Neurčitý integrál. Výpočet neurčitých integrálů

Jedním ze základních oborů matematické analýzy je integrální počet. Pokrývá nejširší pole objektů, kde první je neurčitý integrál. Umístění je klíčem, že dokonce i na střední škole odhaluje rostoucí počet perspektiv a příležitostí, které vymezuje vyšší matematika.

Vzhled

Na první pohled se integrál zdá být naprosto moderní, relevantní, ale v praxi se ukazuje, že se objevuje v roce 1800 BC. Vlasti oficiálně považován za Egypt, protože jsme nezískali dřívější důkaz o jeho existenci. On, kvůli nedostatku informací, se tentokrát umístil právě jako fenomén. Opět potvrdil úroveň vývoje vědy mezi národy tehdejší doby. Nakonec byly nalezeny práce starověkých řeckých matematiků, pocházející ze 4. století před naším letopočtem. Popisují metodu, kde je neurčitý integrál, jehož podstatou bylo najít objem nebo oblast křivkového tvaru, (trojrozměrné a dvojrozměrné rovině, v daném pořadí). Výpočet byl založen na principu rozdělení původního obrázku do nekonečně složek, za předpokladu, že množství (oblast), je již známo, že je. V průběhu doby, tato metoda se rozrostla, Archimedes používal to, aby si plochu paraboly. Podobné výpočty současně provádět cvičení ve starověké Číně, kde byli zcela nezávislá z řeckého kolegy vědy.

Vývoj

Dalším průlomem v XI století před naším letopočtem se stalo dílo arabského učence „vůz“ Abu Ali al-Basri, který tlačil hranice již známo, byly odvozeny z integrální vzorec pro výpočet sumy částek a stupňů od první do čtvrté, který žádá o to známe metoda matematické indukce.
Minds jsou dnes obdivovány staří Egypťané vytvořili úžasné památky bez použití speciálních nástrojů, s výjimkou, že z jejich vlastních rukou, ale není mocninou šílení vědci té doby neméně zázrak? Ve srovnání se současnými dobami se zdá, že jejich život je téměř primitivní, ale řešení neurčitých integrálů bylo odvozeno všude a bylo v praxi používáno k dalšímu vývoji.

Další krok se uskutečnil v 16. století, kdy italský matematik Cavalieri vyvodil metodu nedělitelných, kterou získal Pierre Fermat. Právě tito dva jedinci položili základy moderního integrálního počtu, který je v současné době znám. Vázali koncepce diferenciace a integraci, které byly dříve vnímány jako autonomní jednotky. Celkově byla matematika tehdejších časů roztříštěná, část závěrů existovala sama o sobě a měla omezené pole použití. Cesta sjednocení a hledání společného stavu byla v té době jediná správná, díky ní moderní matematická analýza měla příležitost růst a rozvíjet.

S časem se všechno změnilo a také označení integrálu. Celkově to označili vědci, kteří např. Newton používali čtvercovou ikonu, do níž vložil integrovatelnou funkci nebo ji jednoduše umístil. Tato neshoda pokračovala až do 17. století, kdy symbolický vědec Gottfried Leibniz představil symbol, který je nám tak znám, pro celou teorii matematické analýzy. Napínaný "S" je skutečně založen na tomto dopisu latinská abeceda, jelikož označuje součet nederivátů. Jméno bylo dáno integrální díky Jacob Bernoulli po 15 letech.

Formální definice

Neurčitý integrál přímo závisí na definici antiderivanta, proto ji nejprve zvažte.

Primitiva je funkce inverzní k derivátu, v praxi se také nazývá primitivní. Jinak: nepřístupná funkce d je funkce D, jejíž derivát je v <=> V `= v. Hledání antiderivanta je výpočtem neurčitého integrálu a samotný proces se nazývá integrace.

Příklad:

Funkce s (y) = y³, a její nepřístupná S (y) = (y⁴/ 4).

Soubor všech nederivátů z posuzované funkce je neurčitý integrál a je označen následujícím způsobem: int-v (x) dx.

Vzhledem k tomu, že V (x) je pouze primitivou původní funkce, platí následující výraz: int-v (x) dx = V (x) + C, kde C je konstanta. Libovolná konstanta se chápe jako jakákoliv konstanta, protože její derivát je nulový.

