Jak řešit nerovnosti? Jak řešit zlomkové a čtvercové nerovnosti?

Koncept matematické nerovnosti vznikl v extrémní starověku. Toto se stalo, když primitivní člověk potřeboval porovnat a množit počet a velikost počtů a akcí s různými objekty. Počínaje od pradávna používá nerovnosti ve svých argumentech Archimedes, Euclid a dalších slavných vědců: matematiků, astronomů, inženýrů a filozofů.

Ale oni zpravidla používají ve svých dílech slovní terminologii. Poprvé byly v Anglii vymyšleny a uplatňovány moderní znaky pojmů "více" a "méně", jak jsou známy každému dnešnímu školákovi. Matematik Thomas Garriott poskytoval takovou službu potomkům. A stalo se to před čtyřmi stoletími.

Existuje mnoho druhů nerovností. Mezi nimi, jednoduché, obsahující jednu, dvě nebo více proměnných, čtvercových, zlomkových, komplexních vztahů a dokonce reprezentovaných systémem výrazů. A pochopit, jak vyřešit nerovnosti, je nejlepší z různých příkladů.

Nenechte si ujít vlak

Nejprve si představte, že obyvatel venkovské oblasti vlézt do železniční stanice, která se nachází 20 km od vesnice. Aby nebyl pozdě na vlak odjíždějící v 11 hodin, musí opustit dům včas. V jaké hodině je nutné to udělat, pokud je rychlost pohybu 5 km / h? Řešení tohoto praktického problému je omezeno na splnění výrazových podmínek: 5 (11 - X) ge-20, kde X je čas odletu.

To je pochopitelné, protože vzdálenost, kterou musí rolník překonat na stanici, se rovná rychlosti pohybu vynásobené počtem hodin na silnici. Člověk může přijít dříve, ale nemůže jít pozdě. Vědí, jak řešit nerovnosti a uplatňovat své dovednosti v praxi, nakonec dostaneme X le-7, což je odpověď. To znamená, že rolník by měl jít na železniční stanici sedm ráno nebo o něco dříve.

Počet mezery na souřadnicovém řádku

Nyní se dozvíme, jak mapovat popsané vztahy koordinovat linku. Výše uvedená nerovnost není přísná. To znamená, že proměnná může mít hodnoty menší než 7 a může se rovnat tomuto číslu. Dáváme další příklady. Chcete-li to provést, pečlivě zvažte čtyři níže uvedené údaje.

Na první z nich můžete vidět grafické znázornění intervalu [-7- 7]. Skládá se ze souboru čísel umístěných na souřadnicové čáře a ležících mezi -7 a 7, včetně hranic. V tomto případě jsou body na grafu znázorněny ve formě vyplněných kružnic a mezera se zaznamenává pomocí hranaté závorky.

Druhým číslem je grafické znázornění přísné nerovnosti. V tomto případě nejsou hraniční čísla -7 a 7, které jsou zobrazeny punkcionovanými body (nejsou stínované), zahrnuty do zadané množiny. A záznam mezery samotné je uveden v závorce takto: (-7- 7).

To znamená, že zjistit, jak řešit neravenstvatakogo typ, a dostal tuto odpověď, můžeme konstatovat, že se skládá z číslic a je umístěna mezi těmito hranicemi, kromě -7 a 7. těchto dvou případech musí být posuzovány stejným způsobem. Třetí obrazy obrázku jsou mezery (-infin-- -7] U [7- + infin-), a čtvrtý - (-infin-- -7) U (7 + infin-).

Dva výrazy v jednom

Často najdete následující záznam: 7 < 2X - 3 < 12. Jak řešit dvojí nerovnosti? To znamená, že na výraz jsou okamžitě umístěny dvě podmínky. A každý z nich by měl být vzat v úvahu, aby se dostala správná odpověď pro proměnnou X. Vzhledem k tomu, že získáváme z vztahů 2X - 3> 7 a 2X - 3 < 11 následující:

5 < X < 7. Konečná odpověď je takto: (5-7). To znamená, že proměnná obsahuje sadu hodnot uzavřených v mezerě mezi čísly 5 a 7, s výjimkou hranic.

Podobné vlastnosti s rovnicí

Rovnice je výraz spojený znaménkem =, což znamená, že obě jeho části (vlevo a vpravo) mají stejnou velikost. Proto jsou tyto vztahy často spojovány s obrazem starých stupnic, které mají misky instalované a upevněné pomocí páky. Toto zařízení je vždy v rovnováze, pokud jsou obě konce vyvážené. V tomto případě se poloha nezmění, pokud se levý a pravý díl doplní nebo ztratí zatížení stejné hmotnosti.

V matematické rovnici, do obou částí rovnice tak, aby se nerozbije, můžete také přidat stejné číslo. V tomto případě může být pozitivní nebo negativní. Jak řešit nerovnosti v tomto případě, a můžete s nimi dělat totéž? Předchozí příklady ukázaly, že ano.

Rozdíl od rovnice

Obě části výrazu spojované znaménkem < nebo>, lze vynásobit a rozdělit libovolným kladným číslem. V tomto případě není pravda vztahu porušena. Ale jak řešit nerovnost frakcí s negativními a celočíselnými multiplikátory, před kterými je znaménko mínus? Zde je situace zcela odlišná.

