Jak najít minimální a maximální body funkce: funkce, metody a příklady

Funkce a studium jeho vlastností zaujímá jednu z klíčových kapitol v moderní matematice. Hlavní složkou libovolné funkce jsou grafy, které představují nejen její vlastnosti, ale také parametry derivace této funkce. Podívejme se na toto obtížné téma. Takže, jak nejlépe najít maximální a minimální body funkce?

Funkce: Definice

Jakákoli proměnná, která nějak závisí na hodnotách jiného množství, může být nazývána funkcí. Například funkce f (x²) je kvadratická a určuje hodnoty pro celou sadu x. Předpokládejme, že x = 9, potom bude hodnota naší funkce 9²= 81.

Funkce se objevují ve všech typů: logické, vektoru, logaritmické, trigonometrických a další číselné. Studovali tak vynikající mysl jako Lacroix, Lagrange, Leibniz a Bernoulli. Jejich práce slouží jako pevnost v moderních způsobech studia funkcí. Před nalezením minimálních bodů je velmi důležité pochopit samotný význam funkce a jejího derivátu.

Derivát a jeho role

Všechny funkce jsou závislé na jejich proměnných, což znamená, že mohou kdykoli změnit svou hodnotu. Na grafu to bude reprezentováno jako křivka, která se potom spustí, pak se zvedne podél osy (to je celá sada číslic "y" podél svislice grafu). Definice bodu maxima a minima funkce je tedy spjata s těmito "kolísáními". Vysvětlíme, jaký je tento vztah.

Odvození libovolné funkce je zobrazeno na grafu, aby bylo možné studovat její hlavní charakteristiky a vypočítat, jak rychle se funkce změní (tj. Změní její hodnotu v závislosti na proměnné "x"). V době, kdy se funkce zvyšuje, se také zvýší graf jeho derivátu, avšak za jakoukoli sekundu se funkce může začít snížit a potom se derivátový graf sníží. Body, od kterých derivát přechází od znaménka mínus k znaménku plus, se nazývají minimální body. Abyste věděli, jak najít minimální body, měli byste lépe porozumět pojetí derivátu.

Jak vypočítat derivát?

Definice a výpočet derivátu funkce zahrnuje několik konceptů diferenciální počet. Obecně platí, že samotná definice derivátu může být vyjádřena následovně: je to hodnota, která udává rychlost změny funkce.

Matematický způsob, jak ji definovat pro mnoho studentů, se zdá komplikovaný, ale ve skutečnosti je vše mnohem jednodušší. Je nutné pouze dodržovat standardní plán pro nalezení derivátu jakékoliv funkce. Níže popisujeme, jak lze najít minimální bod funkce, aniž bychom použili pravidla diferenciace a aniž bychom se naučili derivační tabulku.

1. Vypočtěte derivaci funkce pomocí grafu. Chcete-li to provést, musíte funkci zastupovat sama, a pak na ni zaujměte jediný bod (bod A na obr.). Svisle směrem dolů nakreslete čáru na osu úsečky (bod x₀) a v bodě A nakreslete tečnu na graf funkce. Osa úsečky a tangenta tvoří úhel a. Chcete-li vypočítat hodnotu, jak rychle roste funkce, je nutné vypočítat tečnu tohoto úhlu a.
2. Ukázalo se, že dotyčnicí úhlu mezi dotyčnicí a směrem osy x je derivátem funkce na malé části s bodem A. Tato metoda je považována za geometrický způsob určení derivátu.

Metody zkoumání funkce

Ve školním programu matematiky je možné najít minimální funkční bod dvěma způsoby. První metoda s pomocí grafu, který jsme již rozložili, ale jak zjistíme číselnou hodnotu derivátu? Chcete-li to provést, musíte se naučit několik vzorců, které popisují vlastnosti derivátu a pomáhají převádět proměnné typu "x" na čísla. Následující metoda je univerzální, takže ji lze aplikovat na téměř všechny druhy funkcí (geometrické i logaritmické).

1. Je nutné rovnotit funkci s derivační funkcí a zjednodušit výraz pomocí pravidel diferenciace.
2. V některých případech, kdy daná funkce, kde „x“ variabilní náklady ve jmenovateli, je nutné určit rozsah povolených hodnot, vypuštění bodu „0“ (v případě prostého důvodu, že v matematiky v žádném případě nelze dělit nulou).
3. Poté je nutné transformovat původní formu funkce na jednoduchou rovnici, která rovná celému výrazu na nulu. Například pokud funkce vypadá takto: f (x) = 2x³+38x, potom podle pravidel diferenciace je jeho derivát f `(x) = 3x²+1. Pak tento výraz transformujeme do rovnice následující formy: 3x²+1 = 0.
4. Po vyřešení rovnice a nalezení bodů "x" je třeba je zastupovat na úsečce a určit, zda je derivát v těchto částech mezi vyznačenými body pozitivní nebo negativní. Po zápisu je jasné, v jakém bodě se funkce začíná snižovat, to znamená, že změní znaménko od negativního na negativní. Tímto způsobem naleznete minimální i maximální body.

Pravidla diferenciace

Nejzákladnější součástí studie funkce a jejího derivátu je znalost pravidel diferenciace. Pouze s jejich pomocí můžete převádět těžkopádné výrazy a velké komplexní funkce. Seznamte se s nimi, existuje spousta z nich, ale všechny jsou velmi jednoduché kvůli pravidelným vlastnostem výkonových i logaritmických funkcí.

1. Odvozená konstanta se rovná nule (f (x) = 0). To je derivát f (x) = x⁵+ x - 160 má podobu: f `(x) = 5x⁴+1.
2. Derivát součtu dvou výrazů: (f + w) `= f`w + fw`.
3. Derivát logaritmické funkce: (log_ad) `= d / ln a * d. Tento vzorec platí pro všechny typy logaritmů.
4. Derivace stupně: (xⁿ) `= n * x<sup>n-1</sup>. Například (9x<sup>2</sup>) `= 9 x 2x = 18x.
5. Odvozená sinusová funkce: (sin a) `= cos a. Je-li sin z úhlu a 0,5, je jeho derivát radic-3/2.

Extrémní body

Už jsme analyzovali, jak najít minimální body, ale existuje koncept maximálních bodů funkce. V případě, že minimální představuje body, ve kterých je funkce pokračuje v znaménko minus na plus, maximální počet bodů, jsou body na ose x, při které se derivát změny od navíc funkci na protilehlé - mínus.

Maximální body můžete najít podle výše popsané metody, ale měli byste si všimnout, že označují ty části, u kterých se funkce začíná snižovat, to znamená, že derivát bude menší než nula.

V matematice je běžné zobecňovat oba pojmy a nahrazovat je výrazem "extremum body". Když žádal, aby poznal nastavení výchozího bodu, což znamená, že je třeba vypočítat derivaci této funkce, a najít minimální a maximální počet bodů.