Jak zjistit determinant matice?

Hledání determinantu matice je důležitým úkolem nejen pro lineární algebra: například v ekonomice tento výpočet řeší systémy lineární rovnice s mnoha neznámými, široce používanými v ekonomických problémech.

Pojem determinant

Determinant nebo determinant matice je množství rovnající se objemu rovnoběžnosti, postavený na jeho vektorových řádcích nebo sloupcích. Vypočítat tuto hodnotu pouze pro čtvercovou matici, ve které je počet řádků a sloupců stejný. Jsou-li členy matice čísla, určuje také číslo.

Výpočet determinantů

Je třeba si uvědomit, že existuje několik pravidel, která tyto výpočty značně usnadňují.

Takže determinant matice sestávající z jednoho pojmu se rovná jeho jedinému prvku. Pro výpočet determinantu druhého řádu není obtížné, proto stačí odečíst produkt prvků umístěných na sekundární diagonále od produktu pojmů hlavní diagonály.

Výpočet determinantu pořadí 3 se nejlépe provádí podle pravidla trojúhelníku. Chcete-li to provést, proveďte následující akce:

1. Najdeme výrobek ze tří pojmů matice umístěných na jeho hlavním principudiagonály.
2. Na trojúhelnících, jejichž základy jsou rovnoběžné s hlavní diagonále, vynásobíme tři termíny.
3. Opakujeme první a druhou akci pro boční diagonádu.
4. Najdeme součet všech hodnot získaných v předchozích výpočtech, zatímco čísla získaná v třetím odstavci jsou zachycena znaménkem mínus.

Abychom snadno zjistili determinant matice řádu 4 i vyšší rozměry, je třeba zvážit vlastnosti, které mají všechny determinanty:

1. Hodnota determinantu se po transpozici matice nemění.
2. Změna uspořádání dvou sousedních řad nebo sloupců vede ke změně znaménka determinantu.
3. Pokud jsou v matici dva stejné řádky nebo sloupce nebo všechny prvky sloupce (řádky) jsou nulové, potom je jejich determinant nula.
4. Násobení čísel matrice libovolným číslem vede ke zvýšení jeho determinantu o stejný počet časů.

Použití výše uvedených vlastností pomáhá snadno nalézt determinant matice libovolného pořadí. Například za tím účelem se používá metoda snižování pořadí, ve kterém je determinant rozložen na prvky řádku (sloupce) vynásobené algebraickým doplňkem.

Dalším způsobem, který výrazně zjednodušuje nalezení determinantu matice, je její redukce na trojúhelníkovou formu, když se všechny prvky pod hlavním úhlopříčkem rovnají nule. V tomto případě je determinant matice vypočítán jako produkt čísel umístěných na této diagonále.

A nakonec bych chtěl poznamenat, že výpočet determinantů, i když se skládá z zdánlivě jednoduchých matematických výpočtů, ale vyžaduje značnou péči a vytrvalost.