Rovnice jsou iracionální a způsoby, jak je vyřešit

Studium algebry, školáci se setkávají s mnoha rovnicemi. Mezi ty, které jsou nejjednodušší, lze volat lineární, které obsahují jedno neznámý. Je-li v určité míře zvýšena proměnná v matematickém vyjádření, pak se rovnice nazývá čtvercová, kubická, bivadratická a tak dále. Tyto výrazy mohou obsahovat racionální čísla. Ale existují i ​​iracionální rovnice. Od ostatních se vyznačují přítomností funkce, kde je neznámé pod znaménkem radikály (tj. Je vidět čistě vnější proměnná napsaná pod druhou odmocninou). Řešení iracionálních rovnic má své vlastní charakteristické rysy. Při výpočtu hodnoty proměnné, abyste získali správnou odpověď, je třeba je vzít v úvahu.

"Nevýrazná slova"

Není žádným tajemstvím, že starověcí matematici provozovali hlavně racionální čísla. K tomu, jak víme, jsou celé, vyjádřené obyčejnými a desítkovými periodickými frakcemi, zástupci této komunity. Nicméně vědci ze Středního a Středního východu, stejně jako Indie, vyvíjející trigonometrii, astronomii a algebru, iracionální rovnice se také naučili vyřešit. Například Řekové věděli takové množství, ale vkládající je do slovní podoby používal termín "alogos", což znamenalo "nevýslovnou". O něco pozdější Evropané, jimiž je napodobují, nazývají taková čísla "hluchými". Ze všech ostatních se liší tím, že mohou být zastoupeny pouze ve formě nekonečné neperiodické frakce, jejíž konečné číselné vyjádření je prostě nemožné získat. Proto jsou častěji takoví zástupci řady čísel psaní ve formě čísel a znamení jako nějaký výraz, který je pod kořenem druhého nebo vyššího stupně.

Na základě výše uvedeného se pokusme definovat iracionální rovnici. Takové výrazy obsahují tzv. "Nevýrazná čísla" zapsaná pomocí znaménka odmocniny. Mohou představovat nejrůznější spíše složité varianty, ale ve své nejjednodušší formě mají formu zobrazenou na fotografii níže.

Když se zaměříme na řešení iracionálních rovnic, je třeba nejdříve vypočítat rozsah přípustných hodnot proměnné.

Má tento výraz smysl?

Nutnost kontroly získaných hodnot vyplývá z vlastností aritmetického odmocniny. Jak víte, takový výraz je přijatelný a má nějaký význam jen za určitých podmínek. V případech kořenu rovnoměrného stupně musí být všechny podřízené výrazy kladné nebo rovno nule. Není-li tato podmínka splněna, pak předložená matematická notace nemůže být považována za smysluplnou.

Uveďme konkrétní příklad toho, jak řešit iracionální rovnice (na fotografii níže).

V tomto případě je zřejmé, že uvedené podmínky nemohou být splněny u jakýchkoli hodnot přijatých požadovaným množstvím, protože se ukázalo, že 11 le-x 4. To znamená, že pouze Ø může být řešením.

Metoda analýzy

Z výše uvedeného je jasné, jak řešit iracionální rovnice některých typů. Zde může být jednoduchá analýza efektivní.

Uveďme řadu příkladů, které opět jasně demonstrují (na fotografii níže).

V prvním případě, při bližším zkoumání výrazu, je okamžitě jasné, že to nemůže být pravda. Vskutku, na levé straně rovnice musí být získáno kladné číslo, které se v žádném případě nemůže rovnat -1.

Ve druhém případě může být součet dvou pozitivních výrazů považován za rovný nule, pouze když x = 3 = 0 a x + 3 = 0 současně. Ale to je opět nemožné. Takže odpověď by měla znovu napsat Ø.

Třetí příklad je velmi podobný tomu, který již byl zvažován. Protože zde podmínky DSA vyžadují, aby byla splněna následující absurdní nerovnost: 5 lex 2. Taková rovnice nemůže mít stejné zvukové řešení stejným způsobem.

Neomezené přiblížení

Povaha iracionálního může být jasně a úplně vysvětlitelná a známá pouze nekonečnou řadou desetinných čísel. Jeden konkrétní a živý příklad od členů této rodiny je pi-a. Ne bez důvodu se předpokládá, že tato matematická konstanta je známá od dávných dob, používá se při výpočtu obvodu a oblasti kruhu. Ale mezi Evropany to poprvé použil v praxi Angličan William Jones a švýcarský Leonard Euler.

Tato konstanta se zobrazuje následovně. Pokud srovnáváte různé délky kolem obvodu, poměr jejich délky a průměrů se nutně rovná stejnému číslu. Toto je pi-a. Pokud ji vyjádříme z hlediska obyčejné frakce, získáme přibližně 22/7. Poprvé to udělal velký Archimedes, jehož portrét je znázorněn na obrázku výše. Proto se podobné jméno dostalo jeho jména. Ale to není zřejmá, ale přibližná hodnota téměř tak překvapivého čísla. Geniální vědec v rozmezí 0,02 nalezeno požadované množství, ale ve skutečnosti je tato konstanta není skutečná hodnota, a je vyjádřena jako 3,1415926535hellip- Je to nekonečný počet číslic, nekonečně blíže mýtickém hodnotu.

