Georg Kantor: Teorie množin, biografie a rodinná matematika

George Cantor (uvedený níže v článku) je německý matematik, který vytvořil teorii množin a představil koncept transfinitních čísel, nekonečně velkých, ale lišících se od sebe. Dále dal definici pořadových a kardinálních čísel a vytvořil jejich aritmetiku.

George Cantor: krátká biografie

Narodil se v Petrohradě dne 03/03/1845. Jeho otcem byl Dane protestantského náboženství Georg-Valdemar Kantor, který se podílel na obchodu, včetně burzy. Jeho matka Maria Boehmová byla katolická a pocházela z rodiny vynikajících hudebníků. Když v roce 1856 zemřela Georgova otec, rodina se přestěhovala do Wiesbadenu a poté do Frankfurtu, aby hledala mírnější klima. Chlapec má matematické nadání se objevil před jeho 15. narozeninami při studiu na soukromých školách a tělocvičích v Darmstadtu a Wiesbadenu. Nakonec Georg Kantor přesvědčil svého otce v jeho pevném záměru stát se matematikem, ne inženýrem.

Po krátkém tréninku na univerzitě v Curychu v roce 1863. Cantor byl převeden na berlínské univerzitě studovat fyziku, filozofii a matematiku. Tam ho učil:

• Karl Theodor Weierstrass, jehož specializace v analýze pravděpodobně měla největší vliv na Georga;
• Ernst Eduard Kummer, který učil vyšší aritmetiku;
• Leopold Kronecker, odborník na teorii čísel, který se následně postavil proti Cantoru.

Poté, co strávil jeden semestr na univerzitě v Göttingenu v roce 1866, příští rok George napsal svou doktorskou práci s názvem „V matematice, umění klást otázky je cennější než řešení problémů“, pokud jde o problém, který Carl Friedrich Gauss nevyřešeny v jeho Disquisitiones Arithmeticae (1801) , Poté, co krátce učil na berlínské škole pro dívky Kantor začal pracovat na univerzitě v Halle, kde zůstal až do konce svého života, nejprve jako odborný asistent, od roku 1872 jako odborný asistent a od roku 1879 nejprve jako profesor.

Výzkum

Na počátku série deseti děl z let 1869 až 1873 George Cantor zkoumal teorii čísel. Práce odráží fascinaci subjektu, jeho studium Gauss a vliv Kronecker. Na návrh Heinrich Eduard Heine, Cantorův kolegové z Halle, který rozpoznal jeho matematický talent, se obrátil k teorii trigonometrických řad, který rozšířil pojetí reálných čísel.

od trigonometrické sérii - na pracovní funkce komplexní proměnné německý matematik Bernhard Riemann v roce 1854, v roce 1870 Cantor ukázala, že tato funkce může být zastoupena pouze jedním způsobem bázi. Zvažování součtu čísel (bodů), které by tento názor neodporovaly, vedlo v roce 1872 k definici iracionální čísla ve smyslu konvergentní sekvence racionální čísla (frakce celých čísel) a potom na začátek prací na celoživotní dílo, teorie množin a konceptu transfinite čísel.

Teorie množin

Georg Cantor, teorie, které nastaví svůj původ v souladu s technickým institutem Braunschweig matematik Richard Dedekind, přátelil se s ním od dětství. Došli k závěru, že množiny, konečný nebo nekonečný, obsahuje větší počet prvků (např čísel {0, ± 1, ± 2 ...}), které mají určitou vlastnost, při zachování jejich individualitu. Ale když Georg Cantor použita ke studiu jejich vlastností korespondence (např, {A, B, C} až {1, 2, 3}), rychle si uvědomil, že se liší ve stupni příslušnosti, a to i kdyby to bylo nekonečné množiny , t. j. sady kus nebo část, která obsahuje stejný počet objektů, jak je to samo. Jeho metoda brzy dal úžasné výsledky.

V roce 1873, Georg Cantor (matematik) ukázala, že racionální čísla, když nekonečný, jsou spočetná, protože mohou být v jedné ku jedné korespondenci s přírodní (tj. E 1, 2, 3 ,. D.). Ukázal, že množina reálných čísel sestávajících z racionální a iracionální, a nespočetné nekonečno. Jaký to paradox, Cantor dokázal, že množina všech algebraických čísel obsahuje tolik prvků jako množinu všech celých čísel, a to transcendentní čísla, která nejsou algebraická, které jsou podmnožinou iracionálních čísel je nespočetná, a proto jejich počet je větší než celá čísla a měly by být považovány za nekonečné.

Oponenti a příznivci

Cantorova práce, ve které tyto výsledky poprvé předložila, však nebyla publikována v časopise Krell, protože jeden z recenzentů, Kronecker, byl kategoricky proti. Ale po Dedekindově zásahu byl vydán v roce 1874 pod názvem "O charakteristických vlastnostech všech skutečných algebraických čísel".