Podívejme se na tento příklad: -3X < 12. Chcete-li vybrat proměnnou na levé straně, musíte je rozdělit o -3. V tomto případě se znak nerovnosti obrátil. Získáme: X> -4, což je odpověď na problém.

Metoda intervalů

Nerovnost se považuje za kvadratickou, pokud obsahuje proměnnou, která je zvýšena na druhou moc. Příkladem tohoto vztahu je následující výraz: X² - 2X + 3> 0. Jak řešit kvadratické nerovnosti? Nejvhodnější metodou je metoda intervalů. K tomu by měla být faktorem levá strana poměru. Ukázalo se: (X - 3) (X + 1). Poté se doporučuje najít nuly funkce a uspořádat výsledné body ve správném pořadí na souřadnicové lince.

Poté musíte rozdělit znaky výsledných intervalů nahrazením výrazu, který patří do daného intervalu, do výrazu. V jednoduchých případech je obvykle dost rozumět alespoň jednomu z nich a zbytek - uspořádat podle pravidla střídání. Závěrem zůstává pouze výběr vhodných intervalů pro získání konečného řešení.

Kvadratické nerovnosti se zde řídí zákonem korespondence negativních oblastí s mínusy a pozitivními na plusy. To znamená, že pokud je výraz větší než nula, musíme vzít numerické mezery označené znaménkem +. V opačném případě bude řešením úseky označené značkou -. Řešení naší nerovnosti je tedy napsáno jako (-infin-1) U (3 + infin-).

Další příklady použití metody intervalů

Popsaná metoda dává odpověď na jinou důležitou otázku: jak řešit zlomkové nerovnosti, je-li v tomto případě zcela použitelná stejná metoda intervalů? Podívejme se podrobněji na to, jak to lze udělat, a to pomocí příkladu níže uvedeného vztahu.

Zde jsou nuly jsou body, -9 a 4. Chcete-li najít řešení, potřebné dát je na ose souřadnic a prodlevy mezi značky, výběr těch, které budou označeny znaménkem plus. Je třeba poznamenat, že bude vyplněno pouze číslo 4.

Další bod bude smazán, protože -9 není zahrnut do rozsahu přijatelných hodnot. Koneckonců jmenovatel je nula, což je nemožné v matematice. Jak řešit zlomkovou nerovnost? V tomto případě je konečná odpověď spojením mezer: (-infin-- -9) U [4 + infin-).

Parabola na grafu

Zjišťovat vše o nerovnostech často pomáhá nejen kresbami na souřadnicové čáře, ale také obrazy v kartézské rovině. Graf kvadratické závislosti je známý jako parabola. Dokonce i schematický výkres tohoto typu je schopen poskytnout téměř kompletní odpovědi na kladené otázky. Považujeme některé typy parabolů za představu o řešení kvadratických nerovností.

Zde budeme nejdřív objasňovat některé pravdy pro sebe. Jakýkoli výraz tohoto typu je redukován na formu: ax² + V tomto případě, pokud se koeficient a ukáže být pozitivní, pak by měla být parabola nakreslena s větvemi nahoru, v opačném případě dolů. A kořeny rovnice jsou body, kde graf funkce protíná osu OX.

Interpretace

Znát výše uvedená prohlášení je velmi důležitá pro pochopení nerovností mezi čtverci a odpovědí na otázky, které se na ně vztahují. Po vykreslení schématu paraboly na karteziánskou rovinu je nutné zjistit, kde funkce (tj. Hodnoty souřadnic bodů podél osy OY) přebírá indexy + a -. Navíc pokud nerovnost obsahuje znaménko>, pak jeho řešení bude množinou hodnot přijatých proměnnou X pro pozitivní Y.

V případě označení < v odpovědi jsou indexy pro X uvedeny s negativním Y. Stává se, že parabola vůbec neprotíná osu OX. K tomu dochází v případech, kdy A < 0. Pokud je graf v horní polovině roviny, pak odpověď na čtvercovou nerovnost se znaménkem je interval (-infin-- + infin-). A pro < řešení je prázdná sada. U dolní poloviny letadla to je případ přesnosti a naopak.

O výhodách grafiky

Obrázky na kartézské rovině výrazně zjednodušují problém pro systémy rovnic. Čísla jasně ukazují řešení, která jsou průsečíky aplikovaných linií. Zbývá pouze vypočítat souřadnice a zapsat odpověď.

Totéž platí pro nerovnosti. Například řešení y le-6-x (jak je zřejmé z obrázku) je rovná přímka y = 6-x, a také poloviční rovina umístěná pod touto hranicí. Pro přesnou odpověď můžete na grafu (např. (1-3) zadat nějaký bod a nahradit jeho souřadnice v nerovnosti. le-6 - 1, tedy správný poměr. Proto byla výše uvedená úvaha pravda.

Nerovnost v ge-х² je popsána oblastí na kartézské rovině umístěné v misce paraboly, včetně jejích hranic. A na křižovatce těchto sektorů můžeme nalézt řešení vztahu napsaného ve tvaru: x² le le-6-x. To bude omezeno od dolní čáry paraboly a odříznuto zhora o přímku. Přesvědčte se, že znovu provedeme kontrolu a nahradíme souřadnice všech bodů, které patří do této oblasti.

Vezměte (1-4). Získejte: 1 le-4 le-6 - 1, což je opět správný poměr. Znovu je logické poznamenat, že nerovnosti mají mnoho podobností s rovnicemi, přestože jsou obdařeny významnými rozdíly.