Čtverec čtvercový

Vraťme se k iracionálním rovnicím. K nalezení neznáma, v tomto případě se velmi často uchýlí k jednoduché metodě: postaví obě části stávající rovnosti na čtverec. Taková metoda obvykle dává dobré výsledky. Musíme však vzít v úvahu přehnané iracionální hodnoty. Měly by být zkontrolovány všechny kořeny, které by z toho vyplývaly, protože nemusí být vhodné.

Ale budeme i nadále zvažovat příklady a pokusíme se najít proměnné nově navrženým způsobem.

Je velmi jednoduché pomocí Vietovy věty najít požadované hodnoty veličin poté, co se určitá kvadratická rovnice vytvořila jako výsledek určitých operací. Zde se ukazuje, že mezi kořeny budou 2 a -19. Při ověření a nahrazení získané hodnoty v počátečním výrazu se však můžete ujistit, že žádný z těchto kořenů není vhodný. Toto je častý jev v iracionálních rovnicích. Proto naše dilema opět nemá řešení a odpověď by měla naznačovat prázdnou sadu.

Příklady jsou složitější

V některých případech je nutné rozdělit obě části výrazu, nikoliv jeden, ale několikrát. Zvažte příklady, kdy je to nutné. Mohou být vidět níže.

Po obdržení kořenů nezapomeňte je zkontrolovat, protože mohou být navíc. Mělo by být vysvětleno, proč je to možné. Při použití této metody je rovnice racionalizována nějakým způsobem. Ale zbavíme-li se kořenů, které se nám nelíbí, což nám brání v provádění aritmetických operací, rozšiřujeme existující rozsah významů, které jsou plné následků (jak tomu rozumíte). Předpokládáme, že provádíme kontrolu. V tomto případě je možné zajistit, že je vhodný pouze jeden z kořenů: x = 0.

Systémy

Co dělat v případech, kdy je třeba vyřešit systémy iracionálních rovnic, a my nemáme žádné, ale dvě neznámé? Postupujeme stejným způsobem jako v obvyklých případech, ale s přihlédnutím k výše uvedeným vlastnostem daných matematických výrazů. A v každém novém úkolu je samozřejmě třeba použít kreativní přístup. Ale opět je lepší zvážit vše na konkrétním příkladu uvedeném níže. Zde není jen nutné najít proměnné x a y, ale také v odpovědi uvést jejich součet. Existuje tedy systém obsahující iracionální veličiny (viz foto níže).

Jak můžete vidět, tento úkol nepředstavuje nic nadpřirozene složitého. Je nutné pouze ukázat chytrnost a odhadnout, že levá strana první rovnice je čtverec sumy. Podobné úkoly naleznete v USE.

Iracionální v matematice

Pokaždé, když v lidstvu vznikla potřeba vytvářet nové typy čísel, když mu chyběla "prostor" pro řešení některých rovnic. Iracionální čísla nejsou výjimkou. Jak to svědčí fakta z dějin, poprvé velcí mudrci k tomu věnovali ještě před naší éry, ve století VII. Tento matematik z Indie, známý jako Manav. Jasně pochopil, že není možné získat kořen od některých přirozených čísel. Například, to jsou 2-17 nebo 61, stejně jako mnoho dalších.

Jedním z Pythagoreans volal Hippasus myslitel, přišel ke stejnému závěru, snaží se provádět výpočty s číselnými výrazy Pentagram stranách. Otevření matematické prvky, které nemohou být vyjádřeny v číselnými hodnotami a nemají vlastnosti běžných čísel, byl tak rozhněván své kolegy, který byl hozen přes palubu do moře. Skutečnost, že ostatní Pythagoreans považována její argumenty vzpouru proti zákonům vesmíru.

Radikální znamení: evoluce

Kořenový znak pro vyjádření číselné hodnoty "neslyšících" čísel byl použit k vyřešení iracionálních nerovností a rovnic daleko od okamžiku. Poprvé evropští, zejména italští, matematici začali přemýšlet o radikálovi asi v 13. století. Současně pro označení, vynalezený k použití latiny R. Ale němečtí matematici dělali svou práci jinak. Více se podobá písmenu V. V Německu se krátce rozšířila notace V (2), V (3), která měla vyjádřit druhou odmocninu 2, 3 a tak dále. Později Holanďan zasáhl a změnil znamení radikálu. A Rene Descartes dokončil vývoj, přinášející znamení odmocniny kořene k moderní dokonalosti.

Zbavte se iracionálnosti

Iracionální rovnice a nerovnosti mohou zahrnovat proměnnou nejen pod znaménkem druhé odmocniny. Může to být jakýkoli stupeň. Nejběžnějším způsobem, jak se ho zbavit, je schopnost zvýšit obě strany rovnice do odpovídajícího stupně. Toto je hlavní akce, která pomáhá při řešení iracionálních. Opatření v několika případech se nijak zvlášť liší od těch, které jsme dříve dříve demontovali. Zde je třeba vzít v úvahu podmínky pro negativitu exprese radikandu a na konci řešení je nutné vyčíslit vnější hodnoty proměnných způsobem, který byl ukázán v již popsaných příkladech.

Z dodatečných transformací, které pomáhají nalézt správnou odpověď, se často používá vynásobení výrazu do konjugovaného výrazu a často se vyžaduje zavedení nové proměnné, což usnadňuje řešení. V některých případech, pokud chcete zjistit hodnotu neznámého, doporučujeme použít grafy.