Fourierova transformace. Rychlá Fourierova transformace. Diskrétní Fourierova transformace

Fourierova transformace je transformace, která spojuje funkce s určitou reálnou proměnnou. Tato operace se provádí pokaždé, když slyšíme různé zvuky. Ucho produkuje automatické „výpočet“, které splňují naše mohou vědomí teprve po přezkoumání úseku vyšší matematiky. sluchového orgánu v lidském transformaci konstrukty, ve kterých je zvuk (konvenční vibrační pohyb částic v pružné médiu, které se šíří ve formě vlny v pevné, kapalné nebo plynné médium) za předpokladu, v rozmezí po sobě jdoucích hodnot úrovně hlasitosti tónů různých výšek. Poté mozog přeměňuje tyto informace na známý zvuk.

Matematická Fourierova transformace

Transformace zvukových vln nebo jiných vibračních procesů (ze světelného záření a oceánu a cyklů hvězdné nebo sluneční aktivity) lze také provádět pomocí matematických metod. Za použití těchto technik, funkce může být rozšířena zavedením vibrační procesy uvedené sinusových složek, tj zvlněné křivky, které jdou od minima do maxima a opět na minimum, jako je vlna moře. Fourierova transformace je transformace, jejíž funkce popisuje fázi nebo amplitudu každého sinusoidu odpovídající určité frekvenci. Fáze je počáteční bod křivky a amplituda je její výška.

Fourierova transformace (příklady jsou uvedeny na fotografii) je velmi silný nástroj, který se používá v různých oblastech vědy. V některých případech se používá jako prostředek k řešení poměrně složitých rovnic, které popisují dynamické procesy, které vznikají pod vlivem světla, tepla nebo elektrické energie. V ostatních případech nám umožňuje určit pravidelné komponenty v komplexních oscilačních signálech, díky čemuž je možné správně interpretovat různé experimentální pozorování v chemii, medicíně a astronomii.

Historické pozadí

První osobou, která tuto metodu uplatnila, byl francouzský matematik Jean Baptiste Fourier. Transformace, později pojmenovaná po ní, byla původně použita k popisu mechanismu tepelné vodivosti. Fourier strávil celý svůj dospělý život studiem vlastností tepla. Velmi přispěl k matematické teorii určování kořenů algebraických rovnic. Fourier byl profesorem analýzy na Ecole Polytechnique, tajemníka egyptologického ústavu, byl císařský servis, který způsobil rozruch v době výstavby silnice do Turín (pod jeho vedením byl vypuštěn z více než 80 tisíc kilometrů čtverečních malarických močálů). Avšak tato aktivní aktivita nezabránila vědcům provádět matematickou analýzu. V roce 1802 odvodil rovnici, která popisuje šíření tepla v pevné látce. V roce 1807 vědci objevili způsob řešení této rovnice, která se stala známou jako „Fourierova transformace“.

Analýza tepelné vodivosti

Vědec použil matematickou metodu pro popis mechanismu tepelné vodivosti. Pohodlným příkladem, ve kterém nejsou žádné výpočty potíže, je šíření tepelné energie podél železného prstence ponořeného do jednoho kusu požárem. Pro provedení experimentů Fourier vyhříval červenou část tohoto prstence a zakryl jej v jemném písku. Poté měřil teplotu na opačné straně. Zpočátku je rozložení tepla nepravidelné: část prstence je studená a druhá je horká, mezi těmito zónami může být pozorován ostrý teplotní gradient. Při procesu šíření tepla na celém povrchu kovu se však stává rovnoměrnější. Takže brzy tento proces má formu sinusoidu. Nejprve se graf postupně zvyšuje a také se snižuje hladce, přesně podle zákonů změny kosinusových nebo sinusových funkcí. Vlna se postupně zplošťuje a v důsledku toho se teplota stává stejnou po celém povrchu kruhu.

Podstata analýzy

Aplikace této analýzy na transformaci šíření tepla na pevný předmět s prstencovým tvarem, matematik usoudil, že prodloužení období sinusové složky by vedlo k jeho rychlé tlumení. To je dobře vysledováno na základních a druhých harmonických. V druhém případě teplota dosáhne maximální a minimální hodnoty dvakrát v jednom průchodu a v první pouze jednou. Ukazuje se, že vzdálenost překonaná teplem v druhé harmonické bude polovina, než je hlavní. Kromě toho bude gradient v druhém také dvakrát strmější než první. V důsledku toho, protože intenzivnější tok tepla prochází nejširší vzdáleností, daná harmonická se bude rozpadat čtyřikrát rychleji než základní, jako funkce času. Následující postup bude pokračovat ještě rychleji. Matematik věřil, že tato metoda nám umožňuje vypočítat proces počátečního rozložení teploty v průběhu času.

