Diferenciální kalkul funkce jedné a více proměnných

Diferenciální počet je část matematické analýzy, která zkoumá derivaci, diferenciály a jejich použití při studiu funkcí.

Historie vzhledu

Diferenciální ukázal jako samostatná disciplína ve druhé polovině 17. století, a to díky práci Newtona a Leibniz, který formuloval základní ustanovení pro výpočet diferenciálů a všiml spojení mezi integrací a diferenciace. Vzhledem k tomu, disciplína se vyvinul spolu s výpočtem integrálů, což představuje základ matematické analýzy. Vzhled těchto kamenů otevřela novou moderní období v matematickém světě a způsobil vznik nových oborů ve vědě. Také rozšířila možnost uplatnění matematiky v přírodních vědách a inženýrství.

Základní pojmy

Diferenciální počet je založen na základních pojmech matematiky. Jsou to: skutečné číslo, kontinuita, funkce a omezení. Po chvíli vzali moderní pohled díky integrálnímu a diferenciálnímu počtu.

Tvůrčí proces

Tvorba diferenciálního počtu ve formě aplikace a potom vědecké metody došlo před vznikem filozofické teorie, který byl vytvořen Mikuláš Kusánský. Jeho práce je považována za evoluční vývoj z judikátů starověké vědy. Navzdory tomu, že filozof sám nebyl matematik, jeho přínos k rozvoji matematické vědy je nepopiratelný. CUSA, jeden z prvních ven protihodnoty aritmetiky jako nejpřesnější vědy, matematika uvedení času zpochybněna.

V dávných matematici univerzální kritériem byla jednotka, zatímco filozof navrhla jako nové opatření nekonečna vrátí přesný počet. V této souvislosti je zastoupení přesnosti v matematice obráceno. Vědecké poznatky jsou podle něj rozděleny na racionální a intelektuální. Druhá je podle vědce přesnější, protože první dá pouze přibližný výsledek.

Nápad

Základní myšlenka a koncept diferenciálního počtu se vztahují k funkci v malých sousedstvích určitých bodů. K tomu je nutné vytvořit matematický přístroj pro vyšetřování funkce, jejíž chování v malém sousedství stanovených bodů je blízké chování polynomu nebo lineární funkce. To je založeno na definici derivátu a diferenciálu.

Vznik konceptu derivátů byl způsoben velkým počtem problémů z přírodních věd a matematiky, což vedlo k nalezení hodnot limitů jednoho typu.

Jednou z hlavních úkolů, které jsou uvedeny jako příklad, počínaje třídami střední školy, je stanovení rychlosti bodu v přímce a vytvoření této tečny tečnou. Rozdíl je s tím spojen, jelikož je možné aproximovat funkci v malém sousedství bodu dotyčné lineární funkce.

V porovnání s koncept derivátu funkce skutečné proměnné, definice diferencialů jednoduše přechází na funkci obecné povahy, zejména na obraz jednoho euklidovského prostoru na druhého.

Derivát

Nechť se bod pohybuje po směru osy Oy, v čase, kdy budeme mít x, který se měří od určitého začátku okamžiku. Toto posunutí můžeme popsat funkcí y = f (x), která je spojena s každým časovým momentem x souřadnice souřadného bodu. Tato funkce v mechanice by měla být nazývána zákonem pohybu. Hlavní charakteristika pohybu, zejména nerovnoměrná, je okamžitá rychlost. Když se bod pohybuje podél osy Oy podle zákona mechaniky, pak v náhodném čase x získá souřadnici f (x). V okamžiku momentu x + Delta-x, kde Delta-x znamená přírůstek času, jeho cadinát bude f (x + Delta-x). Takže vzorec je tvořen Delta-y = f (x + Delta-x) -f (x), který se nazývá přírůstek funkce. Je to cesta procházející v čase od x do x + Delta-x.

V souvislosti s výskytem této rychlosti je v okamžiku zaveden derivát. V libovolné funkci se derivát v pevném bodě nazývá limit (pod podmínkou jeho existence). Může být označen určitými symboly:

frsquo- (x), yrsquo-, ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Proces výpočtu derivátu se nazývá diferenciace.

Diferenciální počet funkcí několika proměnných

Tato metoda výpočtu se používá při studiu funkce s několika proměnnými. Za přítomnosti dvou proměnných x a y je částečný derivát s ohledem na x v bodě A nazýván derivátem této funkce vzhledem k x s fixním y.

