Plocha základny hranolu: od trojúhelníkové až po mnohoúhelníkové

Různé hranoly se liší od sebe. Zároveň mají mnoho společného. Abychom našli plochu základny hranolu, bude třeba pochopit, jaký má.

Obecná teorie

Prism je libovolný polyhedron, jehož strany jsou rovnoběžné. V tomto případě se může v jeho základně objevit jakýkoli polyhedron, od trojúhelníku k n-gonu. A základy hranolu jsou vždy stejné. Co se nevztahuje na boční plochy - mohou se značně lišit ve velikosti.

Při řešení problémů se vyskytuje nejen oblast základny hranolu. Může být nezbytné znát boční povrch, tj. Všechny tváře, které nejsou základy. Kompletní povrch bude již spojením všech tváří, které tvoří hranol.

Někdy úkoly zahrnují nadmořskou výšku. Je kolmá k základnám. Úhlopříčka polyhedronu je segment, který spojuje dva vrcholy ve dvojicích, které nepatří ke stejné tváři.

Je třeba poznamenat, že oblast základny přímého hranolu nebo naklonění nezávisí na úhlu mezi nimi a bočními plochami. Pokud mají na horní a spodní straně stejné postavy, budou mít stejné plochy.

Trojúhelníkový hranol

Má v základně postavu se třemi vrcholy, tj. Trojúhelníkem. Jak víte, je to jiné. Pokud trojúhelník je obdélníkový, stačí připomenout, že jeho plocha je určena polovičním produktem nohou.

Matematická notace je následující: S = frac12-av.

Chcete-li najít plochu základny trojúhelníkového hranolu v obecné podobě, budou užitečné následující vzorce: Heron a ta, ve které je polovina strany zachycena na výšku, která je k ní přitahována.

První vzorec by měl být napsán jako: S = radic- (p (p-a) (p-c) (p-c)). V tomto záznamu je půlperimetr (p), tedy součet tří stran, rozdělených na dvě.

Druhý: S = frac12-n_a * a.

Pokud chcete znát základní plochu trojúhelníkového hranolu, který je správný, pak je trojúhelník rovnostranný. Pro něj je vzorec: S = frac14- a² * * * radic-3.

Čtyřhranný hranol

Jeho základem je jakýkoli známý quadrangles. Může to být obdélník nebo čtverec, rovnoběžnost nebo kosočtverec. V každém případě pro výpočet plochy základny hranolu potřebujeme vlastní vzorec.

Je-li základem obdélník, je jeho plocha definována jako: S = av, kde a, v - stranách obdélníku.

Pokud jde o čtyřhranný hranol, je plocha základny správného hranolu vypočítána vzorem pro čtverec. Protože ten, kdo leží na dně. S = a².

V případě, že základna je rovnoběžnost, bude zapotřebí následující rovnost: S = a * n_a. Stává se, že strana rovnoběžnosti je dána a jeden z rohů. Poté, abychom vypočítali výšku, musíme použít další vzorec: n_a = v * sin A. Navíc je úhel A sousedící s bokem "в" a výškou н_a oproti tomuto rohu.

Je-li kosočtverec na bázi hranolu, pak pro určení jeho oblasti bude potřebný stejný vzorec jako pro rovnoběžník (od jeho konkrétního případu). Ale můžete použít toto: S = frac12-d₁ d₂. Zde d₁ a d₂ - dvě diagonály kosočtverce.

Správný pentagonový hranol

Tento případ zahrnuje rozdělení polygonu na trojúhelníky, jejichž oblasti se snadněji učí. Ačkoli se stane, že čísla mohou být s různým počtem vrcholů.

Vzhledem k tomu, že základna hranolu je pravidelný pentagon, může být rozdělena do pěti rovnostranných trojúhelníků. Pak je plocha základny hranolu rovna ploše jednoho takového trojúhelníku (vzorec je vidět výše) vynásobený pěti.

Správný šestiúhelníkový hranol

Podle principu popsaného pro pětiúhelníkový hranol je možné rozdělit šestiúhelník základny na 6 rovnostranných trojúhelníků. Vzorec základní plochy takového hranolu je obdobný jako předchozí. Jen v tom oblasti rovnostranného trojúhelníku by měla být vynásobena šesti.

Vzorec vypadá takto: S = 3/2 a² * * * radic-3.

Cíle

Pravý čtyřhranný hranol je uveden. Jeho úhlopříčka je 22 cm, výška polyhedronu je 14 cm. Vypočítejte plochu základny hranolu a celého povrchu.

Řešení. Podstata hranolu je čtverec, ale jeho strana není známá. Jeho hodnota může být od diagonály čtverce (x), která je spojena s úhlopříčkou hranolu (d) a jeho výškou (n). x² = d² - Pane². Na druhou stranu, tento segment "x" je hypotenze v trojúhelníku, jehož nohy jsou rovné straně náměstí. To znamená x² = a² + a². Tak se ukazuje, že a² = (d² - Pane²) / 2.

Chcete-li vyměnit d s číslem 22 a "n" a vyměnit jej za hodnotu 14, ukáže se, že strana čtverce je 12 cm. Nyní zjistěte plochu základny: 12 * 12 = 144 cm².

Chcete-li zjistit plochu celého povrchu, musíte přidat dvojnásobek hodnoty základního a čtyřúhelníku. Druhá z nich lze snadno zjistit pomocí vzorce pro obdélník: vynásobte výšku polyhedronu a stranu základny. To znamená, 14 a 12, toto číslo se rovná 168 cm². Celková plocha hranolu je 960 cm².

Odpovědět. Plocha základny hranolu je 144 cm². Celý povrch je 960 cm².

2. Je uveden správný trojúhelníkový hranol. Na základně je umístěn trojúhelník se stranou 6 cm, přičemž úhlopříčka boční plochy je 10 cm. Vypočítejte plochy: základnu a boční plochu.

Řešení. Vzhledem k tomu, že hranol je správný, jeho základem je rovnostranný trojúhelník. Proto se jeho plocha rovná 6 ve čtverci vynásobeném frac14- a kořen čtverce 3. Jednoduchý výpočet vede k výsledku: 9radic-3 cm². Toto je oblast jedné základny hranolu.

Všechny boční plochy jsou stejné a představují obdélníky se stranami 6 a 10 cm. Pro výpočet jejich ploch stačí tyto čísla vynásobit. Pak je vynásobte třemi, protože existuje mnoho bočních okrajů hranolu. Pak se plocha bočního povrchu ukáže jako rána o 180 cm².

Odpovědět. Oblasti: pozemky - 9radic-3 cm², boční plocha hranolu - 180 cm².