Problémy vyřešené pomocí rovnice. Řešení problémů v matematice

V průběhu školní matematiky jsou nutně problémy. Někteří jsou kroutí v několika činů, jiní vyžadují nějakou hádanku.

Úkoly, které je třeba řešit s pomocí rovnice, jen na první pohled obtížné. Pokud se cvičíte, pak se tento proces dostane do automatického režimu.

Geometrické tvary

Abychom pochopili tuto otázku, musíte pochopit podstatu. Pečlivě si přečtěte stav, je lepší několikrát přečíst. Problémy pro rovnice jsou na první pohled obtížné. Zvažme příklad pro začátek nejjednodušší.

Vzhledem k obdélníku musíte najít jeho oblast. Vzhledem k tomu, že šířka je o 48% menší než délka, obvod obdélníku je 7,6 centimetrů.

Řešení problémů v matematice vyžaduje pečlivé čtení, logiku. Pojďme to zvládnout společně. Co je třeba nejprve vzít v úvahu? Označujeme délku x. Proto je v naší rovnici šířka 0,52x. Dáváme obvod - 7,6 centimetrů. Najdeme půlperimetr, protože pro toto 7,6 centimetrů jsme rozděleni o 2, je to 3,8 centimetrů. Získali jsme rovnici, pomocí níž zjistíme délku a šířku:

0,52x + x = 3,8.

Když dostaneme x (délku), nebude těžké najít 0,52x (šířku). Pokud známe tato dvě množství, pak najdeme odpověď na hlavní otázku.

Problémy vyřešené pomocí rovnice nejsou tak složité, jak se zdá, mohli bychom to pochopit z prvního příkladu. Zjistili jsme, že délka x = 2,5 centimetrů, šířka (budeme označovat y) 0,52 x = 1,3 centimetrů. Přejdeme na náměstí. Jednoduchý vzorec to zjistí S = x * y (pro obdélníky). V našem problému S = 3,25. To bude odpověď.

Podívejme se na některé příklady řešení problémů s nalezením oblasti. A tentokrát si vezmeme obdélník. Řešení problémů v matematice pro nalezení obvodu, oblast různých čísel je poměrně často. Četli jsme stav problému: je uveden obdélník, jeho délka je o 3,6 cm větší než šířka, což je 1/7 obvodu postavy. Najděte oblast tohoto obdélníku.

Bude vhodné označovat šířku proměnné x a délku po (x + 3,6) centimetr. Najděte obvod:

P = 2x + 3,6.

Nemůžeme vyřešit rovnici, protože v ní máme dvě proměnné. Proto se na to znovu podíváme. Říká se, že šířka je 1/7 obvodu. Získáme rovnici:

1/7 (2x + 3,6) = x.

Pro usnadnění řešení vynásobte každou část rovnice 7, a tak se zbavíme frakce:

2x + 3,6 = 7x.

Po řešení dostaneme x (šířku) = 0,72 centimetrů. Když známe šířku, zjistíme délku:

0,72 + 3,6 = 4,32 viz

Nyní známe délku a šířku, odpovídáme na hlavní otázku o tom, v jaké oblasti se obdélník rovná.

S = x * y, S = 3,1104 cm.

Těsto s mlékem

Řešení problémů pomocí rovnic způsobuje pro žáky velké potíže, a to navzdory skutečnosti, že toto téma začíná ve čtvrtém ročníku. Existuje mnoho příkladů. Podívali jsme se na nalezení oblasti obrazců, která se nyní trochu rozptýlila od geometrie. Podívejme se na jednoduché úkoly s tabulováním, pomáhají vám vizuálně: takže můžete vidět data, která pomáhají v řešení.

Pozvěte děti, aby si přečetli stav problému a vytvořili tabulku, která vám pomůže sestavit rovnici. Zde je podmínka: jsou dvě plechovky, v prvních třikrát více mléka než ve druhém. Pokud se do druhého naleje pět litrů, mléko bude stejné. Otázka: Kolik mléka bylo v každé nádobě?

Chcete-li pomoci s řešením, musíte vytvořit tabulku. Jak by to mělo vypadat?

Jak to pomůže při formulaci rovnice? Víme, že v důsledku toho, že mléko se stalo rovno, tak rovnice vypadá takto:

3x-5 = x + 5-

2x = 10-

x = 5.

Původní množství mléka bylo zjištěno v druhém plechu, což znamená, že v první nádobě bylo: 5 * 3 = 15 litrů mléka.

