Kontinuální funkce

Kontinuální funkce je funkce bez "seskoků", tj. Pro kterou je podmínka splněna: malé změny v argumentu jsou následovány malými změnami v odpovídajících hodnotách funkce. Graf této funkce je hladká nebo kontinuální křivka.

Kontinuita v bodě, který je pro určitou množinu, může být určena pomocí konceptu limitu, a to: funkce musí mít v tomto bodě limit, který se rovná její hodnotě v mezním bodě.

Pokud jsou tyto podmínky v určitém okamžiku narušeny, řekněte, že funkce na daném místě trpí přerušením, tj. Je narušena jeho kontinuita. V limitu jazyka může být bod nespojitosti popsán jako nesoulad hodnoty funkce v diskontinuálním bodě s limitem funkce (pokud existuje).

Bod přerušení může být vyloučen, proto je nutné mít limit funkce, ale neshoduje se s jeho hodnotou v daném bodě. V tomto případě může být v tomto okamžiku "opraveno", tj. Může být rozšířeno na kontinuitu.
Pokud je limit funkce v daném bod není existuje. Existují dva možné varianty zlomových bodů:

• prvního druhu - oba jednostranné limity existují a jsou konečné a hodnota jedné nebo obou z nich se neshoduje s hodnotou funkce v daném okamžiku;
• druhého druhu, kdy jeden nebo oba jednostranné limity neexistují nebo jejich hodnoty jsou nekonečné.

Vlastnosti spojitých funkcí

• Funkce získaná v důsledku aritmetických operací, stejně jako superpozice spojitých funkcí na jejich doméně definice, je také kontinuální.
• Vzhledem k tomu, stálá funkce, která je pozitivní v určitém okamžiku, můžete vždy najít dostatečně malé sousedství, ve kterém bude udržet svůj znak.
• Podobně, jestliže její hodnoty ve dvou bodech A a B jsou stejné, respektive a a b, s jiným než b, pak pro mezilehlé body budou mít všechny hodnoty z intervalu (a - b). Odtud můžeme nakreslit zajímavý závěr: pokud udělíme roztaženou pryžovou pásku, aby se zmenšila, aby nezůstala (zůstala rovná), zůstane jeden z jejích bodů pevný. A geometricky to znamená, že existuje přímka procházející jakýmkoli mezilehlým bodem mezi A a B, který protíná graf funkce.

Poznamenáváme některé z kontinuálních (v oblasti jejich definice) elementárních funkcí:

• konstantní;
• racionální;
• trigonometrická.

Mezi dvěma základními pojmy matematiky - kontinuitou a diferenciabilitou - existuje neoddělitelná vazba. Postačí pouze připomenout, že pro diferenciabilitu funkce je nutné, aby to byla kontinuální funkce.

Je-li funkce v určitém bodě diferencovaná, je kontinuální. Není však nutné, aby byl jeho derivát spojitý.

Funkce, která má kontinuální derivát na určité sadě, patří do samostatné třídy hladkých funkcí. Jinými slovy, je to průběžně diferencovatelná funkce. Pokud má derivát omezený počet bodů zlomu (pouze prvního druhu), pak se podobná funkce nazývá částečně hladká.

Další důležitou koncepcí matematická analýza je jednotná kontinuita funkce, tj. její schopnost být stejně nepřetržitá v libovolném bodě ve své doméně definice. Proto je tato vlastnost považována za množinu bodů a nikoli za samostatnou.

Pokud tento bod opravíme, nedosáhneme nic jiného než definice kontinuity, tj. Existence jednotné kontinuity znamená, že máme souvislou funkci. Obecně řečeno, konverzace není pravdivá. Nicméně, podle Cantorovy věty, je-li funkce spojitá na kompaktu, tedy v uzavřeném intervalu, je na ní rovnoměrně spojitá.