Mohou být označeny následujícími znaky:

(x, y), ursquo- (x), část-u / část-x nebo část-f (x, y) rsquo- / část-x.

Požadované dovednosti

Aby se úspěšně učil a byl schopen řešit difuzory, vyžadují se dovednosti v integraci a diferenciaci. Abychom usnadnili pochopení diferenciálních rovnic, měli bychom dobře pochopit předmět derivátu a neurčitý integrál. Rovněž to není bolest, když se naučíme hledat derivát implicitní funkce. To je způsobeno tím, že v procesu studia je často nutné používat integrály a diferenciaci.

Druhy diferenciálních rovnic

Prakticky ve všech kontrolních pracích týkajících se diferenciální rovnice prvního řádu, existují 3 typy rovnic: homogenní, s oddělitelnými proměnnými, lineární nehomogenní.

Tam jsou také vzácnější rozmanitosti rovnic: s plnými rozdíly, Bernoulli rovnice a jiní.

Základy řešení

Nejprve je třeba pamatovat algebraické rovnice z kurzu školy. Obsahují proměnné a čísla. Chcete-li vyřešit běžnou rovnici, je nutné najít soubor čísel, které vyhovují danému stavu. Tyto rovnice měly zpravidla pouze jeden kořen a pro ověření správnosti bylo nutné pouze tuto hodnotu nahradit za místo neznámého.

Diferenciální rovnice je podobná. Ve všeobecném případě tato rovnice prvního řádu zahrnuje:

• Nezávislá proměnná.
• Derivát první funkce.
• Funkce nebo závislá proměnná.

V některých případech může být jeden neznámý, x nebo y, ale to není tak důležité, protože je nutné, aby první derivaci, bez derivace vyšších řádů k roztoku a diferenciálního počtu pravdivé.

Řešení diferenciální rovnice je nalezení množiny všech funkcí, které odpovídají danému výrazu. Takový soubor funkcí se často nazývá obecné řešení DW.

Integrální počet

Integrální počet je jednou z částí matematické analýzy, která zkoumá koncept integrálu, vlastnosti a metody výpočtu.

Často výpočet integrálu dochází při výpočtu plochy křivkového tvaru,. Tím mezní plochu, na které může být předem stanovená plocha vepsané tvaru polygonu s postupným nárůstem v ruce, tak na straně dat provedené méně než jakékoliv dříve specifikované libovolné malé hodnoty.

Hlavní myšlenkou při výpočtu plochy libovolného geometrického tvaru je výpočet plochy obdélníku, tj. Prokázání, že jeho plocha je rovna výsledku délky a šířky. Pokud jde o geometrii, pak jsou všechny konstrukce vytvořeny pomocí pravítka a kompasu a poměr délky k šířce je racionální hodnotou. Při výpočtu plochy pravoúhlého trojúhelníku můžete určit, že pokud položíte stejný trojúhelník vedle něj, vytvoří se obdélník. V rovnoběžníku je oblast vypočtena podobnou, ale mírně složitější metodou, přes obdélník a trojúhelník. V polygonech se plocha započítává přes trojúhelníky, které se do ní vkládají.

Při určování milosti libovolné křivky tato metoda nefunguje. Pokud ji rozdělíte na jednotlivé čtverce, budou prázdné mezery. V tomto případě se pokuste použít dvě kryty s obdélníky nahoře a dole, v důsledku toho obsahují graf funkce a nezahrnují. Důležité je způsob rozbití těchto obdélníků. Také, pokud budeme mít stále více a více poruch, pak by oblast shora a dolů měla konvergovat na určitou hodnotu.

Je nutné vrátit se k metodě dělení do obdélníků. Existují dvě populární metody.

Riemann formalizoval definici integrálu vytvořeného Leibnizem a Newtonem jako oblast subgrafu. V tomto případě jsme uvažovali o tvarech sestávajících z množství vertikálních obdélníků a získaných dělením segmentu. Pokud existuje omezení ke snížení zlomu, ke kterému se plocha takového čísla snižuje, tento limit se nazývá Riemannův integrál funkce v daném intervalu.

Druhá metoda je vytvořit Lebesgueův integrál, spočívající v tom, že v místě dělení určené oblasti na části integrandu a sestavení potom integrální součet hodnot získaných v těchto částech, v intervalech rozdělil v rozmezí hodnot, a potom se sčítá s odpovídajícími opatřeními inverzní obrazy těchto integrálů.

