Diofantinová rovnice: metody řešení s příklady

Algebraické nerovnosti nebo jejich systémy s racionálními koeficienty, jejichž řešení se hledá v integrálních nebo celočíselných číslech. Obvykle je počet neznámých v Diophantine rovnicích větší. Jsou tedy také známé jako nejasné nerovnosti. V moderní matematice se výše uvedená myšlenka aplikuje na algebraické rovnice, jejichž řešení se hledá v algebraických celých číslech rozšíření pole Q-racionálních proměnných, pole p-adic a tak dále.

Původ těchto nerovností

Studium Diophantinových rovnic je na hranici teorie čísel a algebraické geometrie. Hledání řešení v celočíselných proměnných je jedním z nejstarších matematických problémů. Již na počátku druhého tisíciletí př.nl. Starobylští Babylonci se podařilo vyřešit systémy rovnic se dvěma neznámymi. Tato větev matematiky vzkvétala nejvíce ve starověkém Řecku. Aritmetika Diophantus (asi 3. století nl) je významný a hlavní zdroj, který obsahuje různé typy a systémy rovnic.

V této knize Diophantus předvídal řadu metod pro studium nerovností druhého a třetího stupně, které byly plně rozvinuty v 19. století. Vytvoření teorie racionálních čísel tímto výzkumníkem starověkého Řecka vedlo k analýze logických řešení nejistých systémů, které jsou systematicky doprovázeny ve své knize. Navzdory skutečnosti, že jeho práce obsahuje řešení specifických Diophantine rovnic, existují důvody k domněnce, že byl také obeznámen s několika běžnými metodami.

Studium těchto nerovností je obvykle spojeno se závažnými obtížemi. Vzhledem k tomu, že obsahují polynomy s celočíselnými koeficienty F (x, y1, hellip-, y_n). Na základě toho byly vyvozeny závěry, že neexistuje žádný jediný algoritmus, kterým by bylo možné pro jakýkoli daný x určit, zda rovnice F (x, y₁,hellip-, y_n). Situace je řešitelná pro y₁, hellip, y_n. Příklady takových polynomů mohou být psány.

Nejjednodušší nerovnost

ax + by = 1, kde a a b jsou poměrně celočíselné a primiční, existuje spousta poprav pro to (pokud x_0, y₀ výsledek je generován, pak dvojice proměnných x = x₀ + b_n a y = y₀^-an, kde n je libovolná, bude také považována za nerovnost). Dalším příkladem Diophantinových rovnic je x² + y² = z². Pozitivní základní řešení této nerovnosti jsou malé strany o délce X, Y a pravoúhlé trojúhelníky, stejně jako přepona Z s integrovanými bočními rozměry. Tato čísla jsou známá jako Pythagorean čísla. Všechny triplety ve vztahu k jednoduchým proměnným uvedeným výše jsou dány vzorci x = m² - n², y = 2mn, z = m² + n², kde m a n jsou celé čísla a primes (m> n> 0).

Diophantus ve svém "aritmetickém" hledá racionální (ne nutně integrální) řešení zvláštních typů jejich nerovností. Obecná teorie řešení Diophantinových rovnic prvního stupně byla vyvinuta K. G. Bashetem v 17. století. Jiní vědci na počátku devatenáctého století studovali především podobné nerovnosti typu osy² +bxy + cy² + dx + ey + f = 0, kde a, b, c, d, e a f jsou obecné, nehomogenní, s dvěma neznámými druhého stupně. Lagrange používal v jeho studiu nepřetržité frakce. Gauss pro kvadratické formy vyvinul obecnou teorii, která je základem řešení určitých typů.

Ve studiích těchto nerovností druhého stupně došlo k významnému pokroku až ve dvacátém století. V A. Thue bylo zjištěno, že Diophantine rovnice a₀xⁿ + a₁x^n-1y + hellip- + a_nyⁿ= c, kde nge-3, a₀,hellip-, a_n,c jsou celá čísla a a₀tⁿ + ^hellip- +a_n nemůže mít nekonečné množství celočíselných řešení. Metoda Thue však nebyla správně vyvinuta. A. Baker vytvořil efektivní teorémy, které poskytují odhady o splnění určitých rovnic tohoto druhu. B. N. Delaunay navrhl jinou metodu vyšetřování, použitelnou na užší skupinu těchto nerovností. Zejména forma os³ + y³ = 1 je tímto způsobem zcela vyřešitelný.