Nyní trochu vysvětlení kompilace tabulky.

Proč jsme označili první plechovku za 3x: v podmínkách je stanoveno, že druhé mléčné dělo je třikrát méně. Pak jsme četli, že z první nádoby bylo vypuštěno 5 litrů 3x5, a ve druhém nalít: x + 5. Proč jsme tyto podmínky vyrovnali? V podmínkách problému se říká, že mléko je stejné.

Takže máme odpověď: první dělo - 15 litrů, druhé - 5 litrů mléka.

Stanovení hloubky

Podmínkou problému je, že hloubka první studny je o 3,4 m větší než druhá. První studna byla zvýšena o 21,6 metru a druhá - třikrát, po těchto akcích mají studny stejnou hloubku. Je nutné vypočítat, jaká hloubka měla každá studna původně.

Metody řešení problémů jsou četné, lze dělat akce, vytvořit rovnice nebo jejich systém, ale druhá možnost je nejvhodnější. Chcete-li jít do řešení, vytvoříme tabulku, jako v předchozím příkladu.

Teď se obracíme na formulaci rovnice. Vzhledem k tomu, že studny mají stejnou hloubku, mají následující podobu:

x + 3,4 + 21,6 = 3x-

x = 3x =-25-

-2x = -25-

x = -25 / -2-

x = 12,5

Našli jsme původní hloubku druhého vrtu, nyní můžeme najít první:

12,5 + 3,4 = 15,9 m.

Po provedených akcích zapisujeme odpověď: 15,9 m, 12,5 m.

Dva bratři

Všimněte si, že tento úkol se liší od všech předchozích, protože podmínkou původně byl stejný počet objektů. V návaznosti na to je pomocný stůl sestaven v opačném pořadí, to znamená od "to stalo se" k "bylo".

Stav: dva bratři dali stejně ořechy, ale starší dal jeho bratříčka 10, po které mladší Byli ořechy pětkrát více. Kolik ořechů je pro každého chlapce?

Tvoříme rovnici:

x + 10 = 5x - 10-

-4x = -20-

x = 5 - se stali ořechy staršího bratra;

5 * 5 = 25 - mladšího bratra.

Nyní můžete zapsat odpověď: 5 matic - 25 matic.

Nakupování

Ve škole musíte koupit knihy a notebooky, první dražší než druhá na 4,8 rublů. Musíte spočítat, kolik je jedna kniha a jediná kniha, v případě, že nákup pětadvacet knih a jeden notebook zaplatil stejnou částku peněz.

Než se dostanete k řešení, stojí za to zodpovědět následující otázky:

• Jaký je problém v tomto problému?
• Kolik zaplatili?
• Co jste koupil?
• Jaké hodnoty lze vyrovnat?
• Co potřebujete vědět?
• Jaká je hodnota pro x?

Pokud jste odpověděli na všechny otázky, obrátili jsme se k řešení. V tomto příkladu lze hodnotu x považovat za cenu jednoho notebooku a za cenu knihy. Uvažujme o dvou možných variantách:

1. x je tedy cena jednoho notebooku x + 4.8 - cena knihy. Vycházíme z této rovnice: 21x = 5 (x + 4,8).
2. x je tedy cena knihy, pak x - 4.8 - cena notebooku. Rovnice má podobu: 21 (x - 4,8) = 5x.

Můžete si zvolit vhodnější možnost pro sebe, pak řešit dvě rovnice a porovnat odpovědi, měly by se shodovat na celku.

První cesta

Řešení první rovnice je:

21x = 5 (x + 4,8) -

4,2x = x + 4,8-

4,2x-x = 4,8-

3,2 x = 4,8-

x = 1,5(ruble) - náklady na jeden notebook;

4,8 + 1,5 = 6,3 (ruble) - náklady na jednu knihu.

Další způsob řešení této rovnice (otevírání závorek):

21x = 5 (x + 4,8) -

21x = 5x + 24-

16x = 24-

x = 1,5 (ruble) - náklady na jeden notebook-

1,5 + 4,8 = 6,3 (ruble) - náklady na jednu knihu.

Druhá cesta

5x = 21 (x - 4,8) -

5x = 21x - 100,8-

16x = 100,8-

x = 6,3 (rublů) - náklady na 1 knihu;

6,3 - 4,8 = 1,5 (rublů) - náklady na jeden notebook.

Jak je zřejmé z příkladů, odpovědi jsou shodné, a proto je problém vyřešen správně. Sledujte správnost řešení, v našem příkladu by odpovědi neměly být negativní.

Existují i ​​další problémy, které lze řešit pomocí rovnice, například při pohybu. Zvažme je podrobněji v následujících příkladech.

Dvě auta

V této části se budeme zabývat úkoly pohybu. Abyste je mohli vyřešit, musíte znát následující pravidlo:

S = V * T,

S - vzdálenost, V - rychlost, T - čas.

Pokusíme se zvážit příklad.

nechal současně z bodu A dvě auta do bodu B. První Celková vzdálenost ujetá při stejné rychlosti, v první polovině druhé dráhy pohybující se rychlostí 24 km / h, a druhý - 16 km / h. Je třeba určit rychlost první motoristy, pokud v bodě B přišla současně.

Co potřebujeme k sestavení rovnice: hlavní proměnná V₁ (rychlost prvního vozu), sekundární: S - cesta, T₁ - čas v cestě prvního auta. Rovnice: S = V₁ * T_1.

Dále: druhé vozidlo první poloviny cesty (S / 2) cestovalo rychlostí V₂= 24 km / h. Získáváme výraz: S / 2 = 24 * T_2.

V další části cesty cestoval rychlostí V₃ = 16 km / h. Máme to S / 2= 16 * T₃.

Dále z tohoto stavu vidíme, že auta dorazily současně, a proto T₁ = T₂ + T₃. Nyní musíme vyjádřit proměnné T₁, T₂,T₃ z našich předchozích podmínek. Získáme rovnici: S / V₁ = (S / 48) + (S / 32).

S je považována za jednotu a řešíme rovnici:

1 / V₁ = 1/48 + 1 / 32-

1 / V₁ = (2/96) + (3/96) -

1 / V₁ = 5 / 96-

V₁ = 96 / 5-

V₁ = 19,2 km / h.

To je odpověď. Problémy vyřešené pomocí rovnice jsou složité až na první pohled. Kromě výše uvedených návrhů se pracovní úkoly mohou setkat, co to je, zvažte v další části.

Job Challenge

Chcete-li vyřešit tento typ úkolu, musíte znát vzorec:

A = VT,

kde A je práce, V je produktivita.

Pro podrobnější popis je třeba uvést příklad. Předmět „řešení problémů rovnice“ (stupeň 6), nemohou obsahovat takové problémy, protože je obtížnější úrovni, ale přesto uvést příklad pro referenci.

Pečlivě si přečtěte stav: dva pracovníci pracují společně a plánují se provádět po dobu dvanácti dnů. Je nutné určit, kolik času bude trvat, než první zaměstnanec sám splní stejnou normu. Je známo, že po dobu tří dnů vykonává práci na dva dny jako druhý zaměstnanec.

Řešení problémů při sestavování rovnic vyžaduje pečlivé čtení stavu. První věc, kterou jsme z úkolu pochopili, že práce není definována, znamená, že ji považujeme za jednotku, to znamená A = 1. Pokud se problém týká určitého počtu částí nebo litrů, je třeba provést práci z těchto údajů.

Označte produktivitu prvního a druhého pracovníka přes V₁ a V₂ Proto je v této fázi možná následující rovnice:

1 = 12 (V₁ + V₂)..

Co nám tato rovnice říká? Že všechny práce dělají dva lidé za dvanáct hodin.

Dále můžeme říci: 2V₁ = 3V₂. Protože první za dva dny dělá tolik jako druhý ze tří. Získali jsme systém rovnic:

1= 12 (V1 + V2) -

2V₁ = 3V_2.

Na základě řešení systému jsme získali rovnici s jednou proměnnou:

1 - 8V₁ = 12V_L-

V₁ = 1/20 = 0,05.

To je produktivita práce prvního pracovníka. Nyní můžeme najít čas, pro který se první osoba bude vyrovnávat se všemi pracemi:

A = V₁ * T_L-

1 = 0,05 * T₁-

T₁ = 20.

Vzhledem k tomu, že den byl přijat jako jednotka času, odpověď je: 20 dní.

Reformulace problému

Pokud jste zvládli dovednost řešit problémy s dopravou a máte určité potíže s úkoly pro práci, pak je možné dostat provoz z práce. Jak? Pokud vezmeme poslední příklad, pak je stav následující: Oleg a Dima se pohybují směrem k sobě, setkávají se za 12 hodin. Pro koho bude cesta překonávat nezávisle Oleg, pokud je známo, že za dvě hodiny cestuje za tři hodiny stejnou cestou jako Dima.