Moderní výhody

Jeden z hlavních manuálů studie diferenciálního a integrálního počtu byl napsán Fichtenholzem, "Průběh diferenciálního a integrálního počtu". Jeho učebnice je zásadní pomoc při studiu matematické analýzy, která vydržela mnoho publikací a překladů do jiných jazyků. Vytvořeno pro vysokoškolské studenty a již dlouho je používáno v řadě vzdělávacích institucí jako jeden z hlavních studijních průvodců. Poskytuje teoretické údaje a praktické dovednosti. To bylo poprvé vydáno v roce 1948.

Algoritmus funkčního výzkumu

Pro zkoumání metod diferenciálního počtu je nutné dodržet již definovaný algoritmus:

1. Najděte doménu této funkce.
2. Najděte kořeny dané rovnice.
3. Vypočtěte extrémy. Chcete-li to provést, vypočítat derivát a body, kde se rovná nule.
4. Nahradíme získanou hodnotu do rovnice.

Odrůdy diferenciálních rovnic

DU prvního řádu (jinými slovy, diferenciální počet jedné proměnné) a jejich typy:

• Rovnice s oddělujícími proměnnými: f (y) dy = g (x) dx.
• Nejjednodušší rovnice nebo diferenciální počet funkce jedné proměnné mají vzorec: y `= f (x).
• Lineární nehomogenní DD prvního řádu: y `+ P (x) y = Q (x).
• Diferenciální rovnice Bernoulliho: y `+ P (x) y = Q (x) y^a .
• Rovnice s celkovými diferencemi: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Diferenciální rovnice druhého řádu a jejich typy:

• Lineární homogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantními hodnotami koeficientu: yⁿ+py `+ qy = 0 p, q patří R.
• Lineární nehomogenní diferenciální rovnice druhého řádu s konstantní hodnotou koeficientů: y<sup>n</sup>+py `+ qy = f (x).
• Lineární homogenní diferenciální rovnice: yⁿ+p (x) y `+ q (x) y = 0 a nehomogenní rovnice druhého řádu: y<sup>n</sup>+p (x) y `+ q (x) y = f (x).

Diferenciální rovnice vyšších řádů a jejich typy:

• Diferenciální rovnice, umožňující snížení pořadí: F (x, y^(k),y^{(k + 1)},..,y⁽ⁿ⁾= 0.
• Lineární rovnice vyššího řádu je homogenní: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+...+f₁y `+ f<sub>0</sub>y = 0, a heterogenní: y<sup>(n)</sup>+f<sub>(n-1)</sub>y<sup>(n-1)</sup>+...+f<sub>1</sub>y `+ f₀y = f (x).

Kroky řešení problému s diferenciální rovnicí

S pomocí DU jsou vyřešeny nejen matematické nebo fyzické otázky, ale také různé problémy z biologie, ekonomie, sociologie a tak dále. Navzdory širokému spektru témat by se při řešení těchto problémů mělo řídit jedinou logickou sekvencí:

1. Vypracování DM. Jedna z nejtěžších etap, která vyžaduje maximální přesnost, protože jakákoli chyba vede k zcela nesprávným výsledkům. Je nutné vzít v úvahu všechny faktory ovlivňující proces a stanovit počáteční podmínky. Měla by být také založena na faktech a logických závěrech.
2. Řešení kompilované rovnice. Tento proces je jednodušší než první, protože vyžaduje pouze přísné provedení matematických výpočtů.
3. Analýza a vyhodnocení výsledků. Výsledné řešení by mělo být vyhodnoceno pro stanovení praktické a teoretické hodnoty výsledku.

Příklad použití diferenciálních rovnic v medicíně

Pomocí dálkového ovládání v oblasti medicíny se nachází v konstrukci epidemiologického matematického modelu. Neměli bychom zapomínat, že tyto rovnice jsou také nalezené v biologii a chemii, které jsou blízko k medicíně, protože hraje důležitou roli ve studiu různých biologických populací a chemických procesů v lidském těle.

V případě epidemie lze uvažovat o šíření infekce v izolované společnosti. Obyvatelé jsou rozděleni do tří typů:

• Infikováno, počet x (t), sestávající z jedinců, nosičů infekcí, z nichž každá je nakažlivá (inkubační doba je krátká).
• Druhý druh zahrnuje vnímavé jedince y (t), schopné kontrahovat, když jsou v kontaktu s infikovanými.
• Třetí druh zahrnuje nezvladatelné jedince z (t), kteří jsou imunní nebo zemřeli kvůli nemoci.