Vlastnosti

Vlastnosti, které neurčitý integrál vlastní, jsou založeny na základní definici a vlastnostech derivátů.
Zvažte klíčové body:

• integrál derivátu primitivu je sám o sobě nepřípustný plus libovolná konstanta C <=> int-V `(x) dx = V (x) + C;
• Derivát funkčního integrálu je původní funkce <=> (int-v (x) dx) `= v (x);
• Konstanta je vyňata ze znaménka integrálu <=> int-kv (x) dx = kint-v (x) dx, kde k je libovolné;
• Integrál, který je převzat ze součtu, je shodný s součtem integrálů <=> int (v (y) + w (y)) dy = int - v (y) dy + int - w (y) dy.

Z posledních dvou vlastností lze konstatovat, že neurčitý integrál je lineární. Díky tomu máme: int (kv (y) dy + int-lw (y)) dy = kint-v (y) dy + lint-w (y) dy.

Pro fixaci považujeme příklady řešení neurčitých integrálů.

Je nutné najít integrál int- (3sinx + 4cosx) dx:

• int- (3sinx + 4cosx) dx = int-3sinxdx + int-4cosxdx = 3int-sinxdx + 4int-cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Z příkladu můžeme konstatovat, že nevíme, jak řešit neurčité integrály? Stačí najít všechny antitypické! A zde jsou principy vyhledávání níže.

Metody a příklady

Za účelem vyřešení integrálu se můžeme uchylovat k následujícím metodám:

• použijte hotovou tabulku;
• integrovat podle částí;
• integrovat změnou proměnné;
• subdukce pod znaménkem diferenciálu.

Tabulky

Nejjednodušší a nejpříjemnější způsob. V současné době se matematická analýza může pochlubit poměrně rozsáhlou tabulkou, ve které jsou předepsány základní vzorce neurčitých integrálů. Jinými slovy, existují šablony, které jsou odvozeny před vámi a pro vás, zůstává pouze pro jejich použití. Zde je seznam hlavních polí tabulky, ze kterých lze odvodit téměř každý příklad s řešením:

• int-0dy = C, kde C je konstanta;
• int-dy = y + C, kde C je konstanta;
• int-yⁿdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, kde C je konstanta a n je nenulové číslo;
• int- (1 / y) dy = ln | y | + C, kde C je konstanta;
• int-e^ydy = e^y + C, kde C je konstanta;
• int-k^ydy = (k^y/ ln k) + C, kde C je konstanta;
• int-cosydy = sinický + C, kde C je konstanta;
• int-sinydy = -cosy + C, kde C je konstanta;
• int-dy / cos²y = tgy + C, kde C je konstanta;
• int-dy / sin²y = -ctgy + C, kde C je konstanta;
• int-dy / (1 + y²) = arctgy + C, kde C je konstanta;
• int-chydy = plachý + C, kde C je konstanta;
• int-shydy = chy + C, kde C je konstanta.

V případě potřeby proveďte pár kroků, přidejte integrandu do tabulkového pohledu a užijte si vítězství. Příklad: int-cos (5x-2) dx = 1 / 5int-cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2) + C.

Rozhodnutím je zřejmé, že pro tabulkový příklad integrandu nemá násobitel 5. Přidáme to, vynásobíme 1/5 paralelně, takže se obecný výraz nemění.

Integrace podle částí

Zvažte dvě funkce - z (y) a x (y). Musí být průběžně diferencovány na celé oblasti definice. Podle jedné z vlastností diferenciace máme: d (xz) = xdz + zdx. Začleněním obou stran rovnosti získáváme: int-d (xz) = int- (xdz + zdx) => zx = int-zdx + int-xdz.

Přepsáním výsledné rovnice získáme vzorec, který popisuje způsob integrace podle částí: int-zdx = zx - int-xdz.

Proč je potřeba? Faktem je, že některé příklady mají možnost zjednodušit, relativně řečeno, snížit int-zdx to int-xdz, pokud je druhý v blízkosti formuláře tabulky. Také tento vzorec lze použít více než jednou a dosáhnout optimálního výsledku.

Jak řešit neurčité integrály tímto způsobem:

• je třeba počítat int- (s + 1) e^2sds

int- (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2int-e^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-e^2s/ 4 + C-

• je třeba počítat int-lnsds

int-lnsds = {z = lns, dz = ds / s, y = s, dy = ds} int-s x ds / s = sl ns - int-ds = slns-s + C = s (lns-1) + C.

Variabilní náhrada

Tento princip řešení neurčitých integrálů není o něco méně náročný než předchozí dva, i když je obtížnější. Metoda spočívá v tom, že V (x) je integrálem některé funkce v (x). V případě, že samotný integrál v příkladu je složitý, existuje velká šance na zmatenost a špatnou cestu. Abychom tomu zabránili, přecházíme z proměnné x na z, ve kterém je obecný výraz vizuálně zjednodušen, když závislost z na x je zachována.