Výzva k současníkům

Algoritmus Fourierovy transformace se stal výzvou pro teoretické základy matematiky tehdejší doby. Na počátku devatenáctého století, většina prominentních vědců, včetně Lagrange, Laplace, Poisson, Legendrovy a Biot nepřijal jeho tvrzení, že se teplota počáteční rozložení je rozložen do složek ve formě základní vlny a vyšší frekvenci. Akademie věd však nemohla ignorovat výsledky získané matematikem a ocenila jeho cenu za teorii zákonů o vedení tepla a také jej porovnávala s fyzickými experimenty. Ve Fourierově přístupu byla hlavní námitka způsobena skutečností, že diskontinuální funkce je reprezentována součtem několika sinusových funkcí, které jsou spojité. Koneckonců popisují opírající se přímočaré a zakřivené čáry. Současná vědec takové situaci nikdy dochází při nespojité funkce popsané kombinací kontinuální, jako je kvadratická, lineární, sinusové nebo vystavovatele. V případě, že matematik měl pravdu ve svých prohlášeních, součet nekonečné řady trigonometrických funkcí musí být redukován na přesný krok. V té době se takové prohlášení zdálo absurdní. Navzdory pochybnostem však někteří badatelé (např. Claude Navier, Sophie Germain) rozšířili rozsah výzkumu a přesunuli je mimo analýzu distribuce tepelné energie. A matematici i nadále trpěli otázkou, zda součet několika sinusových funkcí může být redukován na přesné zastoupení diskontinuálních.

200 let historie

Tato teorie se rozvinula v průběhu dvou století, dnes se nakonec stala. Svojí pomocí jsou prostorové nebo časové funkce rozděleny do sinusových složek, které mají svou vlastní frekvenci, fázi a amplitudu. Tato transformace se získá dvěma různými matematickými metodami. První z nich se použije v případě, že počáteční funkce je spojitá a druhá - v případě, že je reprezentována množinou diskrétních individuálních změn. Pokud je exprese získané z hodnot, které jsou definovány v diskrétních časových intervalech, může být rozdělena do několika diskrétních sinusové frekvencí výrazy - od nejnižší a pak zdvojnásobil, ztrojnásobil, a tak dále nad základní. Taková částka se obvykle nazývá Fourierovy řady. Pokud je počáteční výraz dán hodnotou pro každé reálné číslo, pak může být rozložen do několika sinusových všech možných frekvencí. Obvykle se nazývá Fourierův integrál a řešení zahrnuje integrální transformace funkce. Bez ohledu na způsob získání transformace by měla být pro každou frekvenci specifikována dvě čísla: amplituda a frekvence. Tyto hodnoty jsou vyjádřeny jako jeden komplexní číslo. Teorie vyjádření komplexních proměnných ve spojení s Fourierovou transformací nám umožnila provádět výpočty pro konstrukci různých elektrických obvodů, analýzu mechanických kmitů, studium mechanismu šíření vln a další.

Fourierova transformace dnes

Studium tohoto procesu v současnosti v podstatě omezuje na nalezení efektivních metod přechodu z funkce na její transformovanou podobu a zpět. Toto řešení se nazývá přímá a inverzní Fourierova transformace. Co to znamená? Za účelem určit integrál a k vytvoření přímé Fourierovy transformace lze použít matematické metody, nebo dokonce i analytické. Navzdory skutečnosti, že při jejich používání v praxi existují určité potíže, většina integrálu již byla nalezena a zahrnutá do matematických referenčních knih. Pomocí numerických metod je možné vypočítat výrazy, jejichž forma je založena na experimentálních datech nebo funkcích, jejichž integrály chybí v tabulkách a jsou obtížně prezentovány v analytické formě.

