Základy matematické analýzy. Jak najít derivát?

Derivát určité funkce f (x) v určitém bodě x0 je hranice poměru přírůstku funkce k přírůstku argumentu za předpokladu, že x následuje na 0 a hranice existuje. Derivát je obvykle označován jako prime, někdy za bod nebo přes rozdíl. Často rekord přes hranice je zavádějící, protože taková reprezentace se používá extrémně vzácně.

Funkce, která má derivát v určitém bodě x0, je v takovém bodě považována za diferenciovatelnou. Předpokládejme, že D1 je množina bodů, ve kterých je f diferencovaná. Zarovnáním každého číslo čísla x patřící k D frsquo- (x), získáváme funkci s doménou notace D1. Tato funkce je derivátem y = f (x). Označuje se jako: frsquo- (x).

Kromě toho je derivát široce používán ve fyzice a strojírenství. Zvažme nejjednodušší příklad. Materiální bod se pohybuje podél osy souřadnic přímo, podle toho, co je daný zákonem pohybu, to znamená, že souřadnice x tohoto bodu je známá funkce x (t). V průběhu časového intervalu od t0 až t0 + t je roven posunutí bodu x (t0 + t) -X (t0) = x, a jeho průměrná rychlost v (t) rovna x / t.

Někdy povaha pohybu prezentované tak, aby průměrná rychlost se nemění při malých časových intervalech, což znamená, že pohyb s větším stupněm přesnosti je považována za uniformní. Or znamenat rychlosti, jestliže t0 následuje k určité absolutní hodnotě, která se nazývá okamžitá rychlost v (t0) tohoto bodu v určitém okamžiku času t0. Předpokládá se, že okamžitá rychlost v (t) je známa pro jakoukoli diferencovanou funkci x (t), přičemž v (t) je rovna xrsquo- (t). Jednoduše řečeno, rychlost je odvozená z časové souřadnice.

Okamžitá rychlost má jak kladné a záporné hodnoty a hodnota je 0. Pokud je pro určitý časový interval (T1-T2) je pozitivní, pak se bod pohybuje ve stejném směru, tj., X (t) koordinovat se zvyšuje s časem, a pokud v (t) je záporná, pak se souřadnice x (t) snižuje.

V složitějších případech se bod pohybuje v rovině nebo v prostoru. Pak je rychlost vektorovou veličinou a určuje každou ze souřadnic vektoru v (t).

Podobně se dá porovnat se zrychlením pohybu bodu. Rychlost je funkce času, to je v = v (t). A derivací takové funkce je zrychlení pohybu: a = vrsquo- (t). To znamená, že derivací rychlosti s ohledem na čas je zrychlení.

Předpokládejme, že y = f (x) je nějaká diferenciační funkce. Pak můžeme posoudit pohyb hmotného bodu koordinovat linku, který nastává za zákonem x = f (t). Mechanický obsah derivátu umožňuje prezentovat vizuální výklad vět diferenciální počet.

Jak najít derivát? Hledání derivátu funkce se nazývá její diferenciace.

Dáme příklady toho, jak najít odvozenou funkci:

Derivát konstantní funkce je nulový, derivát funkce y = x se rovná jedné.

A jak najít odvozenou frakci? Chcete-li to provést, zvažte následující materiál:

Pro všechny x0<> 0 máme

y / x = -1 / x0 * (x + x)

Existuje několik pravidel pro nalezení derivátu. Konkrétně:

Pokud jsou funkce A a B diferencovány v bodě x0, je jejich součet diferencován v bodě: (A + B) rsquo- = Arsquo- + Brsquo-. Jednoduše řečeno, derivát součtu se rovná součtu derivátů. Pokud je funkce v určitém bodě diferencována, pak její přírůstek klesne na nulu, když je přírůstek argumentu nulový.

Pokud jsou funkce A a B diferencovány v bodě x0, pak je jejich produkt diferencován v bodě: (A * B) rsquo- = Arsquo-B + Abrsquo-. (Hodnoty funkcí a jejich derivátů se vypočítávají v bodě x0). Pokud je funkce A (x) diferencovaná v bodě x0 a C je konstanta, pak se CA v tomto bodě diferencuje a (CA) rsquo- = CArsquo-. To znamená, že takový konstantní faktor je považován za znamení derivátu.

V případě, že funkce A a B jsou diferencované bod x0 a funkce B není roven nule, pak jejich poměr rozlišena na: (A / B) rsquo - = (Arsquo-B-ABrsquo -) / B * B.