Riemannova hypotéza. Distribuce prvků

V roce 1900 byl jedním z největších vědců minulého století David Gilbert

Jediným problémem, který se ukázal být mezi oběma seznamy hádanek, který byl po mnoho staletí znepokojujících vědců, je Riemannova hypotéza. Stále čeká na její rozhodnutí.

Stručná biografická poznámka

Georg Friedrich Bernhard Riemann se narodil v roce 1826 v Hannoveru, ve velké rodině chudého pastora a žil jen 39 let. Podařilo se mu vydat 10 děl. Nicméně, během jeho života byl Riemann považován za nástupce svého učitele Johannesa Gaussa. Ve věku 25 let mladý vědec obhajoval diplomovou práci "Základy teorie funkcí komplexní proměnné". Později formuloval svou hypotézu, která se stala proslulou.

Předvolby

Matematika se objevila, když se člověk naučil počítat. Současně se objevily první myšlenky o číslech, které se později pokoušely klasifikovat. Bylo zjištěno, že některé z nich mají společné vlastnosti. Zvláště mezi přírodními čísly, tj. Těmi, které se používají při počítání (číslování) nebo při určování počtu objektů, byla vypsána skupina těch, která byla rozdělena pouze do jedné a do sebe. Byly nazvány jednoduché. Elegantní důkaz věty o nekonečnosti množiny takových čísel dal Euklid v jeho "prvcích". V současné době jejich hledání pokračuje. Zvláště největší z již známých je číslo 2^{74 207 281} - 1.

Eulerův vzorec

Spolu s konceptem nekonečnosti souboru prvků, Euclid také definoval druhou větu o jediné možné primární faktorizaci. Podle něho je každé kladné celé číslo produktem pouze jedné sady prvků. V 1737 velký německý matematik Leonard Euler vyjádřil Euclidovu první větu o nekonečnu ve formě níže uvedeného vzorce.

To se nazývá zeta funkce, kde s je konstanta a p bere všechny jednoduché hodnoty. Euclidovo tvrzení o jedinečnosti rozkladu také vyplývá přímo z toho.

Riemannova zeta funguje

Eulerův vzorec při bližším zkoumání je docela překvapivý, protože nastavuje poměr mezi jednoduchými a celočíselnými čísly. Koneckonců, v levém boku jsou násobeny nekonečně mnoho výrazů, které jsou závislé jen na jednoduché, a ve správném množství je spojena se všemi pozitivními celými čísly.

Riemann šel dál než Eulerovi. Abychom našli klíč k problému distribuce čísel, navrhl určení vzorce pro reálné i složité proměnné. To bylo později nazýváno Riemann zeta funkce. V roce 1859 vědec publikoval článek pod názvem "O počtech prvočísel, které nepřesahují danou hodnotu", kde shrnul všechny své nápady.

Riemann navrhl použití řady Euler, konvergující pro všechny reálné s> 1. Pokud je stejný vzorec se používá pro složité s, pak série tak budou pro všechny hodnoty proměnné s reálnou částí je větší než 1. Riemann použil analytický pokračování postupu, při rozšiřování definice zeta (y) pro všechny komplexní čísla, ale „házení“ jednotky. Bylo vyloučeno, protože pro s = 1 se zeta funkce zvětšuje na nekonečno.

Praktický význam

Objevuje se logická otázka: co je zajímavé a důležité je zeta funkce, která je klíčem k práci Riemanna na nulové hypotéze? Jak je známo, v současné době neexistuje jednoduchý vzor, ​​který by popisoval distribuci prvočísel mezi přirozenými čísly. Riemann se podařilo zjistit, že číslo pi (x) primárních čísel, které nepřesahují x, je vyjádřeno rozdělením netriviálních nul zeta funkce. Navíc Riemannova hypotéza je nezbytnou podmínkou pro prokázání časových odhadů výkonu některých kryptografických algoritmů.

Riemannova hypotéza

Jeden z prvních formulací tohoto matematického problému, který se dosud neprokázal, zní takto: non-triviální 0 zeta funkce jsou komplexní čísla se skutečnou částí rovnající se frac12-. Jinými slovy, jsou umístěny na přímce Re s = frac12-.

Existuje také obecná Riemannova hypotéza, která je stejná prohlášení, ale pro zobecňování zeta-funkcí, které se obvykle nazývají funkce Dirichlet L (viz foto níže).

Ve vzorci chi- (n) je nějaký číselný znak (modulo k).

Vyjádření Riemannian je považováno za tzv. Nulovou hypotézu, protože bylo ověřeno, zda je konzistentní s již dostupnými vzorovými daty.

Jak říká Riemann

Poznámka německého matematika byla původně formulována spíše nešikovně. Faktem je, že v té době vědec ukáže větu o distribuci primárních čísel a v této souvislosti nemá tato hypotéza zvláštní význam. Jeho úloha při řešení mnoha dalších otázek je obrovská. To je důvod, proč předpoklad Riemanna v současné době mnoho vědců je uznáván jako nejdůležitější z neprokázaných matematických problémů.

