Nevyřešitelné problémy: Navier-Stokesovy rovnice, Hodge hypotéza, Riemannova hypotéza. Cíle tisíciletí

Nevyřešitelné úkoly jsou 7 zajímavých matematických problémů. Každá z nich byla včas předložena známými vědci, zpravidla ve formě hypotéz. Po desetiletí, nad svým rozhodnutím, porušují hlavy matematiky po celém světě. Ti, kdo uspějí, budou odměněni cenou milionů dolarů, kterou nabízí Clay Institute.

Prehistorie

V 1900 velký německý matematik-generál David Gilbert, představil seznam 23 problémů.

Studie provedené k jejich řešení mají obrovský dopad na vědu 20. století. V současné době většina z nich už přestala být hádankami. Mezi nevyřešené nebo vyřešené částečně zůstaly:

• konzistence aritmetických axiomů;
• obecný zákon o reciproci v oblasti libovolného čísla;
• matematické studium fyzických axiomů;
• Studium kvadratických forem pro libovolné algebraické číselné koeficienty;
• Problém přísného ospravedlnění geometrie počtu Fedora Schuberta;
• a další.

Následující jsou neočekávané: problém rozšíření na jakoukoliv algebraickou doménu racionalitu známé Kroneckerovy věty a hypotéza Riemanna.

The Clay Institute

Pod tímto jménem je známá soukromá nezisková organizace, jejíž sídlo je v Cambridge v Massachusetts. Bylo založeno v roce 1998 Harvardovým matematikem A. Jeffeyem a podnikatelem L. Clayem. Účelem ústavu je popularizovat a rozvíjet matematické znalosti. K dosažení tohoto cíle organizace uděluje ocenění vědcům a sponzorům slibujícím výzkum.

Na počátku 21. století Clay matematický institut nabídl prémii těm, kteří budou řešit problémy, které jsou známé jako nejkomplexnější neřešitelný problém, volá váš seznam problémy tisíciletí. Ze seznamu "Hilberta" vstoupila pouze hypotéza Riemanna.

Cíle tisíciletí

Seznam Institutu Clay původně zahrnoval:

• hypotéza o cyklech Hodge;
• rovnice kvantové teorie Yang-Mills;
• Poincare hypotéza;
• problém rovnosti tříd P a NP;
• hypotéza Riemanna;
• Navier Stokesovy rovnice, existence a hladkost jeho řešení;
• Problém Birch-Swinnerton-Dyer.

Tyto otevřené matematické problémy jsou velkým zájmem, protože mohou mít mnoho praktických implementací.

Co dokázal Grigory Perelman

V roce 1900, slavný vědec a filozof Henri Poincaré navrhl, že každý jednoduše souvislý kompaktní 3-různý bez hranice je homeomorphic k 3-dimenzionální sféry. Jeho důkaz v obecném případě nebyl po celé století. Teprve v letech 2002-2003, St. Petersburg matematik G. Perelman publikoval sérii článků s řešením problému Poincaré. Vyvolaly účinek bomby, která explodovala. V roce 2010 Poincaré dohad byl vyloučen ze seznamu „nevyřešeným problémem“ Clay institutu a Perelman byl vyzván, aby se značnou odměnu, jež mu náleží, která tento výbor odmítl bez vysvětlení důvodů pro své rozhodnutí.

Nejvíce srozumitelné vysvětlení toho, co by se mohlo ukázat ruský matematik, může být poskytnuta za předpokladu, že kobliha (torus), vytáhněte pryžový disk a pokuste se vytáhnout na okraj svého obvodu na jednom místě. Je zřejmé, že to je nemožné. Další věc je, že pokud budeme dělat tento experiment s míčem. V tomto případě se zdá být trojrozměrný koule, získáme z obvodu disku připoután k bodu hypotetického šňůry je trojrozměrná v chápání průměrného člověka, ale dvojrozměrná, pokud jde o matematiku.

Poincare naznačil, že trojrozměrná koule je jediný trojrozměrný "objekt", jehož povrch může být vytažen do jednoho bodu, a Perelmanovi to dokázal. Seznam "Nevyřešitelných úkolů" dnes obsahuje 6 problémů.

Teorie Yang-Mills

Tento matematický problém navrhli jeho autoři v roce 1954. Vědecká formulace teorie je následující: pro všechny jednoduché kompaktní skupina měřidla prostor kvantové teorie vytvořený Yang a Millsomová existuje, a má tedy nulové hmotnostní úbytek.

Znalosti jazyka, který ovládá obyčejného člověka, je interakce mezi přírodními objekty (. Částice, orgánů, vlny, atd.), Jsou rozděleny do 4 skupin: elektromagnetické, gravitační, slabých a silných. Po mnoho let se fyzici snaží vytvořit obecnou teorii polí. Mělo by být nástrojem k vysvětlení všech těchto interakcí. Yang-Mills teorie - matematický jazyk, s nímž bylo možné popsat 3 ze 4 základních sil přírody. Nevztahuje se na gravitaci. Proto nelze předpokládat, že se Yangu a Mills podařilo vytvořit teorii polí.

Kromě toho nelinearita navržených rovnic činí jejich řešení extrémně obtížnými. Pro malé konstanty vazeb mohou být přibližně vyřešeny ve formě série teorie perturbace. Není však jasné, jak lze tyto rovnice řešit silným spojením.

Navier-Stokesovy rovnice

Pomocí těchto výrazů jsou popsány procesy, jako jsou proudění vzduchu, proudění kapalin a turbulence. U některých konkrétních případů již byla nalezena analytická řešení Navier-Stokesovy rovnice, ale nikdo se o to obecně nedařilo. Souběžně můžete číselné modelování pro konkrétní hodnoty rychlosti, hustoty, tlaku, času a tak dále dosáhnout vynikajících výsledků. Je třeba doufat, že někdo bude schopen aplikovat Navier-Stokesovy rovnice v opačném směru, tj. Vypočítat parametry, které je používají, nebo dokázat, že neexistuje žádná metoda řešení.

Problém Birch-Swinnerton-Dyer

Kategorie "Nevyřešené problémy" zahrnuje také hypotézu navrhovanou anglickými vědci z Cambridge University. Dokonce před 2300 lety starý řecký učenec Euclid dal úplný popis řešení rovnice x2 + y2 = z2.

Jestliže každý z prvočísel vypočítat počet bodů na křivce své jednotky, dostaneme nekonečnou řadu čísel. Pokud se konkrétní způsob, jak „lepidlo“, aby 1. funkce komplexní proměnné, pak se funkce Hasse-Weil zeta pro křivky třetího řádu, označené písmenem L. Obsahuje informace o chování modulo všechna prvočísla okamžitě.

Brian Birch a Peter Swinnerton-Dyer předpovídali o eliptických křivkách. Podle ní struktura a počet racionálních řešení souvisí s chováním funkce L v jednotce. V současné době unproven hypotéza Birch - Swynnerton-Dyer závisí na algebraických rovnic popisujících 3 stupně, a je jen poměrně jednoduchá obecná metoda pro výpočet hodnosti eliptických křivek.

Abychom porozuměli praktickému významu tohoto úkolu, postačí říci, že v moderní kryptografii je celá třída asymetrických systémů založena na eliptických křivkách a jejich použití je založeno na domácích standardech pro digitální podpisy.

Rovnost tříd p a np

Pokud zbývající "výzvy tisíciletí" jsou čistě matematické, pak se to týká současné teorie algoritmů. Problém týkající se rovnosti tříd p a np, také známý jako problém Cook-Levin, lze formulovat v jasném jazyce následujícím způsobem. Předpokládejme, že pozitivní odpověď na určitou otázku může být zkontrolována poměrně rychle, to znamená v polynomiálním čase (PV). Pak je správné tvrzení, že odpověď může být nalezena poměrně rychle? Ještě snadnější tento úkol to zní takto: Je opravdu snadnější ověřit problém než najít? Pokud je rovnováha tříd p a np někdy prokázána, pak všechny problémy výběru lze vyřešit pro PV. V tuto chvíli mnoho odborníků pochybuje o pravdivosti tohoto tvrzení, ačkoli nemohou prokázat opak.

Riemannova hypotéza

Až do roku 1859 nebyla zjištěna žádná pravidelnost, která by popisovala, jak jsou jednoduchá čísla rozdělena mezi přirozená čísla. Možná to bylo způsobeno skutečností, že věda byla zapojena do dalších otázek. Avšak tím, že v polovině 19. století, se situace změnila a oni se staly jedním z nejnaléhavější, který začal cvičit matematiku.

Riemannova hypotéza, která se objevila v tomto období, je předpoklad, že existuje určitá pravidelnost v distribuci prvočísel.

Dnes se mnozí moderní vědci domnívají, že pokud to bude dokázáno, bude nutné přehodnotit mnohé ze základních principů moderní kryptografie, které tvoří základ mnoha mechanismů elektronického obchodování.

Podle názoru Riemanna je povaha distribuce prvočísel pravděpodobně výrazně odlišná od toho, co se v současné době předpokládá. Faktem je, že zatím nebyl objeven žádný systém při distribuci prvočísel. Existuje například problém "dvojčat", jehož rozdíl se rovná 2. Tyto čísla jsou 11 a 13, 29. Ostatní primes tvoří klastry. Tito jsou 101, 103, 107, atd. Vědci již dlouho předpokládali, že takové klastry existují mezi velkými počátečními počty. Pokud se objeví, bude otázka odolnosti moderních kryptoklíčků.

Hypotéza o cyklech Hodge

Tento nevyřešený problém byl formulován v roce 1941. Hodge hypotéza naznačuje možnost aproximace tvaru jakéhokoli předmětu "slepením" jednoduchých těles většího rozměru. Tato metoda byla známá a dlouhodobě úspěšně používána. Není však známo, do jaké míry lze zjednodušit.

Nyní víte, jaké nesrovnatelné problémy existují v současné době. Jsou předmětem výzkumu tisíců vědců po celém světě. Je nadále třeba doufat, že v blízké budoucnosti budou vyřešeny a jejich praktické uplatnění pomůže lidstvu vstoupit do nového kola technologického rozvoje.