Diofantinové rovnice: metody řešení

Teorie Diophantus má mnoho směrů. Takže dobře známým problémem v tomto systému je hypotéza, že neexistuje žádný netriviální řešení Diophantinových rovnic xⁿ + yⁿ = zⁿ pokud n 3 (Fermatova otázka). Studium celých nerovností je přirozené zobecnění problému pythagorejských tripletů. Euler uspokojivého řešení tohoto problému Farm pro n = 4. S ohledem na tento výsledek, že se odkazuje na důkaz nepřítomnosti integrální, nenulovou výzkumu rovnice, je-li n - je liché prvočíslo.

Studie týkající se rozhodnutí nebyla dokončena. Obtíže s jeho implementací jsou způsobeny skutečností, že jednoduchá factorizace v kruhu algebraických celých čísel není jedinečná. Dělitelská teorie v tomto systému pro mnoho tříd hlavních exponentů n nám dovoluje potvrdit platnost Fermatovy věty. Existující metody a metody tedy uspokojují lineární Diophantine rovnici s dvěma neznámými.

Typy a typy popsaných úloh

Aritmetika kruhů algebraických celých čísel je také použita v mnoha dalších problémech a řešeních diophantinových rovnic. Například takové metody byly aplikovány, když nerovnosti formy N (a₁ x₁ +hellip- + a_nx_n) = m, kde N (a) je norma a, a x₁, hellip-, x_n jsou nalezeny integrální racionální proměnné. Tato třída zahrnuje rovnici Pell x^2-dy²= 1.

Hodnoty a_{1, hellip-,} a_n které se objevují, jsou tyto rovnice rozděleny do dvou typů. První typ - tzv kompletní forma - zahrnují rovnice, ve které m je mezi počet lineárně nezávislé nad racionální proměnné Q, kde m = [Q (a₁,hellip-, a_n): Q], ve kterém existuje stupeň algebraických exponentů Q (a1, hellip-, a_n) přes Q. Neúplné pohledy jsou ty, ve kterých je maximální počet a_i méně než m.

Kompletní formuláře jsou jednodušší, jejich výzkum je dokončen a lze nalézt všechna řešení. Druhý typ - neúplný druh - je složitější a vývoj takové teorie není dosud úplný. Tyto rovnice jsou studovány pomocí Diophantine aproximace, které zahrnují nerovnosti F (x, y) = C, kde F (x, y) - ČEP-stupeň polynomu je nesnížitelný 3 uniformní. Můžeme tedy předpokládat, že y_i→infin-. Proto pokud y_i To je dostatečně velký, nerovnost by bylo v rozporu věta Thue, Siegel a Roth, z čehož vyplývá, že F (x, y) = C, kde F tvoří třetí stupeň nebo vyšší nesnížitelný může mít nekonečný počet řešení.

Jak řešit Diophantine rovnici?

Tento příklad je poměrně úzká třída mezi všemi. Například, navzdory jejich jednoduchosti, x³ + y³ + z³ = N, a také x² +y ² +z² +u² = N nejsou zařazeny do této třídy. Studium řešení je důkladně studovaným oborem Diophantinových rovnic, kde reprezentace vychází z reprezentace kvadratických čísel. Lagrange vytvořil větu, která uvádí, že exekuce existuje pro všechny přirozené N. Každé přirozené číslo může být reprezentováno jako součet tří čtverců (Gaussova věta), ale neměl by mít formu 4^a(8K-1), kde a a k jsou ne-negativní celočíselné exponenty.

Racionální nebo integrální řešení systému Diophantine rovnice typu F (x₁, hellip-, x_n) = a, kde F (x₁, hellip-, x_n) je kvadratická forma s celočíselnými koeficienty. Tak, podle Minkowského-Hasseovy věty, nerovnost součet-a_ijx_ix_j = b kde a_ij a b je racionální, má integrální řešení v reálných a p-adických číslech pro každý primární p, pouze pokud je v této struktuře řešitelné.

Kvůli vlastním potížím bylo studium čísel s libovolnými formami třetího a vyššího stupně studováno v menší míře. Hlavní metodou provedení je metoda trigonometrických součtů. V tomto případě je počet řešení rovnice explicitně vyjádřen v podmínkách Fourierova integrálu. Potom se metoda životního prostředí používá k vyjádření míry plnění nerovností odpovídajících kongruencí. Metoda trigonometrických součtů závisí na algebraických singularitách nerovností. Existuje velké množství elementárních metod pro řešení lineárních rovnic Diophantine.