Před příchodem výpočetní techniky byly výpočty těchto transformací velmi nudné, vyžadovaly ruční provádění velkého počtu aritmetických operací, které závisely na počtu bodů popisujících vlnovou funkci. Pro usnadnění výpočtů dnes existují speciální programy, které umožňují implementaci nových analytické metody. Takže v roce 1965 James Cooley a John Tewki vytvořili software, který se stal známým jako "rychlá transformace Fourier". Ušetří čas výpočtů snížením počtu násobení při analýze křivky. Metoda "rychlá Fourierova transformace" je založena na rozdělení křivky na velké množství jednotných hodnot vzorku. Proto počet násobení je snížen o polovinu se stejným snížením počtu bodů.

Použijte Fourierovou transformaci

Tento proces se používá v různých vědních oborech: teorie čísel, fyzika, zpracování signálu, kombinatorika, teorie pravděpodobnosti, kryptografie, statistika, oceánologie, optika, akustika, geometrie a další. Bohaté možnosti její aplikace jsou založeny na řadě užitečných vlastností, které byly pojmenovány jako "vlastnosti Fourierovy transformace". Zvažte je.

1. Transformace funkce je lineární operátor a odpovídající normalizace je jednotná. Tato vlastnost je známá jako Parsevalova věta, nebo v obecném případě věta Plancherel nebo Pontryagin dualismus.

2. Transformace je reverzibilní. A zpětný výsledek má téměř stejnou formu, jako při přímém řešení.

3. Sinusové základní výrazy jsou vlastní funkce. To znamená, že se taková reprezentace změní lineární rovnice s konstantním koeficientem na běžné algebraické.

4. Podle věty "konvoluce" tento proces přeměňuje komplexní operaci na elementární násobení.

5. Diskrétní Fourierova transformace lze rychle vypočítat na počítači pomocí metody "fast".

Varianty Fourierovy transformace

1. Nejčastěji termín je používán pro označení kontinuální přeměny, které poskytují žádný kvadraticky integrovatelnou výraz jako součet komplexní exponenciální exprese se specifickými úhlové frekvence a amplitudy. Tento druh má několik různých forem, které se mohou lišit konstantními koeficienty. Kontinuální metoda zahrnuje konverzační tabulku, kterou lze nalézt v matematických příručkách. Zobecněný případ je frakční konverze, čímž může být tento proces zvýšena na požadovanou výkonem.

2. Kontinuální metoda je zobecnění rané techniky Fourierovy řady definované pro různé periodické funkce nebo výrazy, které existují v omezené oblasti a reprezentují je jako řady sinusoidů.

3. Diskrétní Fourierova transformace. Tato metoda se používá v počítačové technologii pro vědecké výpočty a pro zpracování digitálních signálů. K provedení tohoto způsobu výpočtu je nutné mít funkce, které určují na diskrétních množinách jednotlivé body, periodické nebo ohraničené domény místo kontinuálních Fourierových integrálů. Převod signálu v tomto případě je reprezentován jako součet sinusoidů. Současně použití metody "rychlé" nám umožňuje aplikovat diskrétní řešení pro všechny praktické úkoly.

4. Fourierova transformace v okně je zobecněná forma klasické metody. Na rozdíl od standardních řešení, pokud je použita spektra signálu, která je přijata v plném rozsahu existenci této proměnné je zvláštním zájmem je zde pouze lokální distribuční frekvence při zachování původní proměnné (čas).

5. Dvourozměrná Fourierova transformace. Tato metoda se používá k práci s dvojrozměrnými datovými sadami. V tomto případě se nejprve transformace provádí v jednom směru a potom v druhém.

Závěr

Dnes je Fourierova metoda pevně zakotvena v různých oblastech vědy. Například v roce 1962 byla forma dvojité DNA helixu objevena pomocí Fourierovy analýzy v kombinaci s rentgenovou difrakcí. Ty byly zaměřeny na krystaly DNA vláken, v důsledku čehož byl snímek získaný během difrakce záření zaznamenán na filmu. Tento obrázek poskytl informace o hodnotě amplitudy při použití transformace Fourier na danou krystalovou strukturu. Údaje o fázi byly získány porovnáním difrakční mapy DNA s mapami získanými při analýze těchto chemických struktur. V důsledku toho biologové obnovili krystalovou strukturu - původní funkci.

Fourierovy transformace hrají obrovskou roli ve studiu vesmíru, fyziky polovodičových materiálů a plazmatu, mikrovlnné akustiky, oceánografie, radaru, seismologie a lékařských průzkumů.