Rovnice roviny: jak napsat? Typy rovinných rovnic

Ve vesmíru může být rovina definována různými způsoby (jeden bod a vektor, dva body a vektor, tři body atd.). To je s ohledem na to, že rovnice letadla může mít různé typy. Pokud jsou splněny určité podmínky, roviny mohou být rovnoběžné, kolmé, protínají se atd. O tom a mluvte v tomto článku. Naučíme se, jak vytvořit obecnou rovnici roviny a nejenom.

Normální forma rovnice

Předpokládejme, že existuje prostor R₃, který má obdélníkový souřadný systém XYZ. Nastavte vektor alfa-, která se uvolní z počátečního bodu O. Přes konec vektoru Vykreslíme rovinu Π, která bude kolmá k ní.

Označíme P libovolným bodem Q = (x, y, z). Podpíšeme rádiusový vektor bodu Q písmenem p. Délka vektoru alfa- je rovna p = Ialpha-I a Ʋ = (cosalpha-, cosbeta-, cosgamma-).

Jedná se o jednotkový vektor, který je směrován na stranu, jako vektor alfa-. alfa-, beta- a gama - jsou úhly, které jsou vytvořeny mezi vektorem Ʋ a pozitivními směry osy prostoru x, y, z. Projekce nějakého bodu QεP na vektor Ʋ je konstanta, která se rovná p: (p, Ʋ) = p (pge-0).

Výše uvedená rovnice je smysluplné, když p = 0. Jediná rovina P v tomto případě by se přes bod O (alfa = 0), což je počátek a jednotkový vektor Ʋ, uvolní od bodu O bude kolmá na P, i když jeho směru, což znamená, že vektor je určena Ʋ až do znamení. Předchozí rovnice je naše letadlo P, vyjádřeno v vektorové podobě. Ale s ohledem na jeho souřadnic je:

P je větší než nebo rovno 0. Zjistili jsme rovnici roviny v prostoru v normální podobě.

Obecná rovnice

Je-li rovnice v souřadnicích vynásobena libovolným číslem, které není rovno nule, získáme rovnici rovnocennou danému, která určuje stejnou rovinu. Bude to vypadat takto:

Zde A, B, C jsou čísla, která jsou zároveň nenulová. Tato rovnice je označována jako rovnice roviny obecné formy.

Rovnice rovin. Zvláštní případy

Obecná rovnice může být upravena za přítomnosti dalších podmínek. Zvažme některé z nich.

Předpokládejme, že koeficient A je 0. To znamená, že daná rovina je rovnoběžná s danou osou Ox. V tomto případě se změní forma rovnice: Boo + Cz + D = 0.

Podobně se forma rovnice změní za následujících podmínek:

• Za prvé, pokud B = 0, pak se rovnice změní na Ax + Cz + D = 0, což bude důkazem rovnoběžnosti s osou Oy.
• Za druhé, pokud C = 0, pak se rovnice transformuje na Ax + Boo + D = 0, což bude hovořit o paralelnosti s danou osou Oz.
• Za třetí, pokud D = 0, rovnice bude vypadat jako Ax + Boo + Cz = 0, což znamená, že rovina protíná O (původ).
• Za čtvrté, pokud A = B = 0, potom se rovnice změní na Cz + D = 0, což bude paralelní k Oxy.
• Za páté, pokud B = C = 0, rovnice se stává Ax + D = 0, což znamená, že rovina k Oyz je rovnoběžná.
• Zašesté, pokud A = C = 0, pak rovnice bude mít formu Boo + D = 0, to znamená, že bude hlásit paralelně s Oxz.

Typ rovnice v segmentech

V případě, kdy se čísla A, B, C, D liší od nuly, může být rovnice (0) následující:

x / a + y / b + z / c = 1,

ve kterém a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C

Výsledkem je rovnice roviny v segmentu. Je třeba poznamenat, že tato rovina protíná osu x v bodě o souřadnicích (a, 0,0), Oy - (0, B, 0), a Oz - (0,0, s).

Vzhledem k rovnici x / a + y / b + z / c = 1 není snadné vizualizovat uspořádání roviny vzhledem k danému souřadnému systému vizuálně.