Věda a osobní život

Ve stejném roce, během líbánek se svou ženou, Valli Gutman ve švýcarském Interlakenu, Cantor splněny Dedekind kteří laskavě komentoval svou novou teorii. Georgeův plat byl malý, ale s penězi svého otce, který zemřel v roce 1863, postavil dům pro svou ženu a pět dětí. Mnoho z jeho prací byly publikovány ve Švédsku v novém časopisu Acta Mathematica, editor a zakladatel který byl Gösta Mittag-Leffler, mezi první rozpoznat talent německého matematika.

Vztah s metafyzií

Teorie Cantor byl zcela nový předmět výzkumu týkajícího se matematický nekonečna (např., Sekvence 1, 2, 3 ,. D., a další komplexy), které je do značné míry závislé na one-to-one korespondence. Kantorův vývoj nových metod vyvolávání otázek o kontinuitě a nekonečnosti dal jeho studiám nejednoznačný charakter.

Když tvrdil, že nekonečné množství skutečně existují, se obrátil k antické a středověké filosofie s ohledem na skutečné a potenciální nekonečna, stejně jako na počátku náboženské výchovy, který mu rodiče dali. V roce 1883, ve své knize The Foundations of General Theory, Cantor spojil svůj koncept s metafyzikou Platina.

Kronecker také, kdo tvrdil, že „existují“ jen celá čísla ( „Bůh stvořil celá čísla, zbytek - dílem člověka“), pro mnoho let důrazně odmítl jeho argumenty a zabránit jeho jmenování na univerzitě v Berlíně.

Překonečné čísla

V letech 1895-97. Georg Cantor plně tvořil jeho představu o kontinuitě a nekonečnem, včetně nekonečného sledu a základních čísel, ve své nejslavnější dílo, publikované pod názvem „Příspěvek k teorii transfinite čísel“ (1915). Tato práce obsahuje jeho koncept, ke kterému byl veden demonstrací, že nekonečný soubor může být zařazen do individuální korespondence s jednou z jeho podmnožin.

Nejmenší transfinite číslovka má na mysli moc jakýkoli soubor, který může být uveden do one-to-one korespondence s přirozenými čísly. Cantor mu to nazval "alef-nula". Velké množství transfinitní Alef-určený jeden, dva nebo Alef-t. D. dále rozvíjena aritmetické ordinals, který byl podobný konečných aritmetiky. Takto obohatil pojem nekonečna.

Opozice, kterou čelil, a čas, který trval, než se jeho myšlenky plně přijaly, je vysvětleno obtížemi přehodnocení staré otázky o tom, co je číslo. Cantor ukázal, že množina bodů na linii má vyšší výkon než alef-nula. To vedlo k známému problému hypotézy kontinua - mezi alefovou nulou a silou bodů na linii neexistují žádné kardinální čísla. Tento problém v první a druhé polovině 20. století vzbudil velký zájem a byl studován mnoha matematiky, včetně Kurt Gödel a Paul Cohen.

Deprese

George Cantorova biografie z roku 1884 byla zastíněna duševní chorobou, která s ním začala, ale aktivně pokračoval v práci. V roce 1897 pomohl uskutečnit první mezinárodní matematický kongres v Curychu. Částečně proto, že na rozdíl Kronecker, často sympatizoval s mladými pučící matematiky a snažil se najít způsob, jak je zachránit z obtěžování ze strany učitelů, kteří se cítí být ohroženi novými nápady.

Rozpoznávání

Na přelomu století jeho práce byla plně uznána jako základ teorie funkcí, analýzy a topologie. Kromě toho, Georg Cantor kniha sloužila jako impuls pro další rozvoj formalist a intuitionist školy logických základů matematiky. To významně změnilo systém výuky a je často spojováno s "novou matematikou".

V roce 1911 byl Kantor mezi pozvanými na oslavu 500. výročí založení St. Andrews University ve Skotsku. Šel tam a doufal, že se setká s Bertrandem Russellem, který v nedávno publikovaném díle Principia Mathematica opakovaně odkazoval na německého matematika, ale nestalo se tak. Univerzita udělila Cantorovi čestný titul, ale kvůli nemoci nemohl přijmout toto ocenění osobně.

Kantor odešel do důchodu v roce 1913, žil v chudobě a během první světové války hladověl. Slavnosti na počest 70. narozenin v roce 1915 byly zrušeny kvůli válce, ale v jeho domě se konal malý ceremoniál. Zemřel 6. ledna 1918 v Halle, v psychiatrické léčebně, kde strávil poslední roky svého života.

George Cantor: biografie. Rodina

9. srpna 1874 se německý matematik oženil s Vali Gutman. Pár měl 4 syny a 2 dcery. Poslední dítě se narodilo v roce 1886 v novém domě, který koupil Cantor. K udržení rodiny mu pomáhalo jeho otcovo dědictví. Na zdraví Cantor velmi ovlivnil smrt jeho nejmladšího syna v roce 1899 - od té doby nebyl depresivní.