Iracionální čísla: co je to a na co se používají?

Co jsou to iracionální čísla? Proč jsou tzv. Kde jsou používány a jaké jsou? Jen málo může odpovědět na tyto otázky bez váhání. Ve skutečnosti jsou však odpovědi na ně zcela jednoduché, i když ne všechny jsou potřebné ve velmi vzácných situacích

Podstata a označení

Iracionální čísla jsou nekonečné neperiodické desetinných zlomků. Potřeba zavádět tento koncept je dána skutečností, že pro řešení nových vznikajících problémů nebylo dosud existujících konceptů skutečných nebo skutečných celočíselných, přirozených a racionálních čísel. Například, aby bylo možné vypočítat efektivní hodnota je 2, je nutné použít neperiodický nekonečný desetinný zlomek. Navíc mnohé z nejjednodušších rovnic nemají řešení bez zavedení konceptu iracionálního čísla.

Tato množina je označena jako I. A jak je zřejmé, tyto hodnoty nemohou být reprezentovány ve formě jednoduché frakce, v čitateli které je celé číslo a v jmenovateli - přirozené číslo.

Poprvé se indický matematici v sedmém století setkali s tímto jevem BC, kdy bylo zjištěno, že čtvercové kořeny určitých množství nemohou být jasně označeny. A první důkaz existence těchto čísel je připsán Pythagorean Gippus, který to učinil v procesu studování rovnoramenného pravého trojúhelníku. Významným příspěvkem k studiu tohoto souboru přinesli někteří další učenci, kteří žili před naší dobou. Zavedení konceptu iracionálních čísel vedlo k revizi stávajícího matematického systému, a proto jsou tak důležité.

Původ názvu

Pokud je poměr v překladu z latiny "frakce", "poměr", předpona "ir"
dává tomuto slovu opačný význam. Název sady těchto čísel znamená, že nemohou být korelovány s celočíselným nebo částečným, mají oddělené místo. To vyplývá z jejich podstaty.

Umístěte do obecné klasifikace

Iracionální čísla spolu s racionálními čísly se vztahují ke skupině reálných nebo reálných čísel, které se pak vztahují na složité. Neexistují žádné podmnožiny, ale rozlišují mezi algebraickou a transcendentní odrůdou, kterou budeme diskutovat níže.

Vlastnosti

Vzhledem k tomu, že iracionální čísla jsou součástí souboru reálných čísel, platí pro ně všechny jejich vlastnosti, které jsou studovány v aritmetice (jsou také nazývány základními algebraickými zákony).

a + b = b + a (komutativita);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativita);

a + 0 = a;

a + (-a) = 0 (existence protikladného čísla);

ab = ba (zákon o vysídlení);

(ab) c = a (bc) (distributivita);

a (b + c) = ab + ac (distribuční zákon);

a x 1 = a

a x 1 / a = 1 (existence inverzního čísla);

Srovnání se provádí také v souladu se všeobecnými zákony a zásadami:

Pokud a> b a b> c, potom a> c (přechodnost vztahu) a. a tak dále.

Samozřejmě, že všechna iracionální čísla mohou být transformována pomocí základních aritmetických operací. V tomto případě žádná zvláštní pravidla.

Kromě toho iracionální čísla podléhají působení Archimedova axiomu. Uvádí, že pro jakékoliv dvě množství a a b platí následující tvrzení: počítat jako součet dostatečně mnohokrát, lze překročit b.

Použijte

Navzdory skutečnosti, že v běžném životě se s nimi často nemusíte vyrovnávat, iracionální čísla se nepočítají. Existuje spousta z nich, ale jsou téměř neviditelné. Jsme obklopeni iracionálními čísly všude. Příklady, známé všem, - počet pí, rovnající se 3.1415926 ... nebo e, je v podstatě základ přirozeného logaritmu, 2.718281828 ... algebry, trigonometrie a geometrie je používat trvale. Mimochodem, známý hodnota „zlatého řezu“, tedy poměr, kolik z vysokého na nízký a naopak, a odkazuje na tuto sadu. Méně známá "stříbrná" - taky.

Na číselné ose, jsou si velmi blízké, takže mezi dvěma libovolnými množství, na které se vztahuje sadou racionální, iracionální nutně dojít.

Dosud existuje mnoho nevyřešených problémů spojených s touto sadou. Existují taková kritéria jako míra iracionality a normálnosti čísla. Matematici pokračují v zkoumání nejvýznamnějších příkladů jejich příslušnosti ke konkrétní skupině. Například se předpokládá, že e je normální číslo, tj. Pravděpodobnost výskytu různých číslic ve svém záznamu je stejná. Pokud jde o pi, výzkum se stále vyvíjí. Míra iracionality je množství, které udává, jak dobře lze číslo přiblížit racionálním číslům.

Algebraické a transcendentální

Jak již bylo řečeno, iracionální čísla jsou libovolně rozdělena na algebraické a transcendentální. Podmíněně, jelikož přísně řečeno, tato klasifikace se používá k rozdělení sady C.

Pod tímto označením jsou složitá čísla zahrnující skutečná nebo reálná čísla.

Takže algebraický výraz je hodnota, která je kořenem polynomu, který není identicky rovný nule. Například druhá odmocnina 2 bude patřit do této kategorie, protože je řešením rovnice x² - 2 = 0.

Všechna ostatní reálná čísla, která tuto podmínku nesplňují, se nazývají transcendentální. Nejznámější a již zmíněné příklady se týkají této odrůdy - čísla pi a základu přirozeného logaritmu e.

Je zajímavé, že ani jeden, ani ten jiný nebyl původně odvozen matematiky v této funkci, jejich iracionalita a transcendence byly prokázány mnoho let po jejich objevu. Pro důkaz pi byl dán v roce 1882 a zjednodušený v roce 1894, který ukončil debatu o problému kvadratury kruhu, který trval 2,5 tisíc let. To ještě není plně pochopeno, takže moderní matematici mají něco, na čem by se mělo pracovat. Mimochodem, první přesný výpočet této hodnoty byl proveden společností Archimedes. Před ním byly všechny výpočty příliš přibližné.

Pro e (počet Euler nebo Napier), doklad o jeho transcendence byl nalezen v 1873. Používá se při řešení logaritmických rovnic.

Mezi další příklady patří sine, kosinus a tangentní hodnoty pro libovolné algebraické nenulové hodnoty.