Souřadnice normálního vektoru

Normální vektor n k rovině Π má souřadnice, které jsou koeficienty obecné rovnice dané roviny, to znamená n (A, B, C).

Pro určení souřadnic normálního n je dostačující znát obecnou rovnici daného roviny.

Při použití rovnice v segmentech, který je v podobě x / a + y / b + Z / c = 1, když se při použití obecné rovnice lze zapsat souřadnice libovolného běžného vektoru daná rovina: (1 / + 1 / b + 1 / c).

Za povšimnutí stojí, že normální vektor pomáhá řešit různé úkoly. Mezi nejčastější problémy patří problém prokázání kolmosti nebo rovnoběžnosti rovin, problém nalezení úhlů mezi rovinami nebo úhly mezi rovinami a čarami.

Forma rovnice roviny podle souřadnic bodu a normálního vektoru

Nulový vektor n kolmý na danou rovinu se nazývá normální (normální) pro danou rovinu.

Předpokládejme, že v souřadnicovém prostoru (obdélníkový souřadný systém) Oxyz jsou uvedeny:

• Bod Mₒ se souřadnicemi (xₒ, yₒ, zₒ);
• nulový vektor je n = A * i + B * j + C * k.

Je třeba sestavit rovnici roviny, která projde bodem Mₒ kolmo na normální n.

V prostoru zvolíme libovolný bod a značí M (x, y, z). Ať poloměr vektor každého bodu M (x, y, z), bude r = x * i + y * j + z * k, a poloměr vektor bodu Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Bod M bude patřit k dané rovině, v případě, že vektor MₒM být kolmý k vektoru n. Píšeme podmínku ortogonality pomocí skalární součin:

[MₒM, n] = 0.

Protože MₒM = r-rₒ, vektorová rovnice roviny vypadá takto:

[r - r, n] = 0.

Tato rovnice může mít i jiný tvar. Pro tento účel, vlastnosti skalárního součinu a převedeny na levou stranu rovnice. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Je-li [rₒ, n] označený jako S, získáme následující rovnice: [r, n] - a = 0 nebo [R, n] = S, který vyjadřuje stálost výstupků normálovým vektorem poloměru vektorů sousedními body, které patří rovinu.

Nyní můžete získat souřadnic typ záznamové roviny naše vektor rovnice [r - rₒ, n] = 0. Vzhledem k tomu, r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, a n = A * i + B * j + C * k, máme:

Ukazuje se, že máme rovnici roviny procházející bodem kolmým na normální n:

A * (x - x ₒ) + B * (y - yₒ) C * (z - zₒ) = 0.

Forma rovinné rovnice podle souřadnic dvou bodů a vektoru, kolineární roviny

Definujeme dva libovolné body M `(x`, y `z`) a M "(x", y“, Z "), jakož i vektor (A‘, A", což je `` `).

Nyní můžeme sestavit rovnici dané roviny, která bude procházet dostupnými body M `a M "a také jakýkoli bod M se souřadnicemi (x, y, z) rovnoběžnými s daným vektorem a.

Tak M`M vektory {x-X`-y-y`-z-z `}, a M` = {x M `y - h` "-u`-z" -z "} by měl být v jedné rovině s vektorem a = (a `, a ", a) a to znamená, že (M`M, M" M, a) = 0.

Takže naše rovnice ve vesmíru bude vypadat takto:

Forma rovnice roviny protínající tři body

Řekněme, že máme tři body: (x `y`, z `), (x`, y `z`), (x `` `` `` Have, z `` `), které nepatří ke stejné lince. Je třeba zapsat rovnici roviny procházející danými třemi body. Teorie geometrie tvrdí, že taková planeta skutečně existuje, ale je jedinečná a neopakovatelná. Protože tato rovina protíná bod (x `, y`, z `), forma jeho rovnice bude následující:

Zde A, B, C jsou nenulové. Také daná rovina protíná dva další body: (x ", y", z ") a (x ‴, y ‴, z ‴). V této souvislosti musí být splněny tyto podmínky:

Nyní můžeme vytvořit homogenní systém rovnice (lineární) s neznámymi u, v, w:

V našem případě jsou x, y nebo z libovolný bod, který splňuje rovnici (1). Vzhledem k rovnici (1) a systému z rovnic (2) a (3), systém rovnic uvedených na výše uvedeném obrázku uspokojuje vektor N (A, B, C), který je netriviální. Proto je determinant tohoto systému nulový.