Počet osob je konstantní, záznamy o narození, přirozená úmrtí a migrace nejsou zohledněny. V základu budou dvě hypotézy.

Procento onemocnění v určitém časovém bodě je rovno x (t), y (t) (na základě předpokladu, na teorii, že se počet případů, v poměru k počtu průsečíků mezi pacienty a reagujících členy, které jsou v první aproximaci je úměrná x (t), y (t)), v proto počet případů se zvyšuje, a počet citlivých snižuje rychlostí, která se vypočítá podle vzorce ax (t), y (t) (a> 0).

Počet nereagujících zvířat, která uhynula nebo získané imunity, zvyšuje rychlostí, která je úměrná počtu případů, bx (t), (b> 0).

V důsledku toho je možné sestavit systém rovnic zohledňující všechny tři ukazatele a vyvozovat závěry na jeho základě.

Příklad použití v ekonomice

Diferenciální počet se často používá v ekonomické analýze. Hlavním úkolem v ekonomické analýze je studium množství z ekonomiky, které jsou psány ve formě funkce. Používá se při řešení problémů, jako jsou změny v dani z příjmů zvyšuje bezprostředně poté startovného, ​​změny výnosů Při změně hodnoty výrobku, v čem může být podíl nahrazeny vysloužilých zaměstnanců s novým vybavením. K vyřešení takovýchto otázek je třeba vytvořit spojovací funkci z příchozích proměnných, které se potom zkoumají pomocí diferenciálního počtu.

V ekonomické sféře je často nutné nalézt nejoptimálnější ukazatele: maximální produktivitu práce, nejvyšší příjem, nejmenší náklady atd. Každý takový indikátor je funkcí jedné nebo více argumentů. Například produkce může být považována za funkci výdajů na práci a kapitál. V této souvislosti může být hledání vhodné hodnoty sníženo na nalezení maximálního nebo minimálního počtu funkcí z jedné nebo několika proměnných.

Takové problémy vytvářejí třídu extrémních problémů v ekonomické oblasti, pro kterou je nutný diferenciální počet. Je-li požadováno ekonomické indikátor minimalizovat nebo maximalizovat jako funkce dalších parametrů, bude poměr přírůstek funkce maximální bod na argumenty, mají tendenci k nule, když přírůstek argumentu blíží nule. V opačném případě, kdy takový přístup vede k určité kladnou nebo zápornou hodnotu, je určený bod, není vhodný, protože zvýšením nebo snížením argument může být změněn v závislosti hodnotu v požadovaném směru. V terminologii diferenciálního počtu to znamená, že požadovanou podmínkou pro maximální funkci je nulová hodnota jeho derivátu.

V ekonomii se často objevují problémy s nalezením extrému funkce s několika proměnnými, protože ekonomické ukazatele jsou tvořeny mnoha faktory. Podobné otázky jsou dobře studovány v teorii funkcí několika proměnných pomocí metod diferenciálního výpočtu. Takové úkoly zahrnují nejen maximalizované a minimalizované funkce, ale i omezení. Podobné otázky se týkají matematického programování a jsou řešeny pomocí speciálně vyvinutých metod, založených také na této části vědy.

Mezi metodami diferenciálního počtu používaných v ekonomii je důležitá sekce marginální analýza. V ekonomické sféře, termín se odkazuje na sadu metod výzkumu proměnlivé výkonnosti a výsledků, pokud změníte hlasitost o zřízení, spotřeby, na základě analýzy jejich mezních hodnot. Limitní index je derivát nebo částečné deriváty s několika proměnnými.

Diferenciální počet několika proměnných je důležitým tématem z oblasti matematické analýzy. Pro podrobné studium lze využít různé učební pomůcky pro vysokoškolské instituce. Jeden z nejslavnějších vytvořil Fichtenholz - "Kurz diferenciálního a integrálního počtu". Jak je zřejmé z názvu, dovednosti v práci s integrály mají značný význam pro řešení diferenciálních rovnic. Když se provede diferenciální počet funkce jedné proměnné, řešení se stává jednodušším. Přesto je třeba poznamenat, že se řídí stejnými základními pravidly. V praxi vyšetřovat funkci diferenciálního počtu, stačí následovat již existující algoritmus, který je uveden na střední škole, a jen o něco složitější se zavedením nových proměnných.