V matematickém jazyce to vypadá takto: int-v (x) dx = int-v (y (z)) y `(z) dz = V (z) = V (y^-1(x)), kde x = y (z) je permutace. A samozřejmě i inverzní funkce z = y^-1(x) plně popisuje závislost a vzájemnou souvislost proměnných. Důležitá poznámka - diferenciál dx nutně vyměnit za novou diferenciální dz, protože substituce v neurčitý integrál zahrnuje jej nahradí všude, nejen v integrandu.

Příklad:

• musíte najít int- (s + 1) / (s² + 2s-5) ds

Aplikujeme substituci z = (s + 1) / (s²+2s-5). Pak dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. Výsledkem je následující výraz, který lze velmi snadno vypočítat:

int- (s + 1) / (s²+2s-5) ds = int- (dz / 2) / z = 1 / 2in | z | + C = 1 / 2in | s²+2s-5 | + C;

• je nutné najít integrál int-2^se^sdx

Pro řešení přepíšeme výraz v následujícím tvaru:

int-2^se^sds = int- (2e)^sds.

Označujeme a = 2e (nahrazením argumentu, že tento krok není, je to stále s), dáváme na první pohled komplexní integrální část elementární tabulkové podoby:

int- (2e)^sds = int-a^sds = a^s / lna + C = (2e)^s / ln (2e) + C = 2^se^s / ln (2 + lne) + C = 2^se^s / (ln2 + 1) + C.

Kreslení pod znaménkem diferenciálu

Celkově je tato metoda neurčitých integrálů dvojčatým bratrem principu proměnné náhrady, existují však rozdíly v procesu návrhu. Podívejme se podrobněji.

Pokud (x) dx = V (x) + C a y = z (x), pak int-v (y) dy = V (y) + C.

Současně bychom neměli zapomínat na triviální integrální transformace, mezi které patří:

• dx = d (x + a), kde a je libovolná konstanta;
• dx = (1 / a) d (ax + b), kde a je opět konstanta, ale není rovna nule;
• xdx = 1 / 2d (x² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Pokud vezmeme v úvahu obecný případ, když vypočítáme neurčitý integrál, příklady lze snížit na obecný vzorec w `(x) dx = dw (x).

Příklady:

• musíte najít int- (2s + 3)²ds, ds = 1 / 2d (2s + 3)

int- (2s + 3)²ds = 1 / 2int- (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) x ((2s + 3)²) / 3 + C = (1/6) x (2s + 3)² + C;

int-tgsds = int-sin / cossds = int-d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online nápověda

V některých případech, vina, která může být buď lenost nebo naléhavá potřeba, můžete použít tipy online, nebo spíše používat kalkulačku nejistých integrálů. Navzdory všem zdánlivým složitostem a kontroverzi integrálů jejich řešení podléhá určitému algoritmu, který je založen na principu "jestliže ne ..., pak ...".

Samozřejmě, obzvláště okázalé příklady, jako je tato kalkulačka, nemohou zvládnout, protože existují případy, kdy je třeba řešení nalézt uměle, "násilně" zavádějící určité prvky do procesu, protože nelze dosáhnout jasných způsobů výsledku. Navzdory všem sporům tohoto tvrzení je to pravda, protože matematika je v zásadě abstraktní vědou a považuje za primární úkol rozšířit hranice možností. Je skutečně nesmírně obtížné se pohybovat nahoru a vyvíjet s plynulými teoriími, takže nepředpokládejte, že příklady řešení neurčitých integrálů, které jsme dali, jsou špičkou možností. Vraťme se však k technické stránce věci. Alespoň pro kontrolu výpočtů můžete použít služby, ve kterých bylo před námi napsáno všechno. Pokud je potřeba automatický výpočet složitého výrazu, pak to nemůže udělat, bude se muset uchýlit k závažnějšímu softwaru. Stojí za to věnovat pozornost především prostředí MatLab.

Aplikace

Řešení neurčitých integrálů se na první pohled zdá být úplně rozvedeno od reality, protože je obtížné vidět zřejmé aplikační roviny. Nemohou být nikde přímo použity, jsou však považovány za nepostradatelný přechodný prvek při hledání řešení, která se v praxi používá. Integrace je tedy inversně diferencovaná, díky čemuž se aktivně účastní procesu řešení rovnic.
Tyto rovnice mají přímý dopad na řešení mechanických problémů, výpočet trajektorií a tepelnou vodivost - zkrátka vše, co tvoří současnost a formuje budoucnost. Neurčitý integrál, jehož příklady jsme zvažovali výše, je triviální jen na první pohled, protože je základem pro vytváření stále více nových objevů.