Rovnice (1), které máme, to je rovnice roviny. 3-bodový opravdu jde, a je snadno kontrolovatelná. K tomu, abychom rozšířit determinant živly v prvním řádku. Ze stávající vlastnosti determinant vyplývá, že naše letadlo současně protíná tři původně předem stanoveného bodu (x `y`, z ‚), (x " y", z„), (x `` `, y` ``, z `` `). Tak jsme se rozhodli úkol před námi.

Oboustranný úhel mezi rovinami

Oboustranný roh představuje prostorovou geometrickou postavu tvořenou dvěma poloplanety, která vycházejí z jedné přímky. Jinými slovy, toto je část prostoru, který je omezen na tyto poloviny letadla.

Předpokládejme, že máme dvě roviny s následujícími rovnicemi:

Víme, že vektor N = (A, B, C) a Nsup1 - = (Asup1-, Vsup1-, Ssup1-) podle předem stanovených rovinách jsou kolmé. V tomto ohledu je úhel phi - mezi vektory N a Nsup1 - se rovná úhlu (oboustranný), který leží mezi těmito rovinami. Skalární produkt má podobu:

NNsup1- = | N || Nsup1- | cos phi-,

přesně proto, že

cosphi- = NNsup1- / | N || Nsup1- | = (+ AAsup1- VVsup1- SSsup1 + -) / ((radic- (a? + V² + s?)) * (radic- (Asup1-) ² + (Vsup1- ) ² + (Ssup1-) ²)).

Stačí, když bereme v úvahu, že 0le-phi-le-pi-.

Ve skutečnosti se dvě protínající se planety skládají ze dvou úhlů (oboustranné): phi-₁ a phi-₂. Jejich součet je pi- (phi-₁+ phi-₂= pi-). Co se týče jejich kosinů, jejich absolutní hodnoty jsou stejné, ale liší se znaménkem, což je cos phi-₁= -cos phi-₂. Pokud nahradíme A, B a C čísly -A, -B a -C v rovnici (0), potom rovnice, kterou získáme, určuje stejnou rovinu, jediný úhel phi v rovnici cos phi- = NN¹/ | N || N¹| |. | bude nahrazen pi - phi-.

Rovnice kolmé roviny

Kolmo jsou roviny, mezi nimiž je úhel 90 stupňů. Pomocí výše popsaného materiálu můžeme najít rovnici roviny kolmé na druhou. Předpokládejme, že máme dvě roviny: Ax + Boo + Cz + D = 0 a Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + D = 0. Můžeme tvrdit, že budou kolmá, jestliže cosphi = 0. To znamená, že NNsup1- = AAsup1- + BBsup1- + CCsup1- = 0.

Rovnice rovnoběžné roviny

Paralelně jsou dvě roviny, které neobsahují běžné body.

Stav rovnoběžnost rovin (jejich rovnice jsou stejné jako v předchozím odstavci) je to, že vektory N a Nsup1-, které jsou kolmé k nim, jsou kolineární. A to znamená, že jsou splněny následující podmínky proporcionality:

A / Asup1- = B / Bsupl- = C / Csupl-.

Pokud se rozšiřují podmínky proporcionality - A / Asup1- = B / Bsup1- = C / Csup1- = DDsup1-,

to znamená, že se tyto letadla shodují. To znamená, že rovnice Ax + Boo + Cz + D = 0 a Asup1-x + Bsup1-y + Csup1-z + Dsup1- = 0 popisují jednu rovinu.

Vzdálenost od roviny od bodu

Předpokládejme, že máme rovinu Π, která je dána rovnicí (0). Je třeba najít vzdálenost od bodu se souřadnicemi (xₒ, yₒ, zₒ) = Qₒ. K tomu je třeba snížit rovnici roviny Π na normální formu:

(rho, v) = p (pge-0).

V tomto případě rho- (x, y, z) je poloměr vektor našeho bodu Q, který se nachází na n p - n je délka kolmice, který byl propuštěn z nulového bodu, v - je jednotkový vektor, který je uspořádán ve směru a.

