Série Maclaurin a rozložení určitých funkcí
Student vyšší matematiky by měl vědět, že součet výkonových řad patřících do intervalu konvergence dané série je diferencovaná funkce, která je spojitá a nekonečně mnohokrát. Vyvstává otázka: je možné tvrdit, že daná libovolná funkce f (x) je součtem série výkonů? To znamená, za jakých podmínek může být f-th f (x) reprezentována výkonovou řadou? Důležitost takové otázky spočívá v tom, že je možné přibližně nahradit f (x) součtem několika prvních termínů řady výkonů, tj. Polynomu. Taková náhrada funkce spíše jednoduchým výrazem - polynomem - je také vhodná pro řešení určitých problémů matematická analýza, a to: při řešení integrálů při výpočtu diferenciální rovnice a tak dále.
Je prokázáno, že pro nějakou f-funkci f (x), ve které je možné vypočítat deriváty až do (n + 1) - pořadí, včetně posledního, v sousedství (alfa-- R-x0 + R) nějakého bodu x = alfa-fair je vzorec:
Tento vzorec nese jméno slavného vědce Brooke Taylora. Série získaná z předchozího se nazývá série Maclaurin:
Pravidlo, které umožňuje rozložit se do série Maclaurin:
- Určete deriváty první, druhé, třetí ... objednávky.
- Vypočítejte, jaké deriváty na x = 0 se rovnají.
- Zaznamenejte sérii Maclaurin pro danou funkci a poté určete interval její konvergence.
- Určete interval (-R-R), kde je zbytek vzorce Maclaurinu
Rn(x) -> 0 jako n -> nekonečno. V případě, že existuje, musí být funkce f (x) v ní shodovat se součtem série Maclaurin.
Nyní považujeme série Maclaurin za jednotlivé funkce.
1. Tedy první je f (x) = ex. Samozřejmě, pokud jde o jeho singularity, má tato funkce deriváty velmi odlišných pořadí a f(k)(x) = ex, kde k se rovná všem přirozených čísel. Nahrazujeme x = 0. Získáváme f(k)(0) = e0= 1, k = 1,2 ... Vycházeje z výše uvedeného řady exbude vypadat takto:
2. Série Maclaurin pro funkci f (x) = sin x. Okamžitě objasňujeme, že φ-t pro všechny neznámé bude mít deriváty, navíc f"(x) = cos x = sin (x + n / 2), f``(x) = -sin x = sin (x + 2 * n / 2) ..., f(k)(x) = sin (x + k * n / 2), kde k je libovolné přirozené číslo. To znamená, že pomocí jednoduchých výpočtů můžeme dospět k závěru, že série pro f (x) = sin x budou mít podobu:
3. Teď se snažíme zvážit funkci f (x) = cos x. Má deriváty libovolného pořadí pro všechny neznámé a | f(k)(x) | = | cos (x + k * n / 2)<= 1, k = 1,2 ... Opět se u některých výpočtů dostáváme, že řada pro f (x) = cos x bude vypadat takto:
Takže jsme vypsali nejdůležitější funkce, které lze rozložit do série Maclaurin, ale pro některé funkce jsou doplněny řadou Taylor. Nyní je seznamujeme. Je také třeba poznamenat, že série Taylor a Maclaurin jsou důležitou součástí semináře pro řešení sérií ve vyšší matematice. Takže v seriálu Taylor.
1. První je řada pro funkci f (x) = ln (1 + x). Stejně jako v předchozích příkladech pro danou f (x) = ln (1 + x) můžeme přidat sérii pomocí obecné formy série Maclaurin. Nicméně pro tuto funkci lze série Maclaurin získat mnohem jednodušeji. Začleněním některých geometrických řad získáváme řadu f (x) = ln (1 + x) takového vzorku:
2. A druhý, který bude v naší práci konečný, bude série pro f (x) = arctg x. Pro x, který patří k intervalu [-1-1], platí platnost rozšíření:
To je všechno. V tomto článku byly zvažovány nejčastěji používané série Taylora a Maclaurina ve vyšší matematice, zejména v ekonomických a technických univerzitách.
- Diferenciální kalkul funkce jedné a více proměnných
- Jak najít minimální a maximální body funkce: funkce, metody a příklady
- Vlastnosti a způsoby hledání kořenů kvadratické rovnice
- Fourierova řada: historie a vliv matematického mechanismu na vývoj vědy
- Rozdíly jsou co? Jak zjistit diferenciál funkce?
- Lineární a homogenní diferenciální rovnice prvního řádu. Příklady řešení
- Jaké jsou nuly funkce a jak je definovat?
- Deriváty čísel: metody výpočtu a příklady
- Geometrická progrese. Příklad s roztokem
- Funkce je analytická: forma a funkce. Teorie analytických funkcí
- Dvojitý integrál. Úkoly. Vlastnosti
- Základy matematické analýzy. Jak najít derivát?
- Kompletní vyšetření funkce a diferenciálního počtu
- Geometrická progrese a její vlastnosti
- Parita funkce
- Kontinuální funkce
- Jak vypočítat plochu a oblast segmentu koule
- Lineární programování
- Jednoduchá iterační metoda pro řešení systémů lineárních rovnic (SLAE)
- Kostka rozdílu a rozdílu kostek: pravidla pro použití vzorců se sníženým násobením
- Základní pravidla diferenciace používaných v matematice