Vlastnosti a způsoby hledání kořenů kvadratické rovnice

Svět je uspořádán takovým způsobem, že řešení velkého počtu problémů snižuje na nalezení kořenů kvadratické rovnice. Kořeny rovnic jsou důležité pro popis různých pravidel. Toto bylo známo geodetům starověkého Babylonu. Astronomové i inženýři byli nuceni řešit takové problémy. Již v 6. století nl založil indický vědec Aryabhata základy pro nalezení kořenů kvadratické rovnice. Vzorce získaly úplný vzhled v 19. století.

Obecné pojmy

Navrhujeme seznámit se se základními zákony kvadratických rovnic. V obecné podobě lze rovnici psát následovně:

ax² + bx + c = 0,

Počet kořenů kvadratické rovnice může být jeden nebo dva. Rychlá analýza může být provedena pomocí pojmu diskriminace:

D = b² - 4ac

V závislosti na vypočtené hodnotě získáme:

• Pro D> 0 existují dva odlišné kořeny. Obecný vzorec pro určení kořenů kvadratické rovnice vypadá jako (-b ± radic-D) / (2a).
• D = 0, v tomto případě kořen je jeden a odpovídá hodnotě x = -b / (2a)
• D < 0, neexistuje řešení pro negativní diskriminaci řešení rovnice.

Poznámka: Pokud je diskriminační záporný, rovnice nemá kořeny pouze v oblasti reálných čísel. Pokud je algebra rozšířena na koncept složitých kořenů, má rovnice řešení.

Uvádíme řetězec akcí, který potvrzuje vzorec pro nalezení kořenů.

Z obecné formy rovnice vyplývá:

ax² + bx = -c

Násobte pravý a levý díl o 4a a přidejte b², dostaneme

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Transformujeme levou stranu ve tvaru čtverce polynomu (2ax + b)². Extrahujeme druhou odmocninu obou stran rovnice 2ax + b = -b ± radic - (-4ac + b²), přeneseme koeficient b na pravou stranu, získáme:

2ax = -b ± radic - (-4ac + b²).

Z toho vyplývá, že:

x = (-b ± radic- (b² - 4ac))

Což mělo být ukázáno.

Zvláštní případ

V některých případech lze řešení problému zjednodušit. Pro rovnoměrný koeficient b tedy získáme jednodušší vzorec.

Označme k = 1 / 2b, pak vzorec obecné podoby kořenů kvadratické rovnice má tvar:

x = (-k ± radic- (k² - ac)) / a

Pro D = 0 získáme x = -k / a

Dalším konkrétním případem je řešení rovnice pro a = 1.

Formulář x² + bx + c = 0, kořeny jsou x = -k ± radic- (k² - c) s rozdílem větší než 0. Pro případ, kdy D = 0, kořen bude určen jednoduchým vzorcem: x = -k.

Použití grafů

Každý, kdo to ani nevěří, trvale čelí fyzickým, chemickým, biologickým a dokonce i společenským jevům, které jsou dobře popsány kvadratickou funkcí.

Poznámka: Křivka postavená na základě kvadratické funkce se nazývá parabola.

Ukažme některé příklady.

1. Při výpočtu trajektorie úniku projektilu použijte vlastnost pohybu podél paraboly těla, uvolněná pod úhlem k horizontu.
2. Parabolická vlastnost rovnoměrně rozloženého zatížení je v architektuře široce využívána.

Uvědomujeme si důležitost parabolické funkce a pochopíme, jak používat graf k prozkoumání jejích vlastností pomocí pojmů "diskriminační" a "kořeny kvadratické rovnice".

V závislosti na hodnotách koeficientů a a b existuje pouze šest variant polohy poloměru:

1. Discriminant je pozitivní, a a b mají různé znaky. Větev paraboly vypadají vzhůru, kvadratická rovnice má dvě řešení.
2. Discriminant a koeficient b jsou nulové, koeficient a je větší než nula. Graf je umístěn v kladné zóně, rovnice má 1 kořen.
3. Discriminant a všechny koeficienty mají kladné hodnoty. Kvadratická rovnice nemá řešení.
4. Discriminant a koeficient a jsou negativní, b je větší než nula. Větve grafu směřují dolů, rovnice má dva kořeny.
5. Discriminant a koeficient b jsou nulové, koeficient a je negativní. Parabola vypadá dolů, rovnice má jeden kořen.
6. Hodnoty diskriminačního a všech koeficientů jsou negativní. Neexistují žádná řešení, funkční hodnoty jsou zcela v záporné zóně.

Poznámka: Variant a = 0 se nepovažuje, protože v tomto případě parabola degeneruje do přímky.

Všechno výše uvedené je dobře ilustrováno níže uvedeným postupem.

Příklady řešení problémů

Stav: pomocí společných vlastností vytvoříme kvadratickou rovnici, jejíž kořeny jsou stejné.

Řešení:

hypotézou problému x₁ = x₂, nebo -b + radic- (b² - 4ac) / (2a) = -b + radic- (b² - 4ac) / (2a). Zjednodušte zadání:

-b + radic- (b² - 4a) / (2a) - (-b- radic- (b² - 4ac) / (2a)) = 0, otevřete závorky a udělejte podobné pojmy. Rovnice má formu 2radic- (b² - 4ac) = 0. Toto tvrzení platí tehdy, když b² - 4ac = 0, tedy b² = 4ac, potom je hodnota b = 2radic- (ac) nahrazena rovnicí

ax² + 2radic- (ac) x + c = 0, ve výše uvedené formě získáme x² + 2radic- (c / a) x + c = 0.

Odpověď:

pro ne je rovno 0 a libovolné c existuje pouze jedno řešení, pokud b = 2radic- (c / a).

Rovnovážné rovnice pro svou jednoduchost mají velký význam v technických výpočtech. Prakticky každý fyzický proces může být popsán s nějakým přiblížením pomocí výkonových funkcí příkazu n. Kvadratická rovnice bude prvním takovým přiblížením.