Diofantinová analýza

Ústav matematiky, jehož předmětem je studium integrálních a racionálních řešení systémů metod rovnice algebry geometrie ze stejné oblasti. Ve druhé polovině XIX století, vznik teorii čísel vedlo ke studiu rovnic Diophantus libovolného pole s koeficienty a roztoky byly považovány buď v něm nebo v jeho prstenců. Systém algebraických funkcí vyvinutý paralelně s čísly. Hlavní podobnost mezi nimi, což bylo zdůrazněno a D. Hilbert zejména L. Kroneckera vedlo k jednotnému konstrukci různých aritmetických pojmů, které se běžně nazývají globální.

To je zvláště patrné, jestliže jsou algebraické funkce, které jsou studovány přes konečné pole konstant, jedna proměnná. Koncepty, jako je teorie polních tříd, dělitel, stejně jako rozvětvení a výsledky jsou dobrým příkladem. Tento pohled byl přijat v systému Diophantine nerovnosti teprve později, a systematický výzkum nejen s numerickými, ale také s koeficienty, které jsou funkcemi, začal až v 50. letech. Jedním z rozhodujících faktorů v tomto přístupu byl vývoj algebraické geometrie. Současné studium oblastí čísel a funkcí, které vznikají ve dvou stejně důležitých aspektech stejného tématu, nejenže dalo elegantní a přesvědčivé výsledky, ale vedlo k vzájemnému obohacení obou témat.

V algebraické geometrii potrubí je nahrazen pojmem non-invariantní sady nerovností v průběhu daného pole K, a jejich řešení jsou nahrazeny racionální bodů s hodnotami K, nebo na konci jeho expanzi. Lze tudíž říci, že zásadním problémem Diophantine geometrie je prozkoumat racionální body algebraický množině X (K), kde X - určitý počet pole K. Provedení celé číslo má geometrický význam lineární Diophantine rovnic.

Studie nerovnosti a možnosti implementace

Při studiu racionálních (nebo integrálních) bodů o algebraických odrůdách vzniká první problém spočívající v jejich existenci. Desátý Hilbertův problém je formulován jako problém nalezení obecné metody pro řešení tohoto problému. V procesu vytváření přesného algoritmu pro určení, a poté, co bylo prokázáno, že tak velký počet poprav pro úkoly neexistují, zřejmý problém má negativní výsledek, a nejzajímavější otázkou je definice tříd Diophantine rovnic, pro které existuje systém je uvedeno výše. Nejpřirozenější přístup, z algebraické hlediska, je takzvaný princip Hasse: počáteční pole K je studován spolu se svými dokončených K_v na všech možných odhadech. Protože X (K) = X (K_v) jsou nezbytnou podmínkou pro existenci a bod K bere v úvahu, že množina X (K_v) nejsou pro všechny v prázdné.

Důležitost spočívá v tom, že snižuje dva problémy. Druhá je mnohem jednodušší, je řešitelná dobře známým algoritmem. V konkrétním případě, kdy X je projektivní, Hensel lemma a jeho zobecnění umožnit další snížení: Problém může být snížena ke studiu racionálních bodů nad konečným polem. Pak se rozhodne postavit koncept buď následnou studií, nebo efektivnějšími metodami.

Posledním důležitým aspektem je, že množiny X (K_v) jsou prázdné pro všechny v, s výjimkou konečného čísla, takže počet podmínek je vždy konečný a mohou být účinně ověřeni. Zásada Hasse se však nevztahuje na zakřivené pravomoci. Například 3x³ +4y³= 5 má body ve všech polích p-adického čísla a v systému reálná čísla, ale nemá žádné rozumné body.

Tato metoda slouží jako výchozí bod pro budování koncept, který popisuje tříd základních homogenních prostorech abelian odrůd pro provádění „odchylky“ od zásady Hasse. Popisuje se ve zvláštním uspořádání, které může být spojeno s každou odrůdou (skupina Tate-Safarevic). Hlavní obtíž teorie spočívá v tom, že je obtížné získat metody pro výpočet skupin. Tento koncept byl rozšířen i na jiné třídy algebraických odrůd.

