Součet kostek a jejich rozdíl: vzorce s redukovaným násobením

Matematika je jednou z těch věd, bez nichž není existence lidstva nemožná. Téměř každá akce, každý proces zahrnuje použití matematiky a jejích elementárních činností. Mnoho skvělých vědců vynaložilo velké úsilí na to, aby tato věda byla jednodušší a srozumitelnější. Různá věta, axiomy a vzorce umožňují studentům rychleji vnímat informace a uplatňovat znalosti v praxi. Nicméně, většina z nich je vzpomínána po celý život.

Nejpohodlnější vzorce umožňující studentům a školákům vyrovnat se s obrovskými příklady, zlomky, racionálními a iracionálními výrazy jsou vzorce, včetně zkráceného množení:

1. částky a rozdíl kostek:

s³ - t³ - rozdíl;

k³ + l³ - částka peněz.

2. Vzorec krychle součtu, stejně jako kostka rozdílu:

(f + g)³ a (h-d)^3-

3. rozdíly čtverců:

z² - v²;

4. Čtverce součtu:

(n + m)² a tak dále.

Vzorec součtu kostek je téměř nejtěžší k zapamatování a reprodukci. Důvodem jsou střídavé signály v jeho dekódování. Jsou nesprávně napsány, matoucí s jinými vzorci.

Součet kostek je rozšířen takto:

k³ + l³ = (k + 1) * (k² - k * l + l²).

Druhá část rovnice je někdy zmatená kvadratická rovnice nebo rozšířené vyjádření čtverce součtu a přidat k druhému summandu, konkrétně k "k * l" číslo 2. Nicméně, součet vzorce kostek je popsán pouze tímto způsobem. Proveďte rovnost pravé a levé části.

Pojďme zopakovat, to znamená, že se pokusíme ukázat, že druhá polovina (k + l) * (k² - k * l + l²) bude rovno výrazu k³ + l³.

Otevřeme závorky a vynásobíme součty. Chcete-li to provést, nejprve násobte "k" každým výrazem druhého výrazu:

k * (k² - k * l + k²) = k * l² - k * (k * l) + k * (l²);

pak stejným způsobem provádíme akci s neznámou "l":

l * (k² - k * l + k²) = l * k² - l * (k * l) + l * (l²);

zjednodušíme výsledný výraz formulace součet kostek, otevřeme závorky a současně dáváme podobné pojmy:

(k³ - k²* l + k * l²) + (l * k² - l²* k + l³) = k³ - k²l + kl²+ lk² - lk² + l³ = k³ - k²l + k²l + kl²- kl² + l³ = k³ + l³.

Tento výraz je shodný s původní verzí vzorec sumy kostek, a to je to, co jsme chtěli ukázat.

Najdeme důkaz pro výraz s³ - t³. Tento matematický vzorec redukovaného násobení se nazývá rozdíl kostek. To je popsáno následovně:

s³ - t³ = (s - t) * (s² + t * s + t²).

Stejně jako v předchozím příkladu dokládáme korespondenci mezi pravou a levou částí. Chcete-li to provést, rozšíříme závorky vynásobením výrazů:

pro neznámé "s":

s * (s² + s * t + t²) = (s³ + s²t + st²);

pro neznámé "t":

t * (s² + s * t + t²) = (s²t + st² + t³);

při konverzi a rozšiřování závorek daného rozdílu získáváme:

s³ + s²t + st² - s²t-s²t - t³ = s³ + s²t-s²t-st²+st²- t³= s³ - t³ - což mělo být prokázáno.

Abychom si pamatovali, které značky jsou umístěny při otevírání takového výrazu, je třeba věnovat pozornost značkám mezi výrazy. Takže pokud jeden neznámý je oddělen od druhého matematickým symbolem ";", pak v prvním odstupu bude minus a druhý - dva plusy. Pokud je mezi kostek znaménko "+", pak první násobitel bude obsahovat plus a druhé mínus a pak plus.

To může být reprezentováno formou malého schématu:

s³ - t³ → ("mínus") * ("plus" "plus");

k³ + l³ → ("plus") * ("mínus" "plus").

Zvažme příklad:

Vzhledem k výrazu (w - 2)³ + 8. Otevřete závorky.

Řešení:

(w-2)³ + 8 mohou být reprezentovány ve formě (w - 2)³ + 2³

Proto, jako součet kostek, může být tento výraz rozložen podle vzorce zkráceného množení:

(w-2 + 2) * ((w-2)² - 2 * (w-2) + 2²);

Pak zjednodušíme výraz:

w * (w² - 4w + 4 - 2w + 4 + 4) = w * (w² - 6w + 12) = w³ - 6w² +12w.

V tomto případě první část (w-2)³ lze také považovat za kostku rozdílu:

(h-d)³ = h³ - 3 h²* d + 3 * h * d² - d³.

Pak, pokud ji otevřete pomocí tohoto vzorce, získáte:

(w-2)³ = w³ - 3 * w² * 2 + 3 * w * 2² - 2³ = w³ - 6 * w² + 12w - 8.

Pokud do něj přidáte druhou část původního příkladu, jmenovitě "+8", výsledek je následující:

(w-2)³ + 8 = w³ - 3 * w² * 2 + 3 * w * 2² - 2³ + 8 = w³ - 6 * w² + 12w.

Takto jsme našli řešení tohoto příkladu dvěma způsoby.

Je třeba si uvědomit, že pečlivost a pozornost jsou klíčem k úspěchu v jakémkoli podnikání, včetně řešení matematických příkladů.