Rozdíl rho-rho-ordm je poloměr vektoru libovolného bodu Q = (x, y, z) patřícího II a také vektoru poloměru daného bodu Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) je vektor, jehož absolutní projekce na v je rovna vzdálenosti d, která musí být nalezena z Q₀= (xₒ, yₒ, zₒ) do Π:

D = | (rho-rho-⁰,v), ale

(rho-rho-⁰,v) = (rho, v) - (rho-⁰,v) = p- (rho-⁰,v).

Tak se ukázalo,

d = | (rho-⁰,v) -p |.

Teď je vidět vypočítat vzdálenost d od Q₀ k rovině P, je nutno použít běžnou formu rovnice roviny, posun vlevo p, a poslední místo x, y, z náhradou (hₒ, uₒ, zₒ).

Takže nacházíme absolutní hodnotu výsledného výrazu, tj. Požadovaného d.

Pomocí jazyka parametrů získáme zřejmé:

d = | Axₒ + Vuₒ + Czₒ | / radic- (А² + В² + С²).

Pokud daný bod Q₀ je umístěn na druhé straně roviny II, jako původ, pak mezi vektorem rho-rho-⁰ a v je umístěn tupý úhel, proto:

d = - (rho-rho-⁰,v) = (rho-⁰,v) -p> 0.

V případě, že bod Q₀ spolu s původem souřadnic je umístěn na stejné straně II, pak vytvořený úhel je ostrá, to znamená:

d = (rho-rho-⁰,v) = p- (rho-⁰, v)> 0.

Výsledkem je, že v prvním případě (rho-⁰,v)> p, ve druhém (rho-⁰,(v)

Tečna rovina a její rovnice

Rovina dotýkající se povrchu v bodě kontaktu Mordm - je rovina obsahující všechny možné tečny ke křivkám protaženým tímto bodem na povrchu.

Díky této povrchové formy rovnice F (x, y, z) = 0 v rovnici tečné roviny tečným bodem Mordm- (hordm-, uordm-, zordm-) by:

F_x(xordm-, uordm-, zordm-) (x-hordm -) + F_x(hordm-, uordm-, zordm-) (y-uordm -) + F_x(xordm-, uordm-, zordm-) (z-zordm -) = 0.

Nastavíme-li povrch v explicitní podobě z = f (x, y), tečná rovina bude popsána rovnicí:

z-zordm- = f (hordm-, uordm -) (x hordm -) + f (hordm-, uordm -) (y uordm-).

Průsečík dvou rovin

V trojrozměrný prostor Jedná se o souřadnicový systém (obdélníkový) Oxyz, vzhledem k tomu dvě roviny P ‚a P‘, které se překrývají a nesplývají. Vzhledem k tomu, jakékoli rovině, která je v pravoúhlém souřadném systému definována obecnou rovnicí, předpokládáme, že n ‚a n„jsou definovány rovnicemi A`x + V`u S`z + + D‘= 0 a A" + B x `+ y S "z + D" = 0. V tomto případě mají normální n `(A`, B `C`) a rovinou P `a běžnou n "(A", B "C") v rovině P`. Vzhledem k tomu, že naše letadla nejsou rovnoběžná a nesouhlasí, nejsou tyto vektory kolineární. Pomocí jazyka matematiky můžeme tuto podmínku napsat takto: n`ne- n " harr- (A `, B`, C `) ne- (lambda- * A ", lambda- * B", lambda- * C "), lambda-εR. Nechť čára ležící na křižovatce P `a Π "je označena písmenem a, v tomto případě a = Π` cap-P ".

a je čára sestávající ze souboru všech bodů (společných) rovin II `a II`. To znamená, že souřadnice libovolného bodu patřícího k přímce a musí současně uspokojit rovnice A`x + B`y + C`z + D `= 0 a A "x + B" y + C "z + D" = 0. Souřadnice bodu budou tedy konkrétním řešením následujícího systému rovnic:

Výsledkem je, že řešení (společné) tohoto systému rovnic určí souřadnice každého z bodů přímky, která bude působit jako průsečík bodů P `a P ", a určí přímku a v souřadném systému Oxyz (obdélníkový) v prostoru.