Vyhledejte algoritmus pro splnění nerovností

Další heuristické idea používá při studiu Diophantine rovnic, je to, že pokud je počet proměnných podílejících se souborem nerovnic - je velký, systém obvykle má řešení. Je však velmi obtížné prokázat konkrétní případ. Obecný přístup k problémům tohoto typu využívá analytickou teorii čísel a vychází z odhadů trigonometrických součtů. Tato metoda byla původně aplikována na speciální typy rovnic.

Nicméně, to bylo následně prokázáno, s tím, je-li stupeň liché tvaru - je F, a d v n proměnné, a s racionálními koeficienty, n je dostatečně velké ve srovnání s D, tak má racionální bod projektivní nadplochy F = 0. Podle hypotézy Artin, tento výsledek je správný, i když n> d². To je dokázáno pouze u kvadratických forem. Podobné problémy je možné požádat o další pole. Ústředním problémem Diophantine geometrie je struktura sady čísel nebo racionálních bodů a studovat je, a první otázka, kterou je třeba vyjasnit, zda tento soubor je konečný. V tomto problému má situace obvykle konečný počet poprav, pokud je stupeň systému mnohem větší než počet proměnných. To je základní předpoklad.

Nerovnosti na přímkách a křivkách

Skupina X (K) může být reprezentována jako přímý součet volné struktury řady r a konečné skupiny řádu n. Od roku 1930, jsme se zabývali otázkou, zda jsou omezeny na počet množiny všech eliptických křivek nad dané oblasti K. Omezení torzní n bylo prokázáno v sedmdesátých letech. V funkčním případě existují křivky libovolné vysoké pozice. V číselném případě na tuto otázku stále není žádná odpověď.

Konečně tvrzení Mordell tvrdí, že počet integrálních bodů je konečný pro křivku rodu g> 1. Ve funkčním případě tento názor demonstroval Yu I. Manin v roce 1963. Hlavním nástrojem, který se používá při důkazu věty o konečnosti v Diophantine geometrii, je výška. Abelian algebraických odrůd rozměrem větším než jedné odrůdy, z nichž jsou multi-dimenzionální analogy eliptických křivek byly nejdůkladněji studován.

Weil zobecnit větu o konečném počtu generátorů racionálních bodů na Abelian odrůd jakéhokoli rozměru (Mordell-Weil koncepce), rozšíření jej. V šedesátých letech se objevila hypotéza Birch a Swinnerton-Dyer, která zlepšila tuto skupinu a zeta funkce rozmanitosti. Numerické důkazy tuto hypotézu podporují.

Problém s řešením solventnosti

Problém nalezení algoritmu, pomocí kterého lze určit, zda nějaká Diophantine rovnice má metodu řešení. Základním rysem problému je hledání univerzální metody, která by byla vhodná pro jakoukoli nerovnost. Takový způsob by rovněž umožní vyřešit výše uvedeného systému, protože je ekvivalentní P21 + ⋯ + P2K = 0.p1 = 0, ..., PK = 0n = 0, ..., nK je 0 nebo p21 + ⋯ + P2K = 0. n12 + ⋯ + nK2 = 0. Problém nalezení takové univerzální metody hledání řešení pro lineární nerovnosti v celých číslech byl způsoben D. Hilbert.

Na počátku roku 1950 byly první studie zaměřené na prokázání existence žádný algoritmus pro řešení Diophantine rovnic. V této době došlo k hypotéza Davis, který uvedl, že jakákoli enumerable set také patří do řeckého vědce. Jelikož jsou známy příklady algoritmicky nerozpoznatelných sad, jsou však rekurzivně vyčíslitelné. Z toho vyplývá, že hypotéza je správná a problém Davis řešitelnosti těchto rovnic je negativní úspěch.

Poté pro Davisovu domněnku zbývá prokázat, že existuje způsob, jak přeměnit nerovnost, která také (nebo neměla) zároveň řešení. Bylo prokázáno, že taková změna Diophantine rovnice je možná, pokud je s uvedenými dvěma vlastnostmi: 1) v jakémkoli řešení tohoto typu vle-uu - 2) pro všechny k Existuje implementace, ve které je přítomen exponenciální růst.

Příkladem lineární Diophantine rovnice této třídy vyplní důkaz. Problém existence algoritmu pro vyřešení a rozpoznání těchto nerovností v racionálních počtech je stále důležitou a otevřenou otázkou, která nebyla dostatečně prozkoumána.