras věřil, že existují zvláštní čísla. Stejný názor sdílel i Euclid. Pro ně byla tato čísla tak výjimečná a specifická, že je spojovala s mystickými. Tato čísla mají tendenci být perfektní. To jsou dokonalá čísla pro Pythagoras a Euclid. Patří sem 6 a 28.

Klíč

Matematici se vždy snaží najít společný klíč pro nalezení odpovědi při řešení problému s několika řešeními.

Takže hledali vzorec, který definuje ideální číslo. Byla však získána pouze hypotéza, která musí být prokázána. Představte si, že už jste zjistili, jaké jsou perfektní čísla, matematici strávili více než tisíc let, aby určili pět z nich! Po 1500 letech se stala známá.

Významným příspěvkem k výpočtu ideálních čísel byly vědci Fermat a Mersen (XVII století). Navrhovali vzorec pro jejich výpočet. Díky francouzským matematikům a práci mnoha dalších vědců na počátku roku 2018 dosáhl počet dokonalých čísel 50.

Pokrok

Samozřejmě, že pokud otevření dokonalé číslo, které účet byl již pátý trvalo jeden a půl tisíce let, ale teď to díky počítačům, které jsou hodnoceny mnohem rychleji. Například otevření 39. ideálního čísla kleslo v roce 2001. Má 4 miliony znaků. V únoru 2008 jsme otevřeli 44. dokonalé číslo. V roce 2010 - 47. ideál, a do roku 2018, jak bylo zmíněno výše, je otevřeno 50. číslo se stavem dokonalosti.

Ještě jedna zajímavá vlastnost. Studium toho, co jsou perfektní čísla, matematici objevili - všichni jsou vyrovnaní.

Trochu historie

Je to určitě neznámé, když byly poprvé viděny čísla odpovídající ideálu. Nicméně se doporučuje, že i ve starověkém Egyptě a Babylonu byly zobrazeny na počtech prstů. A není těžké odhadnout, jaké dokonalé číslo vylíčily. Samozřejmě, toto bylo 6. Do 5. století nl bylo účet vedeno prsty. Chcete-li ukázat číslo 6 na rameni, prsten prsten byl ohnutý a ostatní byli narovnáni.

Ve starověkém Egyptě byla délka měřena loktem. Bylo to stejné jako délka dvaceti osmi prstů. A například ve starověkém Římě se objevil zajímavý zvyk - šesté místo na slavnostech čestným a pozoruhodným hostům.

Stoupenci Pytagoras

Následovníci Pythagorasu měli také rádi ideální čísla. Která z čísel je dokonalá po 28 letech, velmi se zajímala o Euclid (IV. Století př. Nl). Dal klíč k nalezení všech ideálních sudých čísel. Zajímavá je devátá kniha euklidovských "prvků". Mezi jeho věty je ten, který vysvětluje, že perfektní je číslo, které má pozoruhodnou vlastnost:

hodnota p bude ekvivalentní výrazu 1 + 2 + 4 + hellip- + 2n, který může být napsán jako 2n + 1-1. Toto je primární číslo. Ale již 2np bude perfektní.

Abychom ověřili toto prohlášení, musíme zvážit všechny správné děliče čísla 2np a vypočítat jejich součet.

Tento objev údajně patří učedníkům Pytagoras.

Euklidovské pravidlo

Navíc Euclid prokázal, že forma dokonce dokonalého čísla je reprezentována matematicky jako 2n-1 (2n-1). Pokud je n prime a 2n-1 je jednoduché.

Podle Euclidova pravidla Starověký řecký matematik Nikomach z Gerasy (I. - II. Století). Našel ideální čísla jako 6, 28, 496, 8128. Nikomák Gerazsky hovořil o ideálním čísle jako o velmi krásném, ale málo matematických koncepcích.

Jeden a půl tisíc let později objevil německý vědec Regiomontan (Johann Muller) páté perfektní číslo v matematice. Bylo to 33 550 336.

Další výzkum matematiky

Čísla, které jsou považovány za jednoduché a patří do série 2n-1, se nazývají čísla Mersenne. Toto jméno jim bylo dáno na počest francouzského matematika, který žil v 17. století. Právě ten, kdo v roce 1644 otevřel osmé perfektní číslo.

250 let později ruský učený matematik Pervushin IM od Provincie Perm našlo deváté ideální číslo.

Od roku 1952 byly počítače (elektronické počítače) propojeny s podobnými matematickými výzkumy. Rychlost výpočtů se výrazně zvýšila. Například, bylo známo, že na rozdíl od prvního ideálního čísla 6, který je jednoznačný, dvacátý čtvrtý má ve svém arzenálu více než 12 000 znaků!

Historie šachovnice

Je tu velmi zajímavý příběh o šachovnici, králi a obilí. Jakmile král obdivoval hru šachů, vyzval tvůrce hry, aby si vybral odměnu. Pak si šalvěj zvolil skromnou, zdálo se, odměnou - obléknout si klece šachovnice z obilí. Překvapení pořadí uspořádání: první buňka 1 obilí, druhá - 2, třetí klec by měla obsahovat 4 a tak vyplňovat celou desku. Zajímavé je, že buňka 64 v posledním otočil 1199038364 791 120 tun, což je 18 446 744 073 709 551 615 zrna.

Toto množství je přibližně 1800krát vyšší než sklizeň světové pšenice shromážděná po celou lidskou historii.

Pokud vezmeme hmotnost jednoho zrna jako 0,065 g, pak celková hmotnost na šachovnici bude 1,200 bilionů tun.

Pokud by bylo nutné postavit stodolu pro uložení takového množství zrna, její rozměry by byly větší než Mount Everest: 10 x 10 x 15 (km) a v objemech by to bylo asi 1500 kmsup3-!

Numerologie

V numerologii existuje taková věc jako nejvyspělejší číslo 108, které přináší úspěch. Jeho kořeny se dostanou do védské kultury. Předpokládá se, že pokud provedete konkrétní akci přesně 108 krát, pak v tomto případě bude dosaženo určité úrovně dokonalosti. Toto zobrazení se týká zařízení lidské paměti: je rozděleno na krátkodobou a trvalou (interní) paměť. Takže je ve vnitřní paměti, že tyto pojmy jsou umístěny tak, že osoba splnila 108 krát. Možná proto, že korálky pro modlitbu v klasické verzi obsahují přesně 108 korálků. Takže po pročítání modlitby na plném okruhu růženců se stává součástí trvalé paměti člověka.

Mystika a fakta

Chcete-li zjistit, zda je číslo dokonalé, je třeba provést určité výpočty. Není jiná cesta. Taková čísla jsou vzácná. Například Pythagorova Iamblichus psal o ideální čísla jako fenoménu s nímž se potýká myriády na myriády myriádách, a pak z myriády nesčetných do myriády nesčetných myriády, a tak dále. D. Nicméně, v kontrolních výpočtech XIX století byly provedeny, která ukázala, že dokonalá čísla setkáme ještě vzácnější. Tak, od 1020 do 1036, není dokonalé číslo, a pokud budete postupovat Iamblichus, pak by měl být čtyři.

Spíše je to obtížné najít taková čísla vedla k posílení jejich tajemné vlastnosti. I když, na základě biblického příběhu, jeho vědci k závěru, že svět byl stvořen opravdu krásné a dokonalé, protože počet dní stvoření - je to 6. Ale člověk není dokonalý, jak byl vytvořen a žije v dolní části sedmé. Jeho úkolem však je usilovat o dokonalost.

Zajímavé jsou následující skutečnosti:

• 8 lidí bylo zachráněno v Noemově archě po potopě. Také v něm bylo zachráněno sedm párů čistých a nečistých zvířat. Pokud shrneme všechny pozůstalé v Noé Archě, objeví se číslo 28, což je dokonalé.
• Ruce člověka jsou dokonalým nástrojem. Mají 10 prstů, které jsou vybaveny 28 falangy.
• Měsíc provádí oběžné revoluce každých 28 dní.
  

Pythagorians číslo 6 byly považovány za psychogenní. Geometrický symbol odpovídající číslu 6 je hexagram.

Když nakreslíte čtverec, můžete v něm kreslit úhlopříčky. Pak bude snadno vidět, že jeho vrcholy jsou spojeny 6 segmentem. Pokud děláte totéž s krychlí, získáte 12 okrajů a 16 diagonálů (12 tváří, 4 kostky). V součtu získáme 28. Analogická situace bude s čtyřstěnem, jehož vrcholy jsou spojeny 6 hranami. Osmiúhelník se také podílí na perfektním počtu 28 (20 úhlopříček plus 8 stran). Sedmibrázová pyramida má 7 okrajů a 7 stran základny se 14 úhlopříčkami. Celkem je toto číslo 28.

Zajímavé výpočty

Takže dokonalým číslem je číslo, které se rovná součtu dělitelů:

1 + 2 + 3 + hellip- + n

Jsou přidáni všichni dělitelé, kteří jsou menší než samotné číslo.

Každé ideální číslo s výjimkou 6 je částečný součet řady sestávající z lichých čísel ve třetím stupni: 13 + 33 + 53 + hellip- nsup3-.

Další překvapující vlastnost těchto čísel je následující: Součet reciprocals na dělitele, včetně stejného počtu, aby vždy 2. Například se 28, pak 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/7 + 1 / 14 + 1/28 = 2.

Jak bylo řečeno výše, všechny čísla, které lze nalézt pomocí vzorce Euclidu, budou rovnoměrné. Až dosud nevíme liché ideální čísla. Jistě, nedávno se objevil velký průlom ve vědě o matematice a zejména v oblasti dokonalých čísel. Problém studování těchto matematických pojmů však zůstává otevřený. Dokonce i když předpokládáme existenci lichého ideálního čísla, bude muset být větší než 10 300 a minimálně 75 nejdůležitějších dělitelů, s přihlédnutím k rozmanitosti (9 z nich musí být odlišné).

Je také zcela nepochopitelné, je počet dokonalých čísel konečný, nebo je omezený?

Dokonce i dokonalá čísla jsou ekvivalentní součtu po sobě následujících přirozených čísel. Jinými slovy, jsou trojúhelníkové.

Čísla, která mohou být napsána jako 2p - 1, se nazývají čísla Mersenne. Každé takové číslo má odpovídající číslo. Totéž lze říci naopak: každé ideální číslo odpovídá číslu Mersenne.

Dalším důležitým objevem byl vztah mezi binární a dokonalostí. Pokud se podíváte pozorně, vidíme spojení s geometrickým vývojem.

Vedle dokonalé, stojí za zmínku přátelské čísla. Jedná se o dvě čísla, na která je pravidlo typické: každý je ekvivalentní součtu dělitelů druhého. Menší z nich jsou 220 a 284. Pythagorové byli známí. Byly jim uděleny status přátelského symbolu. Další pár byl otevřen v roce 1636. To je 17 296 a 18 416. Tento přátelský pár se stal známým díky francouzskému právníkovi a matematici Pierre Ferme.

Ale v roce 1867 šokoval matematickou světové zprávy z šestnácti italského Niccolo Paganini (jmenovec slavného houslisty), který ohlásil přátelské dvojice čísel 1184 a 1210. To je nejblíže k 220 a 284. S překvapením, pár přehlédl všechny význačné matematiky, která studuje spřátelená čísla .