Jak již bylo řečeno, dokázat větu o rozdělení plného Riemann hypotéze není nutné, a zcela logicky dokázat, že reálná část každé netriviální nulu zeta funkce je mezi 0 a 1. Tato vlastnost znamená, že součet všech 0-m zeta funkce, které se objevují ve výše uvedeném přesném vzorci, je konečná konstanta. U velkých hodnot x se může úplně ztratit. Jediný člen obecného vzorce, které zůstanou nezměněny i při velmi vysokých x, x je sám. Zbývající složité pojmy ve srovnání s ním asymptoticky zmizely. Takže vážený součet má tendenci k x. Tento fakt lze považovat za důkaz pravdivosti teoréma prvočísla. Takže nuly z Riemannova zeta-funkce mají zvláštní roli. Spočívá v tom, že tyto hodnoty nemohou výrazně přispět k formulaci rozšíření.

Stoupenci Riemanna

Tragická smrt z tuberkulózy neumožnila tomuto vědcům, aby svůj program dosáhl svého logického závěru. Nicméně, on byl převzat z praporu Sh. De la Valle Poussin a Jacques Hadamard. Nezávisle na sobě získali větu o distribuci prvočísel. Hadamard a Poussin dokázali, že všechny netypické 0 zeta funkce jsou v kritickém pásmu.

Díky práci těchto vědců se objevil nový směr matematiky - teorie analytických čísel. Později jiní vědci získali poněkud primitivnější důkaz věty, o které Riemann pracoval. Zejména Pal Erdez a Atle Selberg objevili dokonce i velmi složitý logický řetězec, který jej potvrdil, což nevyžadovalo použití komplexní analýzy. V této době však již několik důležitých teoremů prokázáno pomocí Riemannovy myšlenky, včetně přiblížení mnoha funkcí teorie čísel. V tomto ohledu nová práce Erdos a Atle Selberg neměla prakticky žádný účinek.

Jeden z nejjednodušších a nejkrásnějších důkazů tohoto problému našel v roce 1980 Donald Newman. Vycházelo z dobře známé věty Cauchy.

Riemannianská hypotéza ohrožuje základy moderní kryptografie?

Šifrování dat vzniklo s příchodem hieroglyfů, přesněji řečeno, oni sami mohou být považováni za první kódy. V současné době existuje celá řada digitální kryptografie, která se vyvíjí šifrovací algoritmy.

Jednoduché a "semisimple" čísla, to znamená ty, které se dělí pouze o dvě další čísla z stejné třídy, jsou jádrem systému veřejného klíče, známého jako RSA. Má nejširší aplikaci. Používá se zejména při generování elektronického podpisu. Pokud budeme mluvit, pokud jde o dostupné „konvice“, Riemann hypotéza tvrdí existenci systému v distribuci prvočísel. Tak, významně snížil odpor kryptografických klíčů, na kterých závisí bezpečnost online transakcí v oblasti e-commerce.

Jiné nevyřešené matematické problémy

Dokončení článku stojí za to, protože věnuje pár slov dalším úkolům tisíciletí. Patří sem:

• Rovnost tříd P a NP. Problém je formulován následovně: je-li kladná odpověď na určitou otázku zkontrolována pro polynomiální čas, je pravda, že odpověď na tuto otázku může být rychle nalezena?
• Hodge hypotéza. Jednoduše řečeno, může být formulováno takto: u některých typů projektivní algebraické odrůdy (prostory) jsou Hodgeovy cykly kombinacemi objektů, které mají geometrickou interpretaci, tj. Algebraické cykly.
• Poincare hypotéza. Jedná se o jediný z tisíciletých úkolů, které byly doposud prokázány. Podle něho musí být jakýkoli trojrozměrný objekt, který má specifické vlastnosti trojrozměrné koule, a to až do deformace.
• Vyjádření kvantové teorie Yang-Mills. Musí dokázat, že kvantová teorie pokročila těmito vědci pro prostor R ⁴, existuje a má 0-tú hmotnostní vadu pro jakoukoliv kompaktní skupinu G.
• Výjimka Birch-Swinnerton-Dyer. To je další problém týkající se kryptografie. Jedná se o eliptické křivky.
• Problém existence a hladkost řešení Navier-Stokesovy rovnice.

Nyní znáte hypotézu Riemanna. Jednoduše řečeno jsme také formulovali některé další úkoly tisíciletí. Skutečnost, že budou vyřešeny nebo bude prokázáno, že nemají řešení, je otázkou času. A je nepravděpodobné, že to bude muset čekat příliš dlouho, protože matematika stále více využívá výpočetní schopnosti počítačů. Nicméně není vše podřízeno technologiím, a především řešení vědeckých problémů